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第4章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 空间几何体的结构特征
例1　根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
【解析】　(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以几何体是棱锥,其底面又是凸五边形,所以几何体是五棱锥.
(2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.
(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
小结　与空间几何体的结构特征有关的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
题型2 空间几何体的体积和表面积
例2　如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的空间图形的表面积和体积.
【解析】　由题意知,该平面图形旋转一周后所得的空间图形是一个圆台挖掉半个球,
所以所求空间图形的表面积由三部分组成:圆台的下底面面积、侧面积和一半球面的表面积,
由AD=2 cm,BC=5 cm,AB=4 cm,可得CD==5 cm,所以S半球=×4π×22=8π cm2,S圆台侧=π×(2+5)×5=35π cm2,S圆台底=25π cm2,
故所求空间图形的表面积为68π cm2.
又V圆台=×[π×22++π×52]×4=52π cm3,V半球=×23×= cm3,
所以所求空间图形的体积为V圆台-V半球=52π-=π cm3.
小结　空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)关于旋转体的表面积的问题要注意其侧面展开图的应用.
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解.
题型3 与球有关的切、接问题
例3　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　).
A. B. C. D.16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是(　　).
A.96 B.16 C.24 D.48
【答案】　(1)B　(2)D
【解析】　(1)如图,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,
又底面边长为4,所以AE=2,而PE=6,所以侧棱长PA====2.设球的半径为R,则PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,所以S=4πR2=4π×=,故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R=2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,有×=R=2,解得a=4.故此三棱柱的体积V=××(4)2×4=48.
小结　与球相关问题的解题策略
(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.
(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.
题型4 空间点、线、面位置关系的判断
例4　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
【答案】　A
【解析】　如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF 平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;
对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;
对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;
对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.
小结　1.判断直线与平面位置关系的常用方法
(1)借助线线、线面、面面位置关系的定义、定理、性质判断.
(2)模型法:借助长方体等熟悉的几何体进行判断,有时可以起到事半功倍的作用.
(3)反证法:反设结论进行推导,得出矛盾,达到准确判断位置关系的目的.
2.空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直关系的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法;平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
题型5 空间线面位置关系的证明
例5　(2022年全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD.
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
【解析】　(1)因为AD=CD,E是AC的中点,
所以AC⊥DE.
因为
所以△ADB≌△CDB,
所以AB=CB,故AC⊥BE,
因为DE∩BE=E,DE 平面BED,BE 平面BED,
所以AC⊥平面BED,
因为AC 平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
(2)因为AB=BC=2,∠ACB=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AC=2,AE=CE=1,BE=,
因为AD=CD,AD⊥CD,
所以△ACD是等腰直角三角形,
所以DE=1,DE⊥AC,
又BD=2,所以DE2+BE2=BD2,所以DE⊥BE,
因为AC∩BE=E,AC 平面ABC,BE 平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
因为△ADB≌△CDB,所以∠FBA=∠FBC,
因为
所以△FBA≌△FBC,
所以AF=CF,所以EF⊥AC.
因为S△AFC=·AC·EF,所以当EF最短时,△AFC的面积最小.
过点E作EF⊥BD,垂足为F,此时EF最短,
在Rt△BED中,·BE·DE=·BD·EF,
解得EF=,
所以DF==,BF=2-DF=,
所以=.
过点F作FH⊥BE,垂足为H,则FH∥DE,
所以FH⊥平面ABC,且==,所以FH=,
所以VF-ABC=·S△ABC·FH=××2××=.
小结　证明空间线面平行或垂直需注意三点:①由已知想性质,由求证想判定;②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一;③用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.
题型6 空间角的计算
例6　如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,求:
(1)AO与A'C'所成角的大小;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
方法指导　(1)平移直线A'C'转为解Rt△AOC的问题;(2)作OE⊥BC于点E,把线面角转化为直角三角形的三角关系求解;(3)利用垂直关系求解.
【解析】　(1)∵A'C'∥AC,
∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面B'BCC',OC 平面B'BCC',∴OC⊥AB.
又OC⊥BO,AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=,AC=,
∴sin∠OAC==,∴∠OAC=30°.
即AO与A'C'所成的角为30°.
(2)如图,作OE⊥BC于点E,连接AE.
∵平面B'BCC'⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD,
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中,OE=,AE==,
∴tan∠OAE==.
(3)由(1)知OC⊥平面AOB,
又∵OC 平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
小结　空间角的求法
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算:(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角);(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(作垂线、找射影);(3)二面角的平面角的作法有定义法、垂线法、垂面法.
题型7 利用化归与转化思想解决立体几何问题
例7　如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值.
(2)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
方法指导　(1)由已知可证BO∥CD,找到异面直线所成的角,在三角形中求解即可;(2)用体积法求得点A到平面PCD的距离,然后再根据体积比求解.
【解析】　(1)∵BC∥AD,AD=2AB=2BC=2,如图,连接BO,
∴BC=OD,BC∥OD,∴四边形BCDO是平行四边形,∴BO∥CD,
∴异面直线PB与CD所成角是∠PBO或其补角.
又PA=PD,O是AD的中点,∴PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BO.
在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,得∠APD=90°,PO=1.
在Rt△ABO中,BO==.
在Rt△PBO中,PB==.
∴cos∠PBO=.
∴异面直线PB与CD所成角的余弦值为.
(2)连接OC,由(1)知CD=BO=,四边形BAOC是正方形,CO=1,PC==,△PCD是正三角形,
∴S△PCD=×××sin 60°=,
S△ACD=×2×1=1.
设点A到平面PCD的距离为h,
由VA-PCD=VP-ACD,得S△PCD·h=S△ACD·PO,即h=1×1,解得h=.
∵>,∴线段AD上存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,
且==,∴=.
小结　转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,空间几何问题转化为平面几何问题.本章中涉及转化与化归思想的知识如下:(1)位置关系的转化,即平行与平行的转化、垂直与垂直的转化、平行与垂直的转化;(2)量的转化,如点到面距离的转化;(3)几何体的转化,即几何体补形与分割.
题型8 函数与方程思想在立体几何中的应用
例8　如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,PB=2,M是线段AP的中点.
(1)证明:BM∥平面PCD.
(2)当PA为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大 并求此最大值.
方法指导　(1)取PD的中点N,连接MN,CN,证明四边形MBCN是平行四边形,可得出BM∥CN,然后利用线面平行的判定定理可证得BM∥平面PCD;(2)设PA为x,求出四棱锥P-ABCD的体积关于x的函数表达式,然后利用函数的性质可求出四棱锥P-ABCD的体积的最大值.
【解析】　(1)如图,取PD的中点N,连接MN,CN,
∵M是AP的中点,∴MN∥AD且MN=AD,
∵AD∥BC,AD=2BC,∴MN∥BC,MN=BC,
∴四边形MBCN是平行四边形,
∴MB∥CN,
又BM 平面PCD,CN 平面PCD,∴BM∥平面PCD.
(2)设PA=x(0∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴PA⊥AB,
∵PB=2,∴AB=,
又∵AB⊥AD,AD=2BC=2,
∴VP-ABCD=S四边形ABCD·PA=×(AD+BC)×AB×PA===≤2,
当且仅当x=2时取等号.
故当PA=2时,四棱锥P-ABCD的体积最大,最大值为2.
小结　几何体的体积和截面积的计算,可以转化为求函数的最值或方程(组)的解来解答.
【拓展延伸】
用模拟法探究两点间的最短路径
——空间几何体的展开与拼接
爸爸出差前,留给小华一道题:
如图,这是某地区的交通网.其中小圈代表城镇,小圈间的连线代表道路,连线旁的a1表示该段道路的长度(单位:千米),请你选择一条从A到B的最短路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”,嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子,题目未解出来,他不会去看“锦囊”!
小华绞尽脑汁,想了一天还是没有眉目.吃过晚饭,他信步走进小树林,东瞅瞅,西瞧瞧,看到一张硕大的蜘蛛网,突然,一只小虫撞到网上,小虫奋力挣扎,于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝,蜘蛛沿着那根丝,迅速出击,抓住了小虫.小华若有所悟,口里直嚷嚷:“有了!有了!”他想,只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”,要求A,B两地的最短路线,只需把网上相当于A,B两地的网结各自向外拉,则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.
小华高兴地打开“锦囊”,妙极了,他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字:“这种解法叫作模拟法,它是科学研究的一种重要方法,自然界中简单的现象往往蕴含着深刻的道理,放开你的眼界打破学科的界限,努力去探索吧!”
1.如图,圆锥的轴截面是等边三角形,圆锥的底面半径为2 cm,假如点B处有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,求它需要爬行的最短路程.
【解析】　圆锥的底面半径为2 cm,故底面圆的周长为4π cm,
圆锥的轴截面是等边三角形,可知圆锥的母线长为4 cm,设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α,根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4π=4α,解得α=π,如图,故∠CAB'=,蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B'P===2(cm).
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
【解析】　沿长方体的一条棱剪开,使A和C1在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
①若将C1D1剪开,使平面ABB1A1与平面A1B1C1D1共面,可求得AC1===4.
②若将AD剪开,使平面ABCD与平面BCC1B1共面,可求得AC1===3.
③若将CC1剪开,使平面BCC1B1与平面ABB1A1共面,可求得AC1==.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱的侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为,则PC的长为　　　　.
【答案】　2
【解析】　将正三棱柱ABC-A1B1C1沿CC1侧面展开,如图所示,
设PC=x,由题意得AM=2,AP1=3+x,MP1=,
在Rt△MAP1中,AM2+A=M,即22+(3+x)2=()2,解得x=2(负值已舍去),即PC=2.
2第4章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 空间几何体的结构特征
例1　根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
小结　与空间几何体的结构特征有关的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
题型2 空间几何体的体积和表面积
例2　如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的空间图形的表面积和体积.
小结　空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)关于旋转体的表面积的问题要注意其侧面展开图的应用.
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解.
题型3 与球有关的切、接问题
例3　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　).
A. B. C. D.16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是(　　).
A.96 B.16 C.24 D.48
小结　与球相关问题的解题策略
(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.
(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.
题型4 空间点、线、面位置关系的判断
例4　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
小结　1.判断直线与平面位置关系的常用方法
(1)借助线线、线面、面面位置关系的定义、定理、性质判断.
(2)模型法:借助长方体等熟悉的几何体进行判断,有时可以起到事半功倍的作用.
(3)反证法:反设结论进行推导,得出矛盾,达到准确判断位置关系的目的.
2.空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直关系的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法;平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
题型5 空间线面位置关系的证明
例5　(2022年全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD.
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
小结　证明空间线面平行或垂直需注意三点:①由已知想性质,由求证想判定;②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一;③用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.
题型6 空间角的计算
例6　如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,求:
(1)AO与A'C'所成角的大小;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
方法指导　(1)平移直线A'C'转为解Rt△AOC的问题;(2)作OE⊥BC于点E,把线面角转化为直角三角形的三角关系求解;(3)利用垂直关系求解.
小结　空间角的求法
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算:(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角);(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(作垂线、找射影);(3)二面角的平面角的作法有定义法、垂线法、垂面法.
题型7 利用化归与转化思想解决立体几何问题
例7　如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值.
(2)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
方法指导　(1)由已知可证BO∥CD,找到异面直线所成的角,在三角形中求解即可;(2)用体积法求得点A到平面PCD的距离,然后再根据体积比求解.
小结　转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,空间几何问题转化为平面几何问题.本章中涉及转化与化归思想的知识如下:(1)位置关系的转化,即平行与平行的转化、垂直与垂直的转化、平行与垂直的转化;(2)量的转化,如点到面距离的转化;(3)几何体的转化,即几何体补形与分割.
题型8 函数与方程思想在立体几何中的应用
例8　如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,PB=2,M是线段AP的中点.
(1)证明:BM∥平面PCD.
(2)当PA为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大 并求此最大值.
方法指导　(1)取PD的中点N,连接MN,CN,证明四边形MBCN是平行四边形,可得出BM∥CN,然后利用线面平行的判定定理可证得BM∥平面PCD;(2)设PA为x,求出四棱锥P-ABCD的体积关于x的函数表达式,然后利用函数的性质可求出四棱锥P-ABCD的体积的最大值.
小结　几何体的体积和截面积的计算,可以转化为求函数的最值或方程(组)的解来解答.
【拓展延伸】
用模拟法探究两点间的最短路径
——空间几何体的展开与拼接
爸爸出差前,留给小华一道题:
如图,这是某地区的交通网.其中小圈代表城镇,小圈间的连线代表道路,连线旁的a1表示该段道路的长度(单位:千米),请你选择一条从A到B的最短路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”,嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子,题目未解出来,他不会去看“锦囊”!
小华绞尽脑汁,想了一天还是没有眉目.吃过晚饭,他信步走进小树林,东瞅瞅,西瞧瞧,看到一张硕大的蜘蛛网,突然,一只小虫撞到网上,小虫奋力挣扎,于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝,蜘蛛沿着那根丝,迅速出击,抓住了小虫.小华若有所悟,口里直嚷嚷:“有了!有了!”他想,只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”,要求A,B两地的最短路线,只需把网上相当于A,B两地的网结各自向外拉,则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.
小华高兴地打开“锦囊”,妙极了,他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字:“这种解法叫作模拟法,它是科学研究的一种重要方法,自然界中简单的现象往往蕴含着深刻的道理,放开你的眼界打破学科的界限,努力去探索吧!”
1.如图,圆锥的轴截面是等边三角形,圆锥的底面半径为2 cm,假如点B处有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,求它需要爬行的最短路程.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱的侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为,则PC的长为　　　　.
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