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4.1 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(数学抽象)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)
3.认识简单组合体的结构特征,了解简单组合体的两种基本构成形式.(直观想象)
【自主预习】
观察下列实物图.
1.你能说出由该实物图抽象出的几何体吗
2.常见的旋转体有哪些 它们是怎样形成的
3.圆台和圆锥之间有什么关系
4.这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在的直线旋转得到的旋转体是圆锥. (　　)
(2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. (　　)
(3)夹在一圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱. (　　)
(4)半圆绕其直径所在的直线旋转一周形成球. (　　)
2.下列说法中,正确的是(　　).
A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
3.(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线段
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球
4.观察下列四个几何体,其中可看作是由两个棱柱拼接而成的有　　　　.(填序号)
【合作探究】
探究1　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
小明说,他利用下图旋转一周就能得到圆锥、圆柱、圆台.
问题1:小明说的正确吗
问题2:圆柱是由几个平面围成的吗 若不是,它又是怎么构成的呢
问题3:圆锥是以直角三角形的任意一条边所在直线为轴旋转而成的吗
问题4:用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗
新知生成
1.圆柱
(1)定义:将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆柱.边AB所在直线叫作圆柱的轴,由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面,由边CD绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面,边CD叫作圆柱的一条母线.
(2)表示:例如,圆柱AB.
2.圆锥
(1)定义:将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆锥.直角边AB所在直线叫作圆锥的轴,点A叫作圆锥的顶点,由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面,由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面,斜边AC叫作圆锥的一条母线.
(2)表示:例如,圆锥AB.
3.圆台
(1)定义:将直角梯形ABCD(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆台.腰BC所在直线叫作圆台的轴,由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面,由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的侧面,腰AD叫作圆台的一条母线.
圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到的圆锥底面与截面之间的几何体.
(2)表示:例如,圆台BC.
4.圆柱、圆锥、圆台的性质
①平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆;
②圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
新知运用
例1　给出下列命题:
(1)以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
(4)用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中真命题的个数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
方法指导　根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断.
【方法总结】　　圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的,平面图形不同,得到的旋转体也不同,即使是同一平面图形,所选旋转轴不同,得到的旋转体也不同.
若本例中(2)改为“以直角梯形的各边所在直线为轴旋转一周”,得到的几何体是由哪些简单几何体组成的
探究2　球体与组合体的结构特征
　　如图,这是蒙古族牧民居住的一种房子,又称蒙古包.
问题1:你能说出上图是由哪些几何体构成的吗
问题2:我们知道球与圆柱、圆锥、圆台又不一样,它没有一个面是平面,它又是由什么几何图形绕着什么轴旋转而成的呢
问题3:球能否由圆面旋转而成
新知生成
1.球
(1)定义:将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作球,记作球O.半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面),把点O称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径.
(2)性质:
①球面上所有的点到球心的距离都相等,等于球的半径;
②用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
2.简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
新知运用
例2　图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的
方法指导　先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形,再旋转识别几何体.
【方法总结】　　识别或运用几何体的结构特征,要从几何体的概念入手,掌握画图或识图的方法,并善于运用身边的特殊几何体进行比较、分析、判断.
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(　　).
A.一个圆台、两个圆锥　　　B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱　　　D.一个圆柱、两个圆锥
探究3　几何体中的计算问题
例3　如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P,Q两点,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,问:蚂蚁爬过的最短路径长是多少
方法指导　将圆柱侧面展开,把空间问题转化为平面问题解决.
【方法总结】　　求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间的最短距离都要转化到侧面展开图中,“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法.
国庆节期间,要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语,经测量得圆锥的母线长为3米,高为2米,如图所示.为了美观需要,在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端,沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸,彩绸的另一端仍回到原处M,则彩绸最短要多少米
【随堂检测】
1.圆锥的母线有(　　).
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
2.下列几何体中不是旋转体的是(　　).
3.在社会主义新农村建设中,某村统一进行旧村改造,其每户的住宅房的效果图如图所示,其主要的结构特征是　　　　.
4.圆台的两底面圆半径分别为2 cm,5 cm,母线长是3 cm,求其轴截面的面积.
24.1 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(数学抽象)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)
3.认识简单组合体的结构特征,了解简单组合体的两种基本构成形式.(直观想象)
【自主预习】
观察下列实物图.
1.你能说出由该实物图抽象出的几何体吗
【答案】　能,从左到右依次是圆台、球、圆锥、圆柱.
2.常见的旋转体有哪些 它们是怎样形成的
【答案】　常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球;它们是由矩形、直角三角形、等腰梯形、半圆面绕一条定直线旋转而成的.
3.圆台和圆锥之间有什么关系
【答案】　用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和圆锥底面之间的部分叫作圆台.
4.这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形
【答案】　圆台的侧面展开图是扇环,轴截面是等腰梯形;圆锥的侧面展开图是扇形,轴截面是等腰三角形;圆柱的侧面展开图是矩形,轴截面也是矩形;球没有侧面展开图,轴截面是圆.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在的直线旋转得到的旋转体是圆锥. (　　)
(2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. (　　)
(3)夹在一圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱. (　　)
(4)半圆绕其直径所在的直线旋转一周形成球. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.下列说法中,正确的是(　　).
A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】　A
【解析】　以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,故B不正确;圆锥仅有一个底面,故C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,故D不正确.故选A.
3.(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线段
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球
【答案】　AC
【解析】　A正确;B错误,只有两点的连线经过球心时才为直径;C正确;球面和球是两个不同的概念,以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面,球面围成的几何体叫作球,故D错误.
4.观察下列四个几何体,其中可看作是由两个棱柱拼接而成的有　　　　.(填序号)
【答案】　①④
【解析】　①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成.
【合作探究】
探究1　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
小明说,他利用下图旋转一周就能得到圆锥、圆柱、圆台.
问题1:小明说的正确吗
【答案】　不正确,他得到的是一个组合体,这个组合体是由圆锥、圆柱、圆台组成的.
问题2:圆柱是由几个平面围成的吗 若不是,它又是怎么构成的呢
【答案】　圆柱的面不都是平面,如侧面就是曲面.它是以矩形的一条边所在直线为旋转轴,其余三条边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题3:圆锥是以直角三角形的任意一条边所在直线为轴旋转而成的吗
【答案】　不是,它是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题4:用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗
【答案】　不一定,只有当平面与圆锥的底面平行时,才能截得一个圆锥和一个圆台.
新知生成
1.圆柱
(1)定义:将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆柱.边AB所在直线叫作圆柱的轴,由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面,由边CD绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面,边CD叫作圆柱的一条母线.
(2)表示:例如,圆柱AB.
2.圆锥
(1)定义:将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆锥.直角边AB所在直线叫作圆锥的轴,点A叫作圆锥的顶点,由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面,由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面,斜边AC叫作圆锥的一条母线.
(2)表示:例如,圆锥AB.
3.圆台
(1)定义:将直角梯形ABCD(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作圆台.腰BC所在直线叫作圆台的轴,由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面,由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的侧面,腰AD叫作圆台的一条母线.
圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到的圆锥底面与截面之间的几何体.
(2)表示:例如,圆台BC.
4.圆柱、圆锥、圆台的性质
①平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆;
②圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
新知运用
例1　给出下列命题:
(1)以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
(4)用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中真命题的个数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
方法指导　根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断.
【答案】　C
【解析】　(1)以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥;(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台;(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可得到一个圆锥和一个圆台.故(1)(3)正确,故选C.
【方法总结】　　圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的,平面图形不同,得到的旋转体也不同,即使是同一平面图形,所选旋转轴不同,得到的旋转体也不同.
若本例中(2)改为“以直角梯形的各边所在直线为轴旋转一周”,得到的几何体是由哪些简单几何体组成的
【解析】　①以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周得到圆台;②以较长的底所在直线为轴旋转一周得到的几何体由一个圆柱和一个圆锥组成;③以较短的底所在直线为轴旋转一周得到的几何体由一个圆柱挖去一个同底圆锥组成;④以斜腰所在直线为轴旋转一周得到的几何体由一个圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥组成.
探究2　球体与组合体的结构特征
　　如图,这是蒙古族牧民居住的一种房子,又称蒙古包.
问题1:你能说出上图是由哪些几何体构成的吗
【答案】　能,它是由圆柱、圆台、圆锥构成的.
问题2:我们知道球与圆柱、圆锥、圆台又不一样,它没有一个面是平面,它又是由什么几何图形绕着什么轴旋转而成的呢
【答案】　球是由半圆绕直径所在的直线旋转一周形成的几何体.
问题3:球能否由圆面旋转而成
【答案】　能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体为球.
新知生成
1.球
(1)定义:将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周,所形成的旋转体叫作球,记作球O.半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面),把点O称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径.
(2)性质:
①球面上所有的点到球心的距离都相等,等于球的半径;
②用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
2.简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
新知运用
例2　图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的
方法指导　先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形,再旋转识别几何体.
【解析】　旋转后的几何体如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成.
【方法总结】　　识别或运用几何体的结构特征,要从几何体的概念入手,掌握画图或识图的方法,并善于运用身边的特殊几何体进行比较、分析、判断.
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(　　).
A.一个圆台、两个圆锥　　　B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱　　　D.一个圆柱、两个圆锥
【答案】　D
【解析】　图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体为一个组合体,如图②,是由一个圆柱、两个圆锥组成的.
探究3　几何体中的计算问题
例3　如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P,Q两点,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,问:蚂蚁爬过的最短路径长是多少
方法指导　将圆柱侧面展开,把空间问题转化为平面问题解决.
【解析】　将圆柱侧面沿母线AA1展开,得到如图所示的矩形,则A1B1=·2πr=πr=10π(cm).
过点Q作QS⊥AA1于点S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π(cm),∴PQ==10(cm),
即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm.
【方法总结】　　求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间的最短距离都要转化到侧面展开图中,“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法.
国庆节期间,要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语,经测量得圆锥的母线长为3米,高为2米,如图所示.为了美观需要,在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端,沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸,彩绸的另一端仍回到原处M,则彩绸最短要多少米
【解析】　把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开,并铺平得扇形MOM1,如图所示.
这样把空间问题转化为平面问题,易知彩绸的最短长度为线段MM1的长度,由母线长为3米,高为2米,得底面半径为1米,所以扇形的圆心角为120°,所以MM1=3米,即彩绸最短要3米.
【随堂检测】
1.圆锥的母线有(　　).
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
【答案】　D
【解析】　由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条.
2.下列几何体中不是旋转体的是(　　).
【答案】　D
【解析】　很明显D不可能是旋转体.
3.在社会主义新农村建设中,某村统一进行旧村改造,其每户的住宅房的效果图如图所示,其主要的结构特征是　　　　.
【答案】　一个三棱柱和一个长方体拼接而成的组合体
【解析】　将该住宅房抽象成如图所示的组合体,
则该住宅房的上部分是一个三棱柱,下部分是一个长方体.
4.圆台的两底面圆半径分别为2 cm,5 cm,母线长是3 cm,求其轴截面的面积.
【解析】　如图,在轴截面内过点A作AB⊥O1A1,垂足为B.
由已知得OA=2 cm,O1A1=5 cm,AA1=3 cm,
∴A1B=3 cm,
∴AB===9 cm.
∴S轴截面=(2OA+2O1A1)·AB=×(4+10)×9=63(cm2).
故圆台轴截面的面积为63 cm2.
2

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