资源简介

专题6 切线长定理与问题的解决
特别要解读：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.该定理在计算和证明中应用相当广泛，常常可用来解决以下几种题型：
①求角度；②求线段长；③证明线段相等；④证明线段成比例；⑤证明线段平行；⑥与三角形内切圆有关的问题.
培优学案
典例示范
例1 已知⊙O的两条切线PA 和PB 相交于点P,与⊙O 相切于A,B 两点,C是⊙O上的一点,若∠P=40°,求∠ACB的度数.
【提示】由于点C的位置不确定，所以需要分类讨论.
【解答】
跟踪训练
如图1-6-1,CA和CB 都是⊙O的切线,切点分别是A,B,如果⊙O的半径为2 ,且AB=6,求∠ACB 的度数.
【解答】
例2 如图1-6-2①,在△ABC中,CA=CB,点O在高CH 上,OD⊥CA 于点D,OE⊥CB 于点E,以O为圆心,OD为半径作⊙O.
(1)求证:⊙O与CB 相切于点E;
(2)如图1-6-2②,若⊙O过点H,且AC=5,AB=6,连接EH,求△BHE的面积.
【提示】(1)由等腰三角形的性质易得CH是∠ACB的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD，即圆心O到直线CB 的距离等于半径，所以结论得证；
(2)先由等腰三角形的性质得BC=AC=5,BH=AH=3,在Rt△BCH 中,由勾股定理得CH=4;再由切线长定理得 BE=BH=3;然后,过点E作EF⊥AB 于点F,则易得△BEF∽△BCH，根据相似三角形的对应边成比例得EF 的长，则△BHE的面积
【解答】
跟踪训练
如图1-6-3,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AB 上的一点,以O为圆心,OB 为半径的圆与AB 交于点E,与AC切于点D,若AD=2,AE=1,求CD的长.
【解答】
例3 如图1-6-4,PA,PB切⊙O于A,B 两点,CD切⊙O于点E,交 PA,PB 于C,D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是
【提示】先利用切线长定理将△PCD的周长转化成线段PA 长的2倍，构造出切线长定理的基本图形，利用勾股定理、面积法或者是三角函数计算出相关线段的长度，最后将所求的∠APB 放在一个直角三角形中，将它的正切值转化为两条线段的比值即可得到答案.
跟踪训练
如图1-6-5,⊙A 与⊙B 外切于点 D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E 是切点,若∠CED=x°, ⊙B的半径为R，则劣弧DE的长度是 ( )
例4 如图1-6-6①所示,AB 为⊙O的直径,AD 与⊙O相切于点A,DE 与⊙O相切于点E,点C为DE 延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)连接AE，AE 的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示).若. 求线段 BC和EG的长.
【提示】(1)欲证明BC为⊙O 的切线，依据切线的判定定理,需证明 OB⊥BC,为此要连接 OC,OE,设法证明△OBC≌△OEC,得∠OBC=∠OEC=90°;
(2)需顺着(1)问结论，灵活运用切线长定理、勾股定理、相似三角形知识解答，关键有二：一连接BE，发现EC=BC=CG；二通过过点D 作BG 边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出CE的长.
【解答】
眼踪训练
如图1-6-7,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,恰与另一腰CD相切于点E,连接OD,OC,BE.
(1)求证:OD∥BE;
(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.
【提示】(1)由E是切点，故先连接OE，要证OD∥BE，需证明一组同位角. ∠ABE，而∠ABE 是圆周角，根据圆周角定理可知 则需证明∠AOD=∠DOE,即证明 Rt△OAD≌Rt△OED 即可;
(2)由两对三角形全等易得∠DOC=90°,则( 由梯形的面积是 的2倍，可知. 再由x+y=14可求CD的长.
【解答】
例5 在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.
探究新知
如图1-6-8①,⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E,F,G.
(1)求证：内切圆的半径
(2)求 tan∠OAG的值;
结论应用
(1)如图 1-6-8②,若半径为r 的两个等圆⊙O ,⊙O 外切,且⊙O 与AC,AB 相切,( 与 BC,AB 相切,求r 的值;
(2)如图1-6-8③,若半径为r 的n个等圆⊙O ,⊙O ,…,⊙O 依次外切,且( 与AC,AB 相切,( 与BC,AB 相切,⊙O ,⊙O ,…,⊙O 均与AB 相切,求r 的值.
【解答】
培优训练
1.如图1-6-10,AB=AC,CD⊥AB于点D,点O是∠BAC的平分线上一点,⊙O与AB 相切于点M,与 CD相切于点N.
(1)求证:∠AOC=135°;
(2)若 NC=3,BC=2 ,求 DM的长.
2.如图1-6-11,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA 的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.
(1)求证:∠FEB=∠ECF;
(2)若BC=6,DE=4,求EF的长.
3.如图1-6-12,已知AO为 的角平分线， 以O为圆心，OC 为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长交AC 于点F.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)求 的值；
(3)求 的值.

展开更多......

收起↑