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函数图象平移问题
1.函数图象平移对应函数解析式变化的规律
对应规律 示例
函数图象左右平移→自变量“左加右减” y=kx+b向左平移h→y=k(x+h)+b; y=ax +c 向右平移h→y=a(x-h) +c
函数图象上下平移→含自变量的式子整体“上加下减” y=kx+b向上平移→y=kx+b+t; y=ax +c 向下平移t→y=ax +c-t
2.解决函数图象平移问题的一般方法
方法一：先写解析式，后作图.
①确定原函数解析式；
②根据函数图象平移对应函数解析式变化的规律写出平移后的新图象对应的新函数解析式；
③根据新函数解析式画出新函数图象，数形结合，解决所求问题.
方法二：先作图，后写解析式.
①确定原函数图象；
②作出平移后的新函数图象，并确定新函数图象经过的点的坐标；
③用待定系数法求出新函数的解析式，从而解决所求问题.
典例剖析
典例① 基础型
我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y=2x的图象向上平移1个单位长度得到y=2x+1的图象；将二次函数 的图象向左平移 2个单位长度得到 y= 的图象.若将反比例函数 的图象向下平移3个单位长度，如图所示，则得到的图象对应的函数解析式是什么
方法点拨
类比一次函数图象平移对应函数解析式的变化，可知函数图象上下平移，对应函数等号右边含自变量的式子整体“上加下减”，由此即可写出反比例函数图象向下平移后得到的图象对应的函数解析式.
注意：当不知道平移后的 图象对应的函数解析式的形式时，是不能用待定系数法来求函数解析式的.
典例② 进阶型
如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形 ABCD 的边 AB 在线段OE上(点 B 在点 A 的左侧),点 C,D 在抛物线上,设 B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形ABCD 的边有两个交点G，H，且直线GH 平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.
方法点拨
第(3)问:
直线 GH 平分矩形ABCD 的面积,故矩 形 ABCD 对角线 的交点在直线GH 上.画出草图，找到点 C 在平移后抛物线上的对应点，它们之间 的距 离 即 抛 物线向右平移的距离.
压轴突破练
1.已知( 是抛物线 (b为常数)上的两点，当 时，总有
(1)求 b 的值.
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 若抛物线 与抛物线 在 范围内有一个交点，求m 的取值范围.
2.如图，正比例函数 的图象和反比例函数 的图象交于点A(m,2).
(1)求反比例函数的解析式.
(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后，与 y 轴交于点 B，与 的图象交于点 C,连接AB,AC,求 的面积.
典例② 进阶型
已知关于 x 的函数
(1)若a=1,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,1),求该函数的表达式和最小值.
(2)若a=1,b=-2,c=m+1,函数的图象与x轴有交点,求m 的取值范围.
(3)阅读材料.设a>0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B 两点均在原点左侧，探究系数a，b，c 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面.
①因为函数图象与x轴有两个不同的交点，所以
②因为A，B 两点在原点左侧，所以函数图象上横坐标为0的点在x轴的上方,即c>0.
③上述两个条件还不能确保A，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置，即需
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳 请类比上述材料，解决下面问题.
若函数 的图象在直线 x=1右侧的部分与x轴有且只有一个交点，求a 的取值范围.
题意分析第(3)问:
当a>0 时,该 函 数 为 二 次 函数，图象为抛物线，抛物线开口向上，根据交点 A，B 的位置画出草图如下.
结合草图更容易写出满足题意的条件.
方法点拨
第(3)问:
函数图象与 x 轴交点的横坐标即方程 的根.分情况 讨 论 画 出 符 合 题 意 的 草图，写出 限 制函 数 图象位置的条件，即可求解a 的取值范围.注意：题目未限制a≠0，故函数可能是二次函数，也可能是一次函数.
压轴突破练
1.如图,已知坐标轴上A(0,4),B(2,0)两点,连接AB,过点 B 作 ，交反比例函数 位于第一象限的图象于点C(a，1).
(1)求反比例函数 和直线OC 的表达式.
(2)将直线OC 向上平移 个单位长度，得到直线l，求直线 l与反比例函数图象的交点坐标.
2.如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 ABCD 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出面积为( 的矩形地块
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题.
设AB 长为x m,BC 长为y m.由矩形地块面积为 得到 ，满足条件的(x，y)可看成是反比例函数 图象上在第一象限内的点的坐标；木栏总长为10 m，得到 ，满足条件的(x，y)可看成一次函数y=-2x+10 图象上在第一象限内的点的坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看成两个函数图象交点的坐标.
如图2，反比例函数 的图象与直线 交点的坐标为(1,8)和 ,因此,木栏总长为 10 m时,能围出面积为8 的矩形地块，分别为 BC=8m或AB= m,BC= m.
根据小颖的分析思路，完成上面的填空.
【类比探究】
(2)若 ，能否围出面积为 的矩形地块 说明理由并仿照小颖的方法，在图3中画出一次函数的图象.
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数 发现直线 可以看成是通过直线 平移得到的，在平移过程中，当直线过点(2，4)时，直线 与反比例函数 的图象有唯一交点.
(3)请在图3中画出直线. 过点(2，4)时的图象，并求出a 的值.
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为‘ 的图象与 的图象在第一象限内是否存在交点问题”.
(4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB 和BC 的长均不小于1m，请写出a的取值范围.
3.已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与 y 轴交于点C.直线l由直线BC 平移得到，与y轴交于点 E(0，n).四边形 MNPQ 的四个顶点的坐标分别为M
(2)若点 M 位于第二象限，直线l与经过点 M 的双曲线 有且只有一个交点，求 的最大值.
(3)当直线 l与四边形MNPQ、抛物线 都有交点时，存在直线 l 与四边形MNPQ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 的交点的纵坐标.
①当 时，写出n的取值范围.
②求m 的取值范围.

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