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第1章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 向量的线性运算
例1　(1)(2022年新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)
如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别满足=2,=2,EF与AC交于点G,设=λ,则λ=　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)=+=+3=+3(+)=-2+3=-2m+3n.故选B.
(2)设H是BC上除点E外的另一个三等分点,连接FH,连接BD交AC于点O,则BD∥FH.在△CFH中,G是边CH,FH中线的交点,故G是△CFH的重心,结合==可知=.由于O是AC的中点,故=,所以λ==.
小结　向量线性运算求解策略
(1)向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.
(2)字符表示下的线性运算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法则,如+=;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如-=.
题型2 平面向量数量积的运算
例2　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
(2)(2023年全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　).
A. B.3 C.2 D.5
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.
(2)以A为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3,故选B.
小结　向量数量积的求解策略
(1)利用数量积的定义、运算律求解.
(2)借助零向量,即围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.
(3)借助平行向量与垂直向量,即将向量拆分,把待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量的数量积,借助若a⊥b,则a·b=0或若a∥b,则a·b=±|a||b|解决问题.
(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积.
题型3 平面向量中的最值问题
例3　
如图,正△ABC的边长为2,D是线段BC上一点,过点C作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,则|AD|·|DE|的最大值为　　　　.
方法指导　设=λ(0≤λ≤1),根据向量的线性运算及数量积定义,即可求得|AD|·|DE|的最大值.
答案　
解析　设=λ(0≤λ≤1),
则=(1-λ)=(1-λ)(-).
因为AE⊥CE,所以·=0.
由向量的数量积定义可知,
|AD|·|DE|==·=·(+)=·+·=·,
·=||||cos =2×2×=2,
||2=||2=2×2=4.
根据向量线性运算可知,
=+=+λ=+λ(-)
=(1-λ)+λ.
故|AD|·|DE|=·
=[(1-λ)+λ]·[(1-λ)(-)]
=(1-λ)2·-(1-λ)2+λ(1-λ)-λ(1-λ)·
=2(1-λ)2-4(1-λ)2+4λ(1-λ)-2λ(1-λ)
=-4λ2+6λ-2=-4+(0≤λ≤1),
所以当λ=时,|AD|·|DE|取得最大值,最大值为.
小结　求解向量数量积最值问题的两种思路:(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值;(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.
题型4 向量的模、夹角的问题
例4　(1)(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=(　　).
A.-6 B.-5 C.5 D.6
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)由已知得c=(3+t,4), cos=cos,故=,解得t=5.故选C.
(2)由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3,　①
由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得3a2-6a·b=0,
结合①,得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理得b2=3,所以|b|=.
小结　解决向量模的问题的常用策略
(1)应用公式:|a|=(其中a=(x,y)).
(2)应用三角形法则或平行四边形法则.
(3)应用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(4)利用模的平方|a±b|2=(a±b)2.
求向量夹角利用数量积公式即可.
题型5 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例5　(2023年新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析　(1)因为D为BC的中点,
所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=,解得DC=2,
所以BD=DC=2,a=4.
因为∠ADC=,所以∠ADB=.
在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=.
在△ADC中,由余弦定理,得b2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC=1+4-2=3,所以b=.
在△ABC中,由余弦定理,得cos B===,所以sin B==.
所以tan B==.
(2)因为D为BC的中点,所以BC=2BD.
在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==,
整理得2BD2=b2+c2-2=6,
得BD=,所以a=2.
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc
=bc==,
解得bc=4.
则由解得b=c=2.
小结　关于解三角形问题,一般要用到三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理及其他有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用.同时,要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.
题型6 正弦定理、余弦定理的应用
例6　
如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距10 海里;当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里.
(1)求乙船的速度.
(2)若乙船在B2处的航行速度提高到每小时30 海里,甲船的航行速度不变,试问甲、乙两船是否会相遇,若相遇,求出甲船从 A2处到相遇处所用的时间;若不相遇,请说明理由.
解析　(1)连接A1B2,由题意可得,A2B2=10,A1A2=×30=10,
因为A1A2=A2B2=10,∠B2A2A1=180°-120°=60°,
所以△A1A2B2为等边三角形,
所以∠B1A1B2=105°-∠A2A1B2=45°.
在△A1B1B2中,A1B2=10,A1B1=10,∠B1A1B2=45°,
由余弦定理可得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos 45°=100,故B1B2=10,
所以乙船的速度为×60=30(海里/小时).
(2)会相遇.分别延长A1A2,B1B2交于点C,
由(1)得B1B2=A1B2=10,所以∠A1B1C=∠B1A1B2=45°.
故∠C=180°-∠CB1A1-∠B1A1C=30°,则∠A2B2C=180°-∠B2A2C-∠C=30°,
所以A2C=A2B2=10.
在△A2B2C中,
由正弦定理可得=,故B2C==10,
因为==,==,所以两船会相遇,且甲船从A2处到相遇处所用的时间为小时.
小结　目标分析法解决测量方案设计问题的思路:先明确要测量的元素(长度、高度或角度),然后放入相应的三角形中,分析哪些元素是需要的,哪些是可以测量的,从而确定测量的量,最后用正弦定理或余弦定理求解,其求解的具体步骤如下:
(1)明确目标,读题及画出图形,明确所求元素及所求元素所在的三角形或多边形;
(2)依据定理分析元素,在相应的三角形中依据正弦定理或余弦定理分析所需要的元素,再确定哪些可求;
(3)确定方案,依据分析,将确定要测量的量代入求解,得到结论.
题型7 数形结合思想
例7　已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,O为原点,当两向量夹角在之间变动时,实数m的取值范围是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(0,1) B.
C.∪(1,) D.(1,)
方法指导　数形结合,通过构造相应的图形分析,获得直观的解法.
答案　C
解析　
如图,作=a,则A(1,1).作,,使∠AOB1=∠AOB2=,则∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,).
又a与b的夹角不为0,故m≠1.
由图易知实数m的取值范围是∪(1,).
小结　向量既有大小,又有方向,可以用几何法表示,又可以用坐标表示,集数与形于一身.解决向量问题时常把几何图形放到适当的坐标系中,赋予有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题,体现了直观想象的数学素养.
【拓展延伸】
向量加法三角形法则的推广
2018年6月,加拿大蒙特利尔举办了机器人足球世界杯比赛.在最终决赛中,中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队,获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球,能够做出假动作迷惑对手,还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断.
在比赛过程中,中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门,行走的路线如图①,从点A开始绕灰色区域走一圈,最终骗过对方队员,成功踢进一球,这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形舞,跳舞的方式是从点P开始,沿正东方向行进1米,逆时针方向旋转角α,继续按直线向前行进1米,再逆时针方向旋转角α,按直线向前行进1米,…,最终回到起点.
成功踢入一球后,甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球,又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球,以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军!
1.当α=45°时,请画出射手甲的跳舞轨迹,并说明跳多少步时位移为0,请作图说明(假设机器人跳1步为1米).
解析　射手甲的跳舞轨迹为如图所示的正八边形,其中边长为1 m,跳8步时,射手回到起点,所以当射手跳8n(n∈N*)步时,射手的位移为0.
2.要使射手甲恰好能回到出发点,跳舞时设定的α应满足什么条件
解析　要使射手甲能回到出发点,只需射手甲的位移为零.按上述方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正多边形,由多边形的内角和定理可得n(180°-α)=(n-2)·180°,解得α=,且n≥3,n∈N*.故α应满足的条件为α=,且n≥3,n∈N*.
甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球:甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙,然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙,机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁,利用向量加法求出球的位移向量,并确定此向量模的大小.
解析　根据题意画出示意图,如图,用A,B,C,D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置,则球的位移为++=,故球的最终位移为,依题意知△ABC为正三角形,故||=||=AC=2 m.
又因为∠ACD=45°,CD= m,所以∠ADC=90°,所以△ACD为等腰直角三角形,所以||= m.
2

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