资源简介

5.4 随机事件的独立性
【学习目标】
1.结合有限样本空间,了解两个事件独立性的含义.(数学抽象)
2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.(数学运算)
【自主预习】
　　我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.
1.上述这种关系会是怎样的呢
2.事件的相互独立性的定义是什么
3.相互独立事件有哪些性质
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(3)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立. (　　)
2.若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　).
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.互斥且独立
3.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取1个球,则取到相同颜色的球的概率是　　　　.
4.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动,每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.假设某期学习中,小华同学答对第一、二个问题的概率分别为,,且两题是否答对相互之间没有影响.
(1)求恰好答对一个问题的概率;
(2)求至少答对一个问题的概率.
　
【合作探究】
探究1　相互独立事件
　　在相同的条件下分别抛掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,设A=“甲正面朝上”,B=“乙正面朝上”,则A∩B表示“甲、乙都正面朝上”.
问题1:事件A发生会影响事件B发生的概率吗
问题2:分别计算P(A),P(B),P(A∩B),你有什么发现
新知生成
1.相互独立事件的概念
设A,B为两个事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称为独立.
2.对事件A与B相互独立的理解
(1)从定义上看,只有符合P(A∩B)=P(A)P(B)的规律,才能称事件A,B相互独立.
(2)从直观上看,事件A,B相互独立,即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.
(3)在实际应用时,如果根据问题的实际背景,可以判定事件A(B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响,那么可以说事件A,B独立.
新知运用
例1　有6个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑色,2个蓝色,3个红色.采用有放回的方式从中随机取两次球,每次取1个球,甲表示事件“第一次取红球”,乙表示事件“第二次取蓝球”,丙表示事件“两次取出不同颜色的球”,丁表示事件“两次取出相同颜色的球”,则(　　).
A.甲与乙相互独立
B.甲与丙相互独立
C.乙与丙相互独立
D.乙与丁相互独立
【方法总结】　　判断两个事件是否相互独立的两种方法:(1)根据问题的实质,从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;(2)定义法,通过式子P(A∩B)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.
　　(多选题)口袋里装有2个红色,2个白色共4个除颜色外完全相同的小球,从中不放回地依次取出2个球,事件A=“取出的2个球同色”,B=“第1次取出的是红球”,C=“第2次取出的是红球”,D=“取出的2个球不同色”,则下列判断正确的(　　).
A.A与B相互独立 B.A与D互为对立
C.B与C互斥 D.B与D相互独立
探究2　相互独立事件的概率
　　问题1:不可能事件与任何事件相互独立吗 必然事件呢
问题2:如果事件A,B相互独立,那么事件A与事件,事件与事件B,事件与事件各是什么关系
问题3:如果事件A,B相互独立,事件AB的对立事件是吗
新知生成
1.相互独立事件的性质
性质1:必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立.
性质2:如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立.
2.相互独立事件的概率
已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则
事件 表示 概率
A,B同时发生 AB P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]
续表
事件 表示 概率
A,B恰有一个发生 A∪B P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)
A,B中至少有一个发生 A∪B∪AB P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB) 或P(A∪B∪AB)=1-P()
A,B中至多有一个发生 A∪B∪ P(A∪B∪)=P(A)+P(B)+P() 或P(A∪B∪)=1-P(AB)
3.两个事件独立性的推广
(1)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件,对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,那么称事件A1,A2,…,An相互独立.
(2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An),并且上式中任意多个事件Ai(i=1,2,…,n)换成其对立事件后等式仍成立,如P(A1∩∩…∩An)=P(A1)P()…P()P(An).
新知运用
一、相互独立事件概率的计算
例2　甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求
(1)两个人都译出密码的概率;
(2)两个人都译不出密码的概率;
(3)恰有一个人译出密码的概率.
方法指导　首先判断事件是否相互独立,然后利用相互独立事件的性质,互斥事件、对立事件的概率公式计算.
【方法总结】　　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
　　为推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率.
二、相互独立事件发生的概率的应用
例3　三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,如图所示,求电路不发生故障的概率.
【方法总结】　　求复杂事件概率的两种常见方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要的分类太多,而其对立面的分类较少,则可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”,它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.
计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,若两部分考试都“合格”者,则通过计算机考试,并授予合格证书.已知甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
【随堂检测】
1.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,记事作A为“第一次出现奇数点”,B为“第二次出现偶数点”,则有(　　).
A.A与B相互独立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥
D.P(AB)=
2.甲、乙两人独立解答一道趣味题,已知他们答对的概率分别为,,则恰有一人答对的概率为(　　).
A. B. C. D.
3.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A∩)=　　　　;P(∩)=　　　　.
4.在同一时间内,甲、乙两个气象台分别预报天气准确的概率为,.在同一时间内,求:
(1)甲、乙两个气象台预报天气都准确的概率;
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
25.4 随机事件的独立性
【学习目标】
1.结合有限样本空间,了解两个事件独立性的含义.(数学抽象)
2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.(数学运算)
【自主预习】
　　我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.
1.上述这种关系会是怎样的呢
2.事件的相互独立性的定义是什么
3.相互独立事件有哪些性质
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(3)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立. (　　)
2.若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　).
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.互斥且独立
3.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取1个球,则取到相同颜色的球的概率是　　　　.
4.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动,每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.假设某期学习中,小华同学答对第一、二个问题的概率分别为,,且两题是否答对相互之间没有影响.
(1)求恰好答对一个问题的概率;
(2)求至少答对一个问题的概率.
　
【合作探究】
探究1　相互独立事件
　　在相同的条件下分别抛掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,设A=“甲正面朝上”,B=“乙正面朝上”,则A∩B表示“甲、乙都正面朝上”.
问题1:事件A发生会影响事件B发生的概率吗
问题2:分别计算P(A),P(B),P(A∩B),你有什么发现
新知生成
1.相互独立事件的概念
设A,B为两个事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称为独立.
2.对事件A与B相互独立的理解
(1)从定义上看,只有符合P(A∩B)=P(A)P(B)的规律,才能称事件A,B相互独立.
(2)从直观上看,事件A,B相互独立,即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.
(3)在实际应用时,如果根据问题的实际背景,可以判定事件A(B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响,那么可以说事件A,B独立.
新知运用
例1　有6个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑色,2个蓝色,3个红色.采用有放回的方式从中随机取两次球,每次取1个球,甲表示事件“第一次取红球”,乙表示事件“第二次取蓝球”,丙表示事件“两次取出不同颜色的球”,丁表示事件“两次取出相同颜色的球”,则(　　).
A.甲与乙相互独立
B.甲与丙相互独立
C.乙与丙相互独立
D.乙与丁相互独立
【方法总结】　　判断两个事件是否相互独立的两种方法:(1)根据问题的实质,从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;(2)定义法,通过式子P(A∩B)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.
　　(多选题)口袋里装有2个红色,2个白色共4个除颜色外完全相同的小球,从中不放回地依次取出2个球,事件A=“取出的2个球同色”,B=“第1次取出的是红球”,C=“第2次取出的是红球”,D=“取出的2个球不同色”,则下列判断正确的(　　).
A.A与B相互独立 B.A与D互为对立
C.B与C互斥 D.B与D相互独立
探究2　相互独立事件的概率
　　问题1:不可能事件与任何事件相互独立吗 必然事件呢
问题2:如果事件A,B相互独立,那么事件A与事件,事件与事件B,事件与事件各是什么关系
问题3:如果事件A,B相互独立,事件AB的对立事件是吗
新知生成
1.相互独立事件的性质
性质1:必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立.
性质2:如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立.
2.相互独立事件的概率
已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则
事件 表示 概率
A,B同时发生 AB P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]
续表
事件 表示 概率
A,B恰有一个发生 A∪B P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)
A,B中至少有一个发生 A∪B∪AB P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB) 或P(A∪B∪AB)=1-P()
A,B中至多有一个发生 A∪B∪ P(A∪B∪)=P(A)+P(B)+P() 或P(A∪B∪)=1-P(AB)
3.两个事件独立性的推广
(1)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件,对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,那么称事件A1,A2,…,An相互独立.
(2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An),并且上式中任意多个事件Ai(i=1,2,…,n)换成其对立事件后等式仍成立,如P(A1∩∩…∩An)=P(A1)P()…P()P(An).
新知运用
一、相互独立事件概率的计算
例2　甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求
(1)两个人都译出密码的概率;
(2)两个人都译不出密码的概率;
(3)恰有一个人译出密码的概率.
方法指导　首先判断事件是否相互独立,然后利用相互独立事件的性质,互斥事件、对立事件的概率公式计算.
【方法总结】　　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
　　为推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率.
二、相互独立事件发生的概率的应用
例3　三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,如图所示,求电路不发生故障的概率.
【方法总结】　　求复杂事件概率的两种常见方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要的分类太多,而其对立面的分类较少,则可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”,它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.
计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,若两部分考试都“合格”者,则通过计算机考试,并授予合格证书.已知甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
【随堂检测】
1.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,记事作A为“第一次出现奇数点”,B为“第二次出现偶数点”,则有(　　).
A.A与B相互独立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥
D.P(AB)=
2.甲、乙两人独立解答一道趣味题,已知他们答对的概率分别为,,则恰有一人答对的概率为(　　).
A. B. C. D.
3.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A∩)=　　　　;P(∩)=　　　　.
4.在同一时间内,甲、乙两个气象台分别预报天气准确的概率为,.在同一时间内,求:
(1)甲、乙两个气象台预报天气都准确的概率;
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
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