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利用函数模型解决几何问题
必备思路
利用函数模型解决几何问题的一般方法
①由函数解析式得到几何图形上某些特殊点的坐标；
②利用这些坐标确定几何图形在平面直角坐标系中的位置；
③利用几何图形的性质得到几何图形上其他关键点的坐标；
④把无法直接求解的图形的面积转换为可以求解的几个图形的面积和或差再进行计算.
典例剖析
典例1 基础型
如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，动点 E，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点 A 出发，点 E 沿折线A→B→C方向运动，点 F 沿折线A→C→B 方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t(秒)，点 E，F 的距离为y.
(1)请写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围.
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质.
(3)结合函数图象，写出点E，F 相距3个单位长度时t的值.
方法点拨
第(1)问:
分段讨论:动点 E(F)从点 A 出发运动到点 B(C)的过程，利用等边三角形的性质写出此时 y 关于t的函数表达式；从点 B(C)运动到两动点相遇的过程，根据点 E，F 间的距离等于△ABC的周长与两动点路程之和的差写出此时 y关于t的函数表达式.
第(2)问:
可从对称性、增减性、最值等方面写该函数 的 性质，在写 增减性 时，要 注 意 自 变 量 的 取 值范围.
典例②进阶型
小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，点D 是弧 上一动点,线段 BC=8cm,点 A 是线段BC 的中点,过点 C 作 CF∥BD,交 DA 的延长线于点 F.当△DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整.
(1)根据点 D 在弧 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD 的长度，得到下表中的几组数据.
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中发现：
①“当点 D 为弧 的中点时,BD=5.0 cm.”则表中 a 的值是 ;
②“线段 CF 的长度无需测量即可得到.”请简要说明理由.
(2)将线段 BD 的长度作为自变量x(cm),CD 和FD 的长度都是关于x(cm)的函数，分别记为 ycD和yFD，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数yFD的图象，如图 2 所示.请在同一平面直角坐标系中画出函数 ycD的图象.
(3)继续在同一平面直角坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象写出当△DCF 为等腰三角形时，线段 BD 长度的近似值.(结果保留一位小数)
方法点拨
第(3)问:
当△DCF 为等腰三角形时，分CF=CD,CF=FD,CD=FD三种情况，BD 的长度依次对应的是函数 ycF与 ycD图象交点的横坐标,函数 yCF 与 yFD图象交点的横坐标,函数 yCD与 yFD图象交点的横坐标。
注意:当点 D 与点 B 或点 C 重合时，△DCF 不存在
压轴突破练
1.如图，Q 是弧 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接 PQ 并延长交弧 于点C,连接AC.已知. 6cm,设A,P 两点间的距离为xcm,P,C 两点间的距离为y cm,A,C 两点间的距离为y cm.
小腾根据学习函数的经验，分别对因变量 y ，y 随自变量 x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整.
(1)按照下表中自变量x的值进行取点，画图并测量，得到了 与x 的几组对应值，将下表补充完整.
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y /cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37
y /cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点( 并画出函数 y 的图象.
(3)结合函数图象，解决问题：当△APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm.(精确到 0.1)
2.如图，P 是弧/ 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是弧 上一动点,连接 PC 交弦AB 于点D.
小腾根据学习函数的经验，对线段 PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程，请补充完整.
(1)对于点 C 在弧 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC，PD，AD 的长度的几组值，如下表.
位置 1 位置 2 位置3 位置 4 位置 5 位置 6 位置7 位置 8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.72
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在线段 PC，PD，AD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的因变量.
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象.
(3)结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，线段AD 的长度约为 cm.(精确到0.01)
3.在 Rt△ABC 中,. 将 绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线 BC 于 D，E 两点，F 为 AE 上一点，连接CF,且 (当点 B,D 重合时,点C,F 也重合).设 B,D 两点间的距离为 A,F 两点间的距离为 y cm.
小刚根据学习函数的经验，对因变量y 随着自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小刚的探究过程，请补充完整.
(1)列表：根据表中 B，D 两点间的距离x的值进行取点、画图、测量，得到了 x 与y 的几组对应值.
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8
y/cm 6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65
请你通过计算补全表格.
(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数 y关于x的图象.
(3)探究性质：随着自变量 x的不断增大，写出因变量 y 的变化趋势.
(4)解决问题：当 时，求 BD 的长度大约是多少.(结果保留两位小数)

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