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第3章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 复数的基本概念
例1　设z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),求当m取何值时,
(1)z是纯虚数;
(2)z是实数.
【解析】　(1)若z为纯虚数,则
即解得
所以当m=3时,z是纯虚数.
(2)若z是实数,则
解得
所以当m=-1或m=-2时,z是实数.
【方法总结】　　复数相关概念的应用技巧
(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
题型2 复数的四则运算
例2　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　).
A.-i　　　　　B.i　　　　　C.0　　　　　D.1
(2)(2023年全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(3)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】　(1)A　(2)C　(3)D
【解析】　(1)∵z===-i,∴=i,∴z-=-i-i=-i.故选A.
(2)∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1.故选C.
(3)∵i(1-z)=1,∴z=1-=1+i,∴=1-i,∴z+=2.故选D.
【方法总结】　　利用复数的四则运算求复数的一般思路
(1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算.
(2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简.
题型3 共轭复数,复数的模
例3　(1)(2022年全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=(　　).
A.4 B.4 C.2 D.2
(2)(2022年北京卷)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　).
A.1 B.5 C.7 D.25
【答案】　(1)D　(2)B
【解析】　(1)因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.故选D.
(2)由题意有z===-4-3i,故|z|==5.故选B.
【方法总结】　　化复为实,利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化的思想.根据复数模的意义,可以简化计算.
题型4 复数的几何意义及其应用
例4　已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
【解析】　设z=x+yi(x,y∈R),
则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2.
又==(x-2i)(2+i)
=(2x+2)+(x-4)i为实数,
∴x=4,∴z=4-2i.
又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在复平面内对应的点在第一象限,
∴解得2∴实数a的取值范围是(2,6).
【方法总结】　　1.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内一点Z(a,b)对应,而任一点Z(a,b)又可以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量对应,这些对应都是一一对应,即
2.设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R),其对应的复平面内的点分别为Z1(x1,y1),Z2(x2,y2),所以点Z1,Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|Z2-Z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|= .
题型5 复数的三角形式(*)
例5　把下列复数转化为三角形式:
(1)-1;(2)2i;(3)-i.
【解析】　(1)r==1,辐角的主值为θ=arg(-1)=π,所以-1=cos π+isin π.
(2)r==2,辐角的主值为θ=arg(2i)=,所以2i=2.
(3)r==2,由tan θ==-和点(,-1)在第四象限,得辐角的主值θ=arg(-i)=2π-=,
所以-i=2.
【方法总结】　　复数的代数形式化为三角形式的步骤:
(1)复数的模r=;
(2)由tan θ=及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角的主值即可);
(3)根据公式写出复数的三角形式.
题型6 关于复数的方程问题
例6　已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.
(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;
(2)证明:对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.
【解析】　(1)设实数根是a,
则a2-(tan θ+i)a-(2+i)=0,
即a2-atan θ-2-(a+1)i=0.
∵a,tan θ∈R,∴
∴a=-1,且tan θ=1.
又0<θ<,∴θ=.
(2)若方程存在纯虚数根,设为x=bi(b∈R,b≠0),则(bi)2-(tan θ+i)bi-(2+i)=0,
即此方程组无实数解.
∴对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.
【方法总结】　　解关于复数的方程的依据是复数相等的条件,由此建立方程(组)求解.
【拓展延伸】
欧拉公式
欧拉公式是什么 为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式 下面让我们一起来了解一下吧.
欧拉公式又称为欧拉定理,也称为尤拉公式,是用于复分析领域的公式,它将三角函数与复数、指数函数相关联.之所以称它为欧拉公式,是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的,所以用他的名字命名.欧拉公式提出,对任意实数x,都存在eix=cos x+isin x,其中e是自然对数的底数,i是虚数单位,而cos和sin 则是余弦、正弦对应的三角函数,参数x则是以弧度为单位.这一复数指数函数有时还写作{cis}(x)(英语:cosine plus i sine,余弦加i正弦).因为该公式在x为复数时仍然成立,所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式.
莱昂哈德·欧拉出生于1707年4月15日,是一位来自瑞士的数学家和物理学家,是近代著名的数学家之一,此外,他还在力学、光学和天文学上都作出了重大的贡献.
莱昂哈德·欧拉对微分方程理论作出了重要贡献,他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中,其中最有名的被称为欧拉方法.
在数论里他引入了欧拉函数.正整数n的欧拉函数φ(n)被定义为小于或等于n的数中与n互质的数的个数.
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的.
在分析领域,欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数.
在1735年,欧拉因解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声:
ζ(2)==++++…=,
其中ζ(s)是黎曼函数.
欧拉将虚数的幂定义为如下公式:eix=cos x+isin x.
这就是欧拉公式,它成为指数函数的中心.在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一.被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式”的则是欧拉公式的一个简单推论(通常被称为欧拉恒等式):eiπ=-1或eiπ+1=0.
他在1735年定义了微分方程中的欧拉-马斯刻若尼常数γ,也是欧拉-麦克劳林求和公式的发现者之一,这一公式在处理难以计算的积分、求和与级数的时候极为有效:
γ=1++++…+-ln n.
2

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