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专题 2 从对称的角度来解决圆的问题
知识解读：
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”圆的美体现在它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任意的角度都能与自身重合.由圆的对称性研究了很多重要的定理：同圆或等圆的半径相等；垂径定理及其推论；同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理等.这些性质在证明或计算时往往通过构造直角三角形，使其三边分别为“弦长的一半，圆的半径，圆心到弦的距离”，常与勾股定理相结合.巧用圆的对称性能妙解许多问题，可使解题方法更灵活，思想更丰富，叙述更简洁，答案更完整.
培优学案
典例示范
例1 P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，则过点 P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 条.【提示】过点 P的最长弦是直径AB，最短的弦是与OP垂直的弦CD.
跟踪训练》
1.已知⊙O的直径AB=10cm,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为M,且CD=8cm,则AC的长为 cm.
【提示】如图 1-2-1，根据圆的对称性，符合条件的弦CD 应该有两条.连接OC，通过解 Rt△CMO 和Rt△ACM使问题获解.
2.如图1-2-2,MN是半径为1的⊙O 的直径,点 A 在⊙O上,∠AMN=30°,B 为劣弧 的中点，P 是直径MN 上一动点,则 PA+PB的最小值为 .
【提示】可以根据圆的轴对称性作出点A 或点B 关于MN 的对称点，然后确定当PA+PB 有最小值时点P的位置.
例2 如图1-2-3,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是AB的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:
(2)如图②,若 ,求 tan∠PAB 的值.
【提示】(1)证明△APC是含30°角的直角三角形;
(2)将∠PAB 转化为∠PCB.
【解答】
跟踪训练
已知⊙O的直径为10,点A,B,C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(1)如图1-2-4①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(2)如图1-2-4②,若∠CAB=60°,求 BD的长.
【提示】(1)利用直径所对的圆周角为直角这一性质，将待求的线段放置于直角三角形中求解；
(2)利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，将待求的线段放置于等边三角形中求解.
【解答】
例3 如图1-2-5，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 .
【提示】抓住两个关键点：①当弦AB与小圆相切时最短；②当弦AB过圆心O时最长.
眼踪训练
1.如图1-2-6,在半径为5 的圆O中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且AB=CD=8,则OP 的长为 ( )
A.3 B.4 C.3 D.4
2.如图1-2-7,在半径为 5 的⊙A 中,弦 BC,ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦 BC 的弦心距等于 ( )
C.4 D.3
3.如图1-2-8,在半径为6cm的⊙O中,C,D为直径AB 的三等分点,点E,F 分别在AB 两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE,BF,则图中两个阴影部分的面积和为 cm .
【提示】延长EC交⊙O于点G，连接AG.根据条件和圆的轴对称性，要求的阴影部分的面积和等于△AEG的面积，只要求出△AEG的面积即可.
例 4 如图1-2-9,在半径为2 的扇形 AOB 中,∠AOB=90°,点C 是. 上的一个动点(不与点A，B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为 D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边 如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；
(3)设 BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
【提示】(1)在△DOB 中运用垂径定理和勾股定理求解；(2)不难发现，D，E是中点，联想三角形的中位线定理， 不变；(3)选择OE 作为底，作出OE 边上的高，设法将△DOE的底和高用x表示出来.
【解答】
跟踪训练
如图1-2-10,等圆⊙O 与⊙O 相交于A,B 两点,⊙O 经过⊙O 的圆心O ,点A 在x轴的正半轴上,两圆分别与x轴交于C，D两点，y轴与⊙O 相切于点 O ，点 O 在y轴的负半轴上.
①四边形 AO BO 为菱形;
②点D的横坐标是点O 的横坐标的两倍；
③∠ADB=60°;
④△BCD的外接圆的圆心是线段O O 的中点.
以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
【提示】①根据题意较容易观察出. 所以四边形 为菱形；②过点O 作O E⊥AD，根据垂径定理得：E为AD 中点，所以点D的横坐标是点O 的横坐标的两倍是错的；③根据题意较容易观察出△BO O 与△AO O 是等边三角形，所以 的度数为120°，根据圆周角定理即可求出∠ADB的大小；④根据题意知，O O 是△DCB的中位线，而中位线的中点不是三角形的外接圆的圆心.
例5 如图1-2-11,已知⊙O上依次有A,B,C,D 四个点, 连接AB,AD,BD,弦AB 不经过圆心O.延长AB到E,使BE=AB.连接EC,F是EC 的中点,连接BF.
(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧 的长；
(2)求证:
(3)设G是BD 的中点.探索：在⊙O上是否存在点P(不同于点 B)，使得PG=PF
【提示】(1)根据∠DAB 可得优弧 所对圆心角的度数为 即可求得劣弧 的长；(2)根据条件可以构造 BF为△EAC的中位线，则 又由条件可得 BD=AC，进而解决问题；(3)不妨过点B作AE 的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P.再根据条件证得△PBG与 全等，则有PG=PF.
【解答】
培优训练
1.如图1-2-15,点 A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 .
2.在半径为1的⊙O中,弦AB,AC 的长分别为1和 则∠BAC 的度数为 .
3.如图1-2-16,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB 于点D.
(1)求证:AO平分∠BAC;
(2)若 求 AC和CD的长.
4.将一副三角板 与 (其中 )如图1-2-17摆放， 中∠D 所对的直角边与 的斜边恰好重合.以AB为直径的圆经过点C，且与AD 相交于点 E,分别连接EB,EC.
(1)求证:EC平分.
(2)求 的值.

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