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4.1 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】
1.通过对实物模型的观察,归纳简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(直观想象)
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.(数学运算)
【自主预习】
1.空间几何体的定义是什么
2.常见的空间几何体分为哪几类
3.常见的多面体有哪些
4.棱柱有哪些结构特征
5.什么是棱锥 棱锥怎么分类 什么是正棱锥
6.什么是棱台 棱台怎么分类
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥. (　　)
(2)棱柱的两个底面是全等的多边形. (　　)
(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点. (　　)
(4)棱锥的所有面都可以是三角形. (　　)
2.下列说法正确的是(　　).
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
3.下列几何体中,　　　　是棱柱,　　　　是棱锥,　　　　是棱台.(仅填相应的序号)
【合作探究】
探究1　空间几何体
观察下面两组物体:
(1)
(2)
问题1:你能说出各组物体的共同点吗
问题2: 构成多面体的面最少是多少个
新知生成
1.空间几何体
(1)概念:如果只考虑物体的　形状　和　大小　,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的　空间图形　叫作空间几何体.
(2)多面体:由若干个　平面多边形　(包括三角形)所围成的封闭体叫作多面体(如图),围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;相邻两个面的　公共边　叫作多面体的棱;棱与棱的　交点　叫作多面体的顶点.
2.旋转体
把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条直线旋转而成的几何体称为旋转体,这条定直线称为旋转轴.
新知运用
例1　中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,“半正多面体”体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的“半正多面体”,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该“半正多面体”共有　　　　个面,其棱长为　　　　.
方法指导　第一空可从图②直接得到,第二空需在正方体中简单还原出物体的位置,利用对称性,根据平面几何的性质解决.
六子联方起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合得十分巧妙.六子联方类玩具比较多,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的六子联方玩具,图②是该六子联方玩具的直观图.它有多少条棱 它有多少个顶点和面
探究2　棱柱的结构特征
小明用包装盒做了几个几何体,如图所示:
问题1:观察图中的多面体,想一想:这些多面体各有什么特点
问题2:棱柱的侧面一定是平行四边形吗
新知生成
1.棱柱的结构特征
定义 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫作棱柱
图示及相 关概念 底面:两个互相平行的面. 侧面:底面以外的其余各面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 顶点:侧棱与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱……
2.棱柱的高
与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高.
3.棱柱的分类
(1)按底面多边形的边数来分:底面可能为三角形、四边形、五边形等,这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱等.
(2)按侧棱是否与底面垂直:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱.
底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
如果棱柱的底面和侧面都是矩形,这样的棱柱是长方体,所有棱长都相等的长方体是正方体.
两个底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
新知运用
例2　如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 若是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗 若是,请指出它们的底面.
方法指导　根据棱柱的定义、结构特征判断.
【方法总结】　　有关棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱的概念辨析问题应紧扣棱柱的定义:①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　).
A.所有的棱柱的两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边互相平行
C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
探究3　棱锥、棱台的结构特征
问题1:观察图(1)(2)中的几何体,它们有什么共同特点
问题2:观察图(3)(4)中的几何体,它们有什么共同特点
新知生成
1.棱锥的结构特征
定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
图示及相 关概念 底面:多边形面. 侧面:有同一个公共顶点的三角形面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 顶点:各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥称为正棱锥.
3.棱台的结构特征
定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,把原棱锥底面和截面之间的那部分多面体叫作棱台
图示及相 关概念 上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:除上、下底面以外的面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧棱与上(下)底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱台、四棱台……
新知运用
一、棱锥、棱台的结构特征
例3　下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(3)棱锥的侧面只能是三角形;
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是　　　　.
【方法总结】　　有关棱锥、棱台结构特征问题的判断方法:(1)举反例法,结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确;(2)直接根据棱锥、棱台的定义判断.
观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是(　　).
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
二、多面体的表面展开图
例4　画出如图所示的几何体的表面展开图.
方法指导　(1)可沿一侧棱如CC1,上、下底面的对边CA,C1A1,CB,C1B1剪开展平;(2)可沿四条侧棱AC,AB,AD,AE剪开展平.
【方法总结】　　多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.
在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把(1)中过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,已知一个正方体的表面展开图如图所示(图中数和字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的“上面”,则这个正方体的“下面”是(　　).
A.1 B.7 C.快 D.乐
【随堂检测】
1.已知集合A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},D={平行六面体},则(　　).
A.A B C D
B.C A B D
C.A C B D
D.它们无确切包含关系
2.下列说法正确的是(　　).
A.直四棱柱是长方体
B.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C.正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D.棱台是由一个平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分
3.如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　).
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为　　　　.
24.1 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】
1.通过对实物模型的观察,归纳简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(直观想象)
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.(数学运算)
【自主预习】
1.空间几何体的定义是什么
【答案】　如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体.
2.常见的空间几何体分为哪几类
【答案】　常见的空间几何体分为多面体与旋转体两类.
3.常见的多面体有哪些
【答案】　棱柱、棱锥、棱台.
4.棱柱有哪些结构特征
【答案】　棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行.
5.什么是棱锥 棱锥怎么分类 什么是正棱锥
【答案】　几何体有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,像这样的多面体叫作棱锥.按底面多边形的边数分,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等.如果棱锥的底面是正多边形,将底面水平放置后,它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上,则这样的棱锥称为正棱锥.
6.什么是棱台 棱台怎么分类
【答案】　过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点,作一个与底面平行的平面去截棱锥,截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台,分别叫作三棱台、四棱台、五棱台.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥. (　　)
(2)棱柱的两个底面是全等的多边形. (　　)
(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点. (　　)
(4)棱锥的所有面都可以是三角形. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.下列说法正确的是(　　).
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【答案】　A
【解析】　棱柱的两个底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错误;对齐后立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推至倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错误;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.
3.下列几何体中,　　　　是棱柱,　　　　是棱锥,　　　　是棱台.(仅填相应的序号)
【答案】　①③④　⑥　⑤
【合作探究】
探究1　空间几何体
观察下面两组物体:
(1)
(2)
问题1:你能说出各组物体的共同点吗
【答案】　第(1)组中每个物体都是由多个平面多边形围成,第(2)组中每个物体都是由平面图形旋转得到.
问题2: 构成多面体的面最少是多少个
【答案】　三棱锥是面最少的多面体,共有3个侧面和1个底面,故构成多面体的面最少是4个.
新知生成
1.空间几何体
(1)概念:如果只考虑物体的　形状　和　大小　,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的　空间图形　叫作空间几何体.
(2)多面体:由若干个　平面多边形　(包括三角形)所围成的封闭体叫作多面体(如图),围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;相邻两个面的　公共边　叫作多面体的棱;棱与棱的　交点　叫作多面体的顶点.
2.旋转体
把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条直线旋转而成的几何体称为旋转体,这条定直线称为旋转轴.
新知运用
例1　中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,“半正多面体”体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的“半正多面体”,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该“半正多面体”共有　　　　个面,其棱长为　　　　.
方法指导　第一空可从图②直接得到,第二空需在正方体中简单还原出物体的位置,利用对称性,根据平面几何的性质解决.
【答案】　26　-1
【解析】　由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知,其上部分有9个面,中间部分有8个面,下部分有9个面,共有2×9+8=26个面.
作中间部分的横截面,由题意知,该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH,如图,设其边长为x,则正八边形的边长为“半正多面体”的棱长.连接AF,过点H,G分别作HM⊥AF,GN⊥AF,垂足分别为M,N,则AM=MH=NG=NF=x.
又AM+MN+NF=1,所以x+x+x=1,
解得x=-1,所以“半正多面体”的棱长为-1.
六子联方起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合得十分巧妙.六子联方类玩具比较多,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的六子联方玩具,图②是该六子联方玩具的直观图.它有多少条棱 它有多少个顶点和面
【解析】　由图知六子联方玩具的上部分有16条棱,中间有4条棱,下部分有16条棱,共有36条棱;
上、下两面各有8个顶点,中间部分也有8个顶点,共有24个顶点;
八边形有6个,三角形有8个,共有14个面.
探究2　棱柱的结构特征
小明用包装盒做了几个几何体,如图所示:
问题1:观察图中的多面体,想一想:这些多面体各有什么特点
【答案】　直观上可以发现,图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形,且上、下两个面所在平面都不会相交,其余各面都是平行四边形.
问题2:棱柱的侧面一定是平行四边形吗
【答案】　棱柱的侧面一定是平行四边形.
新知生成
1.棱柱的结构特征
定义 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫作棱柱
图示及相 关概念 底面:两个互相平行的面. 侧面:底面以外的其余各面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 顶点:侧棱与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱……
2.棱柱的高
与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高.
3.棱柱的分类
(1)按底面多边形的边数来分:底面可能为三角形、四边形、五边形等,这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱等.
(2)按侧棱是否与底面垂直:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱.
底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
如果棱柱的底面和侧面都是矩形,这样的棱柱是长方体,所有棱长都相等的长方体是正方体.
两个底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
新知运用
例2　如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 若是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗 若是,请指出它们的底面.
方法指导　根据棱柱的定义、结构特征判断.
【解析】　(1)长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理,另一部分也是棱柱,可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.
【方法总结】　　有关棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱的概念辨析问题应紧扣棱柱的定义:①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　).
A.所有的棱柱的两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边互相平行
C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
【答案】　ABD
【解析】　对于A,B,D,显然是正确的;对于C,根据棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫作棱柱,显然C中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱,所以C错误.故选ABD.
探究3　棱锥、棱台的结构特征
问题1:观察图(1)(2)中的几何体,它们有什么共同特点
【答案】　直观地看,它们的侧面都是有一个公共顶点的三角形,底面是多边形.
问题2:观察图(3)(4)中的几何体,它们有什么共同特点
【答案】　上下底面平行,侧棱延长交于一点.
新知生成
1.棱锥的结构特征
定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
图示及相 关概念 底面:多边形面. 侧面:有同一个公共顶点的三角形面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 顶点:各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥称为正棱锥.
3.棱台的结构特征
定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,把原棱锥底面和截面之间的那部分多面体叫作棱台
图示及相 关概念 上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:除上、下底面以外的面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧棱与上(下)底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱台、四棱台……
新知运用
一、棱锥、棱台的结构特征
例3　下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(3)棱锥的侧面只能是三角形;
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是　　　　.
【答案】　(2)(3)(4)
【解析】　(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;
(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
(4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(5)错误,如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
【方法总结】　　有关棱锥、棱台结构特征问题的判断方法:(1)举反例法,结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确;(2)直接根据棱锥、棱台的定义判断.
观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是(　　).
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
【答案】　B
【解析】　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,③不是棱锥,④是棱台,故B错误.
二、多面体的表面展开图
例4　画出如图所示的几何体的表面展开图.
方法指导　(1)可沿一侧棱如CC1,上、下底面的对边CA,C1A1,CB,C1B1剪开展平;(2)可沿四条侧棱AC,AB,AD,AE剪开展平.
【解析】　几何体的表面展开图如图所示:
【方法总结】　　多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.
在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把(1)中过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,已知一个正方体的表面展开图如图所示(图中数和字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的“上面”,则这个正方体的“下面”是(　　).
A.1 B.7 C.快 D.乐
【答案】　B
【解析】　由题意,将正方体的展开图还原成正方体,“1”与“乐”相对,“2”与“7”相对,“0”与“快”相对,所以“下面”是“7”.
【随堂检测】
1.已知集合A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},D={平行六面体},则(　　).
A.A B C D
B.C A B D
C.A C B D
D.它们无确切包含关系
【答案】　C
【解析】　正方体,满足侧棱垂直于底面,且底面是正方形,所以正方体都是正四棱柱,所以A C;正四棱柱,是底面为正方形的直四棱柱,所以侧面都是长方形,底面是正方形,所以正四棱柱都是长方体,所以C B;长方体,显然各面是平行四边形,所以长方体是平行六面体,所以B D.综上所述,A C B D.
2.下列说法正确的是(　　).
A.直四棱柱是长方体
B.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C.正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D.棱台是由一个平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分
【答案】　C
【解析】　当直四棱柱的底面不是矩形时,直四棱柱不是长方体,A错误;不符合棱柱的结构特征,如下面是一个正三棱柱,上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱,B错误;正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体,C正确;不符合棱台的结构特征,截面应该与底面平行,D错误.
3.如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　).
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
【答案】　B
【解析】　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为　　　　.
【答案】　2
【解析】　如图,将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求,易知AC1=2.
2

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