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第5章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 事件的关系与运算
例1　(多选题)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地摸球两次,每次摸出1个球,设事件S=“第一次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“摸出的2个球颜色相同”,N=“摸出的2个球颜色不同”,则(　　).
A.S R B.R∩G=M
C.R∪G=M D.M=
小结　(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下试验的所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下试验的所有可能出现的结果,并把这些结果在图中列出,进行运算.
题型2 互斥事件、对立事件的概率
例2　某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)求他不乘轮船去的概率;
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具
小结　(1)互斥事件与对立事件的概率计算
①若事件A1,A2,…,An彼此互斥,
则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
②设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P().
(2)求复杂事件的概率常用的两种方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
②先求其对立事件的概率,然后应用公式P(A)=1-P()求解.
题型3 古典概型的求法
例3　(2022年全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　).
A. B.
C. D.
小结　古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式P(A)=时,关键是正确理解基本事件与事件A的关系,求出n,m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.
题型4 相互独立事件的判断
例4　有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
小结　判断事件A,B是否独立,先计算对应概率,再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
题型5 相互独立事件的概率
例5　(2022年全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　　).
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
小结　与相互独立事件有关的概率问题的求解策略:明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义,然后根据相互独立事件的概率公式计算.
题型6 频率与概率
例6　对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率.
(2)从这批U盘中任意抽取一个,是次品的概率约是多少
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘
方法指导　结合频率的定义进行计算填表,并用频率估计概率.
小结　概率是个常数.但除了几类概型,概率并不易知,故可用频率来估计.
题型7 数形结合思想在求解概率中的应用
例7　口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回),试求“第二个人摸到白球”的概率.
方法指导　利用树状图法列出总的事件和基本事件,代入古典概型公式求解.
小结　当事件个数没有很明显的规律,且涉及的基本事件不多时,我们可借助树状图直观地将其表示出来,这有助于我们有条理地进行思考和表达,也体现了直观想象的素养.
【拓展延伸】
概率论的发展
概率问题在早期的研究中,逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念,并确定了它们的基本性质.
后来,人们提出了许多社会问题和工程技术问题,如:人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等.这些问题的提出,均促进了概率论的发展,从17世纪到19世纪,贝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔科夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献.
在这段时间里,概率论的发展简直到了使人着迷的程度.但是,随着概率论在各个领域获得大量成果,以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用,由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来,甚至无法适用于一般的随机现象.因此可以说,到20世纪初,概率论的一些基本概念,诸如概率等尚没有确切的定义,概率论作为一个数学分支,缺乏严格的理论基础.
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》.经过二十多年的艰难研究,贝努利在该书中表述并证明了著名的“大数定律”.所谓“大数定律”,简单地说就是,当实验次数很大时,事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小.这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系,构建了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁.因此贝努利被称为概率论的奠基人.
为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫.1933年,他发表了著名的《概率论基础》,用公理化结构明确定义了概率论中的基本概念,成为概率论发展史上的一个里程碑,这为以后概率论的迅速发展奠定了基础.
人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求,经历了相当长的历史时期,甚至可以追溯到远古的原始社会.最早,人们对事物的偶然性并不重视,他们认为这是“微不足道的”,因而只注意那些有一定必然规律的现象.但是,严酷的现实使人们感到这种观点是错误的,因为火灾、水灾、地震等偶然现象一旦发生,便给人们的生命财产带来不可估量的损失.随之,人们又认为偶然现象是“可怕的”“严重的”.但是在实践中人们又发现,事物的偶然性不仅有可怕的一面,也有造福于人类的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事.
这样,人们开始探讨偶然现象发生的规律性.由于生产力水平,科学文化知识所限,长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢,甚至有人提出它是“神秘的”“不可捉摸的”.直到唯物辩证法产生,才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识.
恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而我们的问题是发现这些规律.”马克思主义的认识论,给人们指出了认识偶然性的正确方法.
到了19世纪,概率论的研究开始朝着系统化的方向发展,其中贡献最大的数学家有法国的拉普拉斯、泊松,德国的高斯,俄国的切比雪夫、马尔科夫等.
拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日,曾任巴黎军事学院数学教授.1795年任巴黎综合工科学校教授,后又在高等师范学校任教授.1799年他还担任过法国经度局局长,并在拿破仑政府中担任过6个星期的内政部长.1816年被选为法兰西学院院士,1817年担任该院院长.1827年3月5日卒于巴黎.拉普拉斯一生写过好几本概率论专著,其中《分析概率论》(1812年)被誉为古典概率论系统理论的经典之作,全面总结了前一时期的研究成果,并予以严密而又系统的表述,给出了“棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理”的理论证明,建立了观察误差的理论和最小二乘法.
1917年,数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系.
1933年,柯尔莫哥洛夫以莫斯科学派所擅长的实变函数论和测度论为基础,又给出了概率论的一个公理体系.这一体系与伯恩斯坦的相比,不仅使现代意义下的概率论理论更加严密完备,而且为论述无限随机实验序列和一般随机过程提供了足够的逻辑基础.因此,柯尔莫哥洛夫和他的工作称为苏联数学史上最光辉的一页.
2第5章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 事件的关系与运算
例1　(多选题)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地摸球两次,每次摸出1个球,设事件S=“第一次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“摸出的2个球颜色相同”,N=“摸出的2个球颜色不同”,则(　　).
A.S R B.R∩G=M
C.R∪G=M D.M=
【答案】　CD
【解析】　因为S=“第一次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,所以R S,故A错误;
因为R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,所以两个事件没有公共的基本事件,所以R∩G= ,故B错误;
由R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“摸出的2个球颜色相同”,得R或G表示摸出的2个球的颜色相同,即R∪G=M,故C正确;
M=“摸出的2个球颜色相同”,N=“摸出的2个球颜色不同”,由对立事件的定义知M=,故D正确.
小结　(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下试验的所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下试验的所有可能出现的结果,并把这些结果在图中列出,进行运算.
题型2 互斥事件、对立事件的概率
例2　某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)求他不乘轮船去的概率;
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具
【解析】　记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1,P(A4)=0.4.
(1)P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.
故他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P,
则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8,
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A1)+P(A2)=0.3+0.2=0.5,
P(A3)+P(A4)=0.1+0.4=0.5,
故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.
小结　(1)互斥事件与对立事件的概率计算
①若事件A1,A2,…,An彼此互斥,
则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
②设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P().
(2)求复杂事件的概率常用的两种方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
②先求其对立事件的概率,然后应用公式P(A)=1-P()求解.
题型3 古典概型的求法
例3　(2022年全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　从6张卡片中无放回抽取2张,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种情况,故概率为=.故选C.
小结　古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式P(A)=时,关键是正确理解基本事件与事件A的关系,求出n,m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.
题型4 相互独立事件的判断
例4　有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【答案】　B
【解析】　因为P(甲)==,P(乙)==,P(丙)=,P(丁)==,
所以P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),
P(甲丁)==P(甲)P(丁),
P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),
P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).故选B.
小结　判断事件A,B是否独立,先计算对应概率,再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
题型5 相互独立事件的概率
例5　(2022年全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　　).
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
【答案】　D
【解析】　若该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,
记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为“乙甲丙”及“丙甲乙”的概率均为,则此时连胜两盘的概率为p甲,
则p甲=[(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)]+[(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)]=p1(p2+p3)-2p1p2p3.
记该棋手在第二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为p乙,
则p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3.
记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为p丙,
则p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3.
则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-[p2(p1+p3)-2p1p2p3]=(p1-p2)p3<0,
p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-[p3(p1+p2)-2p1p2p3]=(p2-p3)p1<0,
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛,p最大,D正确,B,C错误;
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关,A错误.
小结　与相互独立事件有关的概率问题的求解策略:明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义,然后根据相互独立事件的概率公式计算.
题型6 频率与概率
例6　对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率.
(2)从这批U盘中任意抽取一个,是次品的概率约是多少
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘
方法指导　结合频率的定义进行计算填表,并用频率估计概率.
【解析】　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个,是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2000,因为x是正整数,
所以x≥2041,即至少需进货2041个U盘.
小结　概率是个常数.但除了几类概型,概率并不易知,故可用频率来估计.
题型7 数形结合思想在求解概率中的应用
例7　口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回),试求“第二个人摸到白球”的概率.
方法指导　利用树状图法列出总的事件和基本事件,代入古典概型公式求解.
【解析】　把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁,把2个白球编上序号1,2,把2个黑球也编上序号1,2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来,如图所示.
从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为24.第二人摸到白球的结果有12种,记第二个人摸到白球为事件A,则P(A)==.
小结　当事件个数没有很明显的规律,且涉及的基本事件不多时,我们可借助树状图直观地将其表示出来,这有助于我们有条理地进行思考和表达,也体现了直观想象的素养.
【拓展延伸】
概率论的发展
概率问题在早期的研究中,逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念,并确定了它们的基本性质.
后来,人们提出了许多社会问题和工程技术问题,如:人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等.这些问题的提出,均促进了概率论的发展,从17世纪到19世纪,贝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔科夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献.
在这段时间里,概率论的发展简直到了使人着迷的程度.但是,随着概率论在各个领域获得大量成果,以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用,由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来,甚至无法适用于一般的随机现象.因此可以说,到20世纪初,概率论的一些基本概念,诸如概率等尚没有确切的定义,概率论作为一个数学分支,缺乏严格的理论基础.
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》.经过二十多年的艰难研究,贝努利在该书中表述并证明了著名的“大数定律”.所谓“大数定律”,简单地说就是,当实验次数很大时,事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小.这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系,构建了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁.因此贝努利被称为概率论的奠基人.
为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫.1933年,他发表了著名的《概率论基础》,用公理化结构明确定义了概率论中的基本概念,成为概率论发展史上的一个里程碑,这为以后概率论的迅速发展奠定了基础.
人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求,经历了相当长的历史时期,甚至可以追溯到远古的原始社会.最早,人们对事物的偶然性并不重视,他们认为这是“微不足道的”,因而只注意那些有一定必然规律的现象.但是,严酷的现实使人们感到这种观点是错误的,因为火灾、水灾、地震等偶然现象一旦发生,便给人们的生命财产带来不可估量的损失.随之,人们又认为偶然现象是“可怕的”“严重的”.但是在实践中人们又发现,事物的偶然性不仅有可怕的一面,也有造福于人类的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事.
这样,人们开始探讨偶然现象发生的规律性.由于生产力水平,科学文化知识所限,长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢,甚至有人提出它是“神秘的”“不可捉摸的”.直到唯物辩证法产生,才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识.
恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而我们的问题是发现这些规律.”马克思主义的认识论,给人们指出了认识偶然性的正确方法.
到了19世纪,概率论的研究开始朝着系统化的方向发展,其中贡献最大的数学家有法国的拉普拉斯、泊松,德国的高斯,俄国的切比雪夫、马尔科夫等.
拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日,曾任巴黎军事学院数学教授.1795年任巴黎综合工科学校教授,后又在高等师范学校任教授.1799年他还担任过法国经度局局长,并在拿破仑政府中担任过6个星期的内政部长.1816年被选为法兰西学院院士,1817年担任该院院长.1827年3月5日卒于巴黎.拉普拉斯一生写过好几本概率论专著,其中《分析概率论》(1812年)被誉为古典概率论系统理论的经典之作,全面总结了前一时期的研究成果,并予以严密而又系统的表述,给出了“棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理”的理论证明,建立了观察误差的理论和最小二乘法.
1917年,数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系.
1933年,柯尔莫哥洛夫以莫斯科学派所擅长的实变函数论和测度论为基础,又给出了概率论的一个公理体系.这一体系与伯恩斯坦的相比,不仅使现代意义下的概率论理论更加严密完备,而且为论述无限随机实验序列和一般随机过程提供了足够的逻辑基础.因此,柯尔莫哥洛夫和他的工作称为苏联数学史上最光辉的一页.
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