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专题 4 利用直线与圆的位置关系解题
知识解读：
1.直线和圆的位置关系：
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.
(1)直线与圆相交 0≤dr.
2.圆的切线：
(1)一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
(2)两种判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：
--“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；
二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；
三“证明”：证明直线是否经过半径的外端，并且与该半径是否垂直.
切线的判定，添加辅助线是难点，通常从以下两个角度考虑：
①若所要证明的切线与圆有公共点，这时连接公共点和圆心，证明与半径垂直；
②若题干中没有交代所要证明的切线与圆有公共点，这时过圆心向该直线作垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径.简单地记为“有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径”.
(4)四条性质:
①圆心到切线的距离等于圆的半径；
②圆的切线垂直于过切点的半径；
③经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；
④经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心.
应用切线的性质解题，经常需要“连接圆心和切点”，把相切转化为垂直，再把垂直转化为直角来解决问题.
培优学案
典例示范
例 1 如图1-4-1,⊙O的半径为6,射线 PM经过点O,OP=10cm,射线 PN与⊙O相切于点Q. A,B 两点同时从点 P 出发,点 A 以 5cm/s的速度沿射线 PM方向运动，点B 以4cm/s的速度沿射线 PN方向运动，设运动时间为ts.
(1)求 PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切
【提示】(1)连接OQ;
(2)先罗列两要素：半径r，圆心到直线的距离d；再分类列方程；最后解方程、检验.一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图.
【解答】
眼标训练
如图1-4-2,已知射线 DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点 E(0,4).动点C 从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动.设运动时间为t秒.以点C为圆心， 个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，连接PA，PB.当⊙C与射线DE 有公共点时，求t的取值范围.
【提示】读懂题意，抽丝剥茧，读者可思考三个问题：①⊙C的半径怎样变化 ②⊙C 在运动的过程中，什么时间开始与射线 DE有公共点 什么时间结束与射线DE 有公共点 ③研究⊙C 与射线DE 的公共点，与点 P 有关系吗
显然，当A，D重合时，⊙C与射线DE 开始有公共点；当⊙C 与射线DE相切之后，就结束与射线DE 有公共点.⊙C 与射线DE 相切的图形你会画吗 怎样求⊙C 与射线DE 相切时对应的t的值呢
【解答】
例2 如图1-4-3,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若E为AB的中点, 求 AB 和CE 的长.
【提示】“遇到切点连圆心”，这是应用切线的性质解题时常用的策略.对于(1)，先利用圆的切线性质得OC⊥CD，再利用AD⊥CD，即得OC∥AD，然后根据平行线的判定及性质得到∠DAC=∠ACO,又∠OAC=∠ACO,故∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;对于(2),先根据△ADC∽△ACB,得到 AB=10,再利用点E 为 的中点及过点A 作CE 的垂线AF，利用三角函数的相关知识分别得到CF，EF的长，相加即得CE的长..
【解答】
跟踪训练
如图1-4-4,AB 为⊙O的直径,BF切⊙O于点B,AF交⊙O于点D,点C 在 DF 上,BC交⊙O于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF 于点G,连接AE.
(1)直接写出AE 与BC 的位置关系;
(2)求证:△BCG∽△ACE;
(3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半径.
【提示】解题的关键是根据圆的性质寻找三角形相似的条件，根据相似三角形解决相应问题。
【解答】
例3 如图1-4-5 是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮回杆 OA，OB，OC抽象为线段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°,折线 NG—GH—HE—EF 表示楼梯,GH,EF 是水平线,NG,HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B 与楼梯两边都相切，且AO∥GH.
(1)如图1-4-6①,若点 H 在线段OB 上,求 的值；
(2)如图1-4-6②,如果一级楼梯的高度. 点 H 到线段OB 的距离 HD=d满足条件d≤3cm,求小轮子半径 rcm的取值范围.
【提示】(1)过O作OP⊥GH 于点P,过B作BM⊥HE 于点M,根据O到GH 的距离与B 到HE 的距离相等都等于⊙A 与⊙B的半径及∠HOP=∠BHM=30°，结合特殊角的三角函数求解；
(2)通过作垂线构造直角三角形，作平行线构造相等角，再利用特殊角的三角函数和切线的性质求解.
【解答】
跟踪训练
一走廊拐角的横截面如图1-4-7 所示,已知AB⊥BC,AB∥DE,BC∥FG,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m. EF的的圆心为O，半径为1m，且 DE,FG分别与⊙O相切于E，F两点.若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在AB 和BC上，且MN与⊙O相切于点P,P 是EFI的中点，则木棒 MN 的长度为 m.
【提示】利用圆的切线的性质，连接OB，解题的关键是证明O，P，B三点共线.
例4 如图1-4-8,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC 于点E,AE=1,ED=2.
(1)求证:∠ABC=∠D;
(2)求 AB的长;
(3)延长DB 到F,使得BF=BO,连接 FA.试判断直线 FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
【提示】(1)利用等腰三角形的性质与圆周角定理的推论易知∠ABC=∠C=∠D；
(2)题目所给的线段长度只有AE=1,ED=2,而求AB 的长,结合(1)中的结论,不难发现
△ABE∽△ADB,得 从而可求AB的长；
(3)已知点A在⊙O上，故可连接OA，通过证OA⊥AF 获得结论.这可通过已知条件分别求得∠BAO=60°,∠FAB=30°达到目的.
【解答】
跟踪训练
如图1-4-9,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB 的中点O为圆心,OA 为半径的圆交AC 于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断 DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证:
(3)若 求OE的长.
【提示】(1)连接OD,因为∠ABC=90°,可以考虑利用“SAS”证明△OBE≌△ODE,从而证明∠ODE=∠OBE=90°;
(2)因为OE 是△ABC的中位线,所以AC=2OE,要证明. 只要证明BC =CD·AC,即 就是要证明△BCD∽△ACB;
(3)要求OE的长,就是要求出AC的长,在Rt△ABC中, 利用 可以求出AC的长.
【解答】
例5 如图 1-4-10①和②,优弧. 所在⊙O的半径为2， 点P 为优弧 上一点(点 P 不与A,B重合)，将图形沿BP 折叠，得到点A的对称点A'.
(1)点O到弦AB的距离是 ,
当BP经过点O时，
(2)当BA'与⊙O相切时,如图②,求折痕 BP 的长;
(3)若线段BA'与优弧 只有一个公共点B，设∠ABP=α，确定α的取值范围.

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