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5.1 课时1 随机事件
【学习目标】
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)
2.理解随机事件与样本点的关系,能判断随机事件、不可能事件和必然事件.(数学抽象)
3.能写出随机事件的样本空间.(数据分析)
【自主预习】
1.什么是确定性现象与随机现象
2.什么是样本点与样本空间 如何表示
3.什么是随机事件、必然事件、不可能事件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)确定性现象是在一定条件下必然出现的现象. (　　)
(2)随机现象的结果只有2种. (　　)
(3)每个随机事件只包含一个样本点. (　　)
2.已知袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个,下列结果不是随机现象的是(　　).
A.取到的球的个数
B.取到2个红球
C.取到2个黑球
D.至少取到1个红球
3.将2个1和1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=　　　　　.
4.运动会期间,体育协会从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,写出该试验的样本空间.
【合作探究】
探究1　随机试验与样本空间
　　研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如,将一枚质地均匀的硬币抛掷2次,观察正面、反面出现的情况;从你所在的班级随机选择10名学生,调查近视的人数;在一批灯管中任意抽取一个,测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些,观察分蘖数;记录某地区7月份的降雨量等.
问题1:观察随机试验时,其可能出现的结果的数量一定是有限的吗
问题2:如何确定试验的样本空间
新知生成
1.确定性现象与随机现象
在一定条件下,必然发生(出现)的现象称为确定性现象;在条件相同的情况下,不同次的试验或观察会得到不同的结果,每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果,这种现象称为随机现象.
2.随机试验
对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验,一般用大写字母E表示.
3.样本点与样本空间
(1)样本点:对于一个随机试验,我们将该试验的每个可能结果称为样本点,常用ω(或带下标)表示.
(2)样本空间:将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间,用Ω表示.
(3)有限样本空间:若样本空间中样本点的个数是有限的,则称该样本空间为有限样本空间.
新知运用
例1　根据点数取1~6的扑克牌共24张,写出下列试验的样本空间.
(1)任意抽取1张,记录它的花色;
(2)任意抽取1张,记录它的点数;
(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张,记录每张的点数;
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张,计算2张点数之和.
方法指导　根据题意可用列举法按照顺序列举出所要求的基本事件.
【方法总结】　　理解样本点与样本空间应注意的几个方面
(1)由于随机试验的所有结果是明确的,从而样本点也是明确的.
(2)样本空间与随机试验有关,即不同的随机试验有不同的样本空间.
(3)随机试验、样本空间与随机事件的关系:随机试验→样本空间随机事件.
(原创题)银行有一个六位数的密码锁,但银行职员忘记了前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是2,4,6,8中的一个数字,现在银行职员输入密码试开锁.
(1)写出试验的样本空间;
(2)求这个样本空间中样本点的总数.
探究2　随机事件
　　问题1:在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”是随机事件吗
问题2:如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系
新知生成
随机事件:一般地,当Ω是试验的样本空间时,我们称Ω的子集A是Ω的随机事件,简称事件,一般用大写字母A,B,…来表示.
基本事件:由一个样本点组成的集合,称为基本事件.
必然事件:Ω也是Ω的子集,并且包含了所有样本点,所以必然发生,我们称样本空间Ω是必然事件.
不可能事件:空集 也是Ω的子集,所以空集 是事件.空集 中没有样本点,永远不可能发生,所以我们称 是不可能事件.
新知运用
例2　指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称;
(2)y=kx+6是定义在R上的增函数;
(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.
【方法总结】　　必然事件和不可能事件具有确定性,在一定条件下能确定其是否发生,随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.当然,条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果,要注意从问题的背景中体会条件的特点.
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
(2)三角形的内角和为180°;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张相同的标签中任取一张,抽到1号标签;
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
【随堂检测】
1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是(　　).
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.下列事件:
①经过有信号灯的路口,遇上红灯;
②从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中,任取3个,3个都是次品;
③下周三是雨天.
其中,是随机事件的是(　　).
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
3.集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为(　　).
A.8 B.9 C.12 D.11
4.(原创题)学校开展了丰富多彩的课外活动.某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加,试写出该同学参加活动的样本空间.
25.1 课时1 随机事件
【学习目标】
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)
2.理解随机事件与样本点的关系,能判断随机事件、不可能事件和必然事件.(数学抽象)
3.能写出随机事件的样本空间.(数据分析)
【自主预习】
1.什么是确定性现象与随机现象
【答案】　在一定条件下,必然发生(出现)的现象称为确定性现象;在条件相同的情况下,不同次的试验或观察会得到不同的结果,每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果,这种现象称为随机现象.
2.什么是样本点与样本空间 如何表示
【答案】　对于一个随机试验,我们将该试验的每个可能结果称为样本点,常用ω表示.将随机试验所有样本点构成的集合称为样本空间,用Ω表示.
3.什么是随机事件、必然事件、不可能事件
【答案】　随机事件:当Ω是试验的样本空间时,我们称Ω的子集A是Ω的随机事件.
必然事件:Ω也是Ω的子集,并且包含了所有的样本点,所以必然发生,我们称样本空间Ω是必然事件.
不可能事件:空集 也是Ω的子集,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)确定性现象是在一定条件下必然出现的现象. (　　)
(2)随机现象的结果只有2种. (　　)
(3)每个随机事件只包含一个样本点. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.已知袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个,下列结果不是随机现象的是(　　).
A.取到的球的个数
B.取到2个红球
C.取到2个黑球
D.至少取到1个红球
【答案】　A
【解析】　A的取值不具有随机性,B,C,D均为随机现象,只有A满足要求.
3.将2个1和1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=　　　　　.
【答案】　{110,101,011}
【解析】　将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω=.
4.运动会期间,体育协会从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,写出该试验的样本空间.
【解析】　设来自A大学的2名志愿者为A1,A2,来自B大学的4名志愿者为B1,B2,B3,B4.用列举法可得样本空间为{A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4}.
【合作探究】
探究1　随机试验与样本空间
　　研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如,将一枚质地均匀的硬币抛掷2次,观察正面、反面出现的情况;从你所在的班级随机选择10名学生,调查近视的人数;在一批灯管中任意抽取一个,测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些,观察分蘖数;记录某地区7月份的降雨量等.
问题1:观察随机试验时,其可能出现的结果的数量一定是有限的吗
【答案】　不一定,也可能是无限的.如在实数集中,任取一个实数.
问题2:如何确定试验的样本空间
【答案】　确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果,并写成Ω={ω1,ω2,…,ωn}的形式.
新知生成
1.确定性现象与随机现象
在一定条件下,必然发生(出现)的现象称为确定性现象;在条件相同的情况下,不同次的试验或观察会得到不同的结果,每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果,这种现象称为随机现象.
2.随机试验
对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验,一般用大写字母E表示.
3.样本点与样本空间
(1)样本点:对于一个随机试验,我们将该试验的每个可能结果称为样本点,常用ω(或带下标)表示.
(2)样本空间:将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间,用Ω表示.
(3)有限样本空间:若样本空间中样本点的个数是有限的,则称该样本空间为有限样本空间.
新知运用
例1　根据点数取1~6的扑克牌共24张,写出下列试验的样本空间.
(1)任意抽取1张,记录它的花色;
(2)任意抽取1张,记录它的点数;
(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张,记录每张的点数;
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张,计算2张点数之和.
方法指导　根据题意可用列举法按照顺序列举出所要求的基本事件.
【解析】　(1)一副扑克牌有四种花色,所以样本空间Ω={红心,方块,黑桃,梅花}.
(2)扑克牌的点数是从1到6,所以样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
(3)一次抽取2张,点数不会相同,则所有结果按顺序一一列出,故样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}.
(4)一次抽取2张,计算2张点数之和,样本空间Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
【方法总结】　　理解样本点与样本空间应注意的几个方面
(1)由于随机试验的所有结果是明确的,从而样本点也是明确的.
(2)样本空间与随机试验有关,即不同的随机试验有不同的样本空间.
(3)随机试验、样本空间与随机事件的关系:随机试验→样本空间随机事件.
(原创题)银行有一个六位数的密码锁,但银行职员忘记了前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是2,4,6,8中的一个数字,现在银行职员输入密码试开锁.
(1)写出试验的样本空间;
(2)求这个样本空间中样本点的总数.
【解析】　(1)样本空间Ω={(M,2),(M,4),(M,6),(M,8),(I,2),(I,4),(I,6),(I,8),(N,2),(N,4),(N,6),(N,8)};
(2)这个样本空间中样本点的总数为12.
探究2　随机事件
　　问题1:在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”是随机事件吗
【答案】　“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
问题2:如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系
【答案】　设A表示随机事件“球的号码为奇数”,当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一时,A发生,即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A.类似地,可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”,即随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
新知生成
随机事件:一般地,当Ω是试验的样本空间时,我们称Ω的子集A是Ω的随机事件,简称事件,一般用大写字母A,B,…来表示.
基本事件:由一个样本点组成的集合,称为基本事件.
必然事件:Ω也是Ω的子集,并且包含了所有样本点,所以必然发生,我们称样本空间Ω是必然事件.
不可能事件:空集 也是Ω的子集,所以空集 是事件.空集 中没有样本点,永远不可能发生,所以我们称 是不可能事件.
新知运用
例2　指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称;
(2)y=kx+6是定义在R上的增函数;
(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.
【解析】　(1)是必然事件;(2)(3)是随机事件.对于(2),当k>0时,是R上的增函数;当k<0时,是R上的减函数;当k=0时,函数不具有单调性.对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种是a,b同号,即ab>0;另一种是a,b中至少有一个为0,即ab=0.
【方法总结】　　必然事件和不可能事件具有确定性,在一定条件下能确定其是否发生,随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.当然,条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果,要注意从问题的背景中体会条件的特点.
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
(2)三角形的内角和为180°;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张相同的标签中任取一张,抽到1号标签;
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
【解析】　(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.
(4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.
(6)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
【随堂检测】
1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是(　　).
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
【答案】　D
【解析】　由样本点、样本空间的定义可知,A,B,C中的说法均正确.
因为随机事件是样本空间的子集,所以随机事件中样本点的个数不可能比样本空间中的多,故D中说法错误.
2.下列事件:
①经过有信号灯的路口,遇上红灯;
②从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中,任取3个,3个都是次品;
③下周三是雨天.
其中,是随机事件的是(　　).
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
【答案】　D
【解析】　对于②,次品总数为2,故取到的3个不可能都是次品,所以②是不可能事件;①③为随机事件.
3.集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为(　　).
A.8 B.9 C.12 D.11
【答案】　D
【解析】　从A,B中各任意取一个数,可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11个样本点.
4.(原创题)学校开展了丰富多彩的课外活动.某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加,试写出该同学参加活动的样本空间.
【解析】　用A,B,C,D分别表示篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个项目,则样本空间为Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD}.
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