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专题3 与圆有关的角度问题
知识解读：
1.圆周角常用结论
(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；
(3)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
(4)直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
(5)圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角.
2.弦切角
(1)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角.
(2)弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.
培优学案
典例示范
1.圆周角
例 1 正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点.
(1)如图1-3-1①,当点 E 在AB上时,求证:i
(2)如图1-3-1②,当点 E在AD上时, 是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【解答】
跟踪训练
如图1-3-2,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 的中点,以 DC为直径的⊙O交 的三边，交点分别是G,F,E. GE,CD的交点为M,且
(1)求证:∠GEF=∠A;
(2)求⊙O的直径CD的长.
【解答】
2.圆内接四边形的外角
例2 如图1-3-3,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠BPC=60°,过点A作⊙O的切线交 BP 的延长线于点D.
(1)求证:△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长.
【提示】(1)通过圆的切线,证明∠PAD=∠ABD 即可;
(2)利用“截长”或“补短”的原理，证明三条线段PA，PB，PC之间具有和差关系；
(3)利用相似三角形的性质，先求出BD的长，再利用相似三角形或锐角三角函数求等边三角形ABC的边长.
【解答】
【拓展】本题容易出错的地方是想当然地认为∠D=90°，∠PAD=30°，作直径AE后，没有作任何推理就直接下结论AE是BC的垂直平分线.
本题的三个小题，每个小题都有很多种做法，下面略作介绍：
第(1)问：先证明△ABC是等边三角形.
①如图1-3-4①,作直径AE,连接BE,得 Rt△ABE,由∠2=∠ACB=60°,得∠1=30°,从而∠BAD=
②如图1-3-4②,连接OA,OB,由∠3=2∠ACB=120°得∠1=∠2=30°,从而
③如图1-3-4③,连接OA,OB,OC,证明△OAB≌△OAC,得∠1=∠2=30°,从而 第(2)问:
①如图1-3-5①,在PC上截取PG=PA,连接AG,先证△APG为等边三角形,再证△APB≌△AGC;或者在 PC上截取CG=PB,连接AG,先证. 得 ，再证△APG为等边三角形.
②如图1-3-5②,在 PA的延长线上截取AG=PB(延长 PA 到点G,使AG=PB),连接CG,证△ACG≌△BCP,得∠G=∠4=60°,再证△CPG为等边三角形.
③如图1-3-5③,在AP的延长线上截取PH=PB(延长AP到点H,使PH=PB),连接BH,证△ABH≌△CBP,得∠H=∠4=60°,再证△BPH 为等边三角形.
第(3)问:由第(1)问△ADP∽△BDA,先求出 BD=4.
①如图1-3-6①,作DK⊥AB 于点K,在Rt△ADK 中,由 AD=2和∠DAB=60°,求得AK,DK 的长,再在 Rt△BDK 中,由DK,BD 求得BK 的长,从而 BC=AB=AK+BK.
②如图1-3-6②,作DM⊥AP 于点M,在Rt△PDM中,由PD=1和∠DPM=60°,求得 PM,DM的长,再在Rt△ADM中,由DM,AD求得AM的长,从而AP=AM+PM;由第(1)问△ADP∽△BDA,可求得AB的长,得BC的长.
③如图1-3-6③,若直径 AE 交 BC 于点F,则 再作 DH⊥BC 于点 H,可得矩形 ADHF,则 设BF=x,则BC=2x,BH=x-2,在Rt△BDH 中,根据勾股定理构建方程,求得x的值,进而得到BC的长.
跟踪训练》
如图1-3-7，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交 BC 及AB 的延长线于F，G，连接AF 并延长交△BGF的外接圆于H,连接GH,BH.
(1)求证:△DFA∽△HBG;
(2)过 A点引圆的切线AE,E为切点, ,求 AB的长;
(3)在(2)的条件下,又知AD=6,求 tan∠HBC的值.
【解答】

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