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第2章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 三角函数求值问题
例1　(1)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　).
A. B. C.- D.-
(3)(2022年浙江卷)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
答案　(1)D　(2)B　(3)　
解析　(1)由cos α==1-2sin2,得sin2===2,又α为锐角,所以sin >0,所以sin =.故选D.
(2)依题意得
所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故选B.
(3)(法一:利用辅助角公式处理)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即sin α-cos α=,
令sin θ=,则cos θ=,则sin(α-θ)=,
∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,
∴sin α=sinθ++2kπ=cos θ=,
则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
(法二:直接用同角三角函数关系式解方程)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=.
又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,
∴cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
小结　解决三角函数求值问题的基本方法:将待求式用已知三角函数表示,将已知条件转化,推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时,首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异,有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后求出待求式的值.
题型2 三角函数的化简与证明
例2　化简:-.
解析　原式=+
=+
=+
=+
==.
小结　三角函数式的化简与证明,主要从三个方面寻求思路:(1)观察函数的特点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系;(2)观察角的特点,它们之间可通过何种形式联系起来;(3)观察结构的特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一.
题型3 三角恒等变换的应用
例3　
如图所示,已知DOE是半径为,中心角为的扇形,P为弧上一动点,四边形PQMN是矩形,∠POD=x0解析　因为∠POD=x0所以QM=PN=sin x,则OM==sin x.
又ON=cos x,所以MN=ON-OM=cos x-sin x,
所以f(x)=MN·PN=3sin xcos x-sin2x=sin 2x-=sin 2x+cos 2x-=sin2x+-0因为0所以当2x+=,即x=时,函数f(x)=sin2x+-取得最大值,f(x)max=-=.
小结　三角恒等变换的应用,在具体过程中体现的是化归思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等.
题型4 三角恒等变换与三角函数的综合问题
例4　(2021年浙江卷)设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
(1)求函数y=fx+2的最小正周期;
(2)求函数y=f(x)fx-在0,上的最大值.
解析　(1)由辅助角公式得f(x)=sin x+cos x=sinx+,
则y=fx+2=sinx+2=2sin2x+=1-cos2x+=1-sin 2x,
所以该函数的最小正周期T==π.
(2)由题意得y=f(x)fx-=sinx+·sin x=2sinx+sin x=2sin x·sin x+cos x=sin2x+sin xcos x=·+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,
由x∈0,,可得2x-∈-,,
所以当2x-=,即x=时,函数取得最大值,最大值为1+.
小结　这类问题以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
题型5 三角恒等变换与解三角形的综合
例5　(2022年新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解析　(1)∵C=,∴cos B≠0.由===,得cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C=sin B=.
∵B∈0,,∴B=.
(2)由(1)得-cos C=sin B>0,∴C>且C=+B,
∴A=π-B-C=-2B,∴====4cos2B+-5.
由得0∴≥2-5=4-5,
当且仅当cos2B=时取“=”,∴的最小值为4-5.
小结　此类题目仍考查诱导公式、两角和差公式及二倍角公式,但需要注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π.
【拓展延伸】
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
在钝角三角形ABC中,已知C为钝角,A,B都是锐角,试探究P=sin(A+B),Q=sin A+sin B,R=cos A+cos B的大小,并把P,Q,R按从小到大的顺序排列起来.
1.当A=30°,B=30°时,求P,Q,R的值,并比较它们的大小.
解析　当A=30°,B=30°时,
P=sin(30°+30°)=sin 60°=,
Q=sin 30°+sin 30°=2sin 30°=1,
R=cos 30°+cos 30°=2cos 30°=,
∴P2.当A=30°,B=45°时,求P,Q,R的值,并比较它们的大小.
解析　当A=30°,B=45°时,
P=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=×+×=,
Q=sin 30°+sin 45°=+=,
R=cos 30°+cos 45°=+=.
∵P-Q=-=<0,
∴P∵Q-R=-=<0,
∴Q3.由问题1,2你能得到什么结论 并证明你的结论.
解析　由问题1,2猜想P∵C为钝角,∴0∴A<-B,B<-A,
∴cos A>cos-B=sin B,cos B>cos-A=sin A,
∴R-Q=cos A+cos B-sin A-sin B>sin B+sin A-sin A-sin B=0,即R>Q.
∵P-Q=sin(A+B)-sin A-sin B=sin Acos B+cos Asin B-sin A-sin B=sin A(cos B-1)+sin B(cos A-1)<0,∴P综上所述,P4.若将△ABC为钝角三角形改为△ABC为锐角三角形,P,Q,R的大小关系又如何
解析　∵P-R=sin(A+B)-cos A-cos B=sin Acos B+cos Asin B-cos A-cos B=(sin A-1)cos B+(sin B-1)cos A<0,∴P∵△ABC为锐角三角形,∴0,∴-B∴R-Q=cos A+cos B-sin A-sin B综上所述,P已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan+,若任意交换两个角的位置,y的值是否变化 证明你的结论.
解析　任意交换两个角的位置,y的值不变.证明如下:
∵A,B,C是△ABC的三个内角,
∴A+B+C=π,∴=-.
∴y=tan+
=tan+
=tan+
=tan+tan+tan,
因此任意交换两个角的位置,y的值不变.
2

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