资源简介

4.1 课时3 空间几何体的直观图
【学习目标】
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.(逻辑推理、直观想象)
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(直观想象)
【自主预习】
1.在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗
【答案】　不一定.
2.正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时习惯画成什么形状 为什么
【答案】　平行四边形、平行四边形、扁圆形.为增加直观性.
3.水平放置的平面图形中的线段在直观图中长度不变吗
【答案】　图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
4.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么
【答案】　(1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z'轴,z'轴过点O',且与x'轴的夹角为90°,并画出高线(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.
(3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来垂直的仍垂直. (　　)
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来平行的仍平行. (　　)
(3)正方形的直观图为平行四边形. (　　)
(4)梯形的直观图不是梯形. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.某一平面图形的直观图如图所示,则此平面图形可能是图中的(　　).
　　 A　　　　 　B　　　　C　　　 　　D
【答案】　A
【解析】　由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等,为梯形,且梯形两腰不与底垂直.故选A.
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴,y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A'=(　　).
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
【答案】　C
【解析】　在画直观图时,∠A'的两边依然分别平行于x'轴,y'轴,而∠x'O'y'=45°或∠x'O'y'=135°.故选C.
【合作探究】
探究1　斜二测画法、平面图形直观图的画法及要求
问题1:三视图在生产活动中应用广泛,比如我们的零件图纸、建筑图纸上画的都是三视图.但是三视图不能更好地体现空间几何体的整体,没有直观的概念.如何展现几何体的“全貌”,体现线线,线面间的关系呢
【答案】　利用平行投影画出几何体的直观图.
问题2:矩形窗户在阳光的照射下留在地面上的影子是什么形状 如何画矩形的直观图
【答案】　平行四边形.利用斜二测画法.
问题3:用斜二测画法画出水平放置的长为6,宽为4的矩形的直观图.
【答案】　在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,作出其斜二测直观图,如下图所示.
问题4:你能总结一下画水平放置的长方形的直观图的规则吗
【答案】　画轴,横不变,纵减半,平行重合不改变.
新知生成
1.斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的　平行投影　画法.
2.平面图形直观图的画法及要求
新知运用
例1　画水平放置的正五边形的直观图.
【解析】　(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy,再建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在图①中作BG⊥x轴于点G,EH⊥x轴于点H,在坐标系x'O'y'中作O'H'=OH,O'G'=OG,O'A'=OA,O'F'=OF.过点F'作C'D'∥x'轴,且C'F'=CF,F'D'=FD.在平面x'O'y'中,过点G'作G'B'∥y'轴,且G'B'=GB,过点
H'作H'E'∥y'轴,且H'E'=HE.连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',如图②所示.
(3)擦去辅助线,得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的直观图,如图③所示.
【方法总结】　　画平面图形的直观图的技巧:(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
画水平放置的直角梯形的直观图,如图所示.
【解析】　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示.
(2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC,连接B'C',如图②所示.
(3)擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③所示.
探究2　空间几何体直观图的画法
已知正六棱锥P-ABCDEF.
问题1:如何画正六棱锥的直观图呢
【答案】　先画正六棱锥P-ABCDEF的底面,再画正六棱锥的高,然后连接得图形.
问题2:空间几何体的直观图唯一吗
【答案】　不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同.
新知生成
空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的　z　轴,直观图中与之对应的是　z'　轴;
(2)平面　x'O'y'　表示水平平面,平面　y'O'z'　和　x'O'z'　表示竖直平面;
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中　平行性　和　长度　都不变;
(4)去掉辅助线,将被遮挡的部分改为　虚线　,成图.
新知运用
例2　画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
方法指导　先画轴,再利用斜二测画法,画出两个底面,连线成图,擦去多余的线.
【解析】　(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)画底面.根据x'轴,y'轴,画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于1.5 cm.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,就得到正六棱柱的直观图.
【方法总结】　　画空间几何体的直观图的基本原则:(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段;(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.
由如图所示的几何体的三视图画出直观图.
【解析】　(1)画轴.如图①,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC',如图①.
(4)成图,顺次连接A',B',C',并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图,如图②.
探究3　直观图的还原与计算
例3　(1)如图①,Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图,若O'B'=,则这个平面图形的面积是(　　).
A.1 B. C.2 D.4
(2)如图②所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积.
方法指导　逆用斜二测画法,还原图形.先定点,再连线得原图形,求面积.
【答案】　(1)C
【解析】　(1)由题图知,△OAB为直角三角形.因为O'B'=,所以A'B'=,O'A'=2.所以在原△OAB中,OB=,OA=4,所以S△OAB=××4=2,
故选C.
(2)如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形.
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底分别为AB=2,CD=3,直角腰AD=2.
所以原图形的面积S=×2=5.
【方法总结】　　斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系;在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求原图形的面积可把直观图还原为原图形,且两者之间的关系为=.
如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的直观图,若C'A'=2,B'D'∥y'轴,且B'D'=1.5,画出原图形并求原平面图形△ABC的面积.
【解析】　画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',OD=O'D',过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'.连接AB,BC,则△ABC为△A'B'C'原来的图形,如图所示.
∵B'D'∥y'轴,∴BD⊥AC.
又B'D'=1.5且A'C'=2,
∴BD=3,AC=2.
∴S△ABC=·BD·AC=3.
【随堂检测】
1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,则下列画法正确的是(　　).
　　　A　　　　 B　　 　　C　　　　　D
【答案】　C
【解析】　正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形,且相邻的两边之比为2∶1.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'=　　　　.
【答案】　45°或135°
【解析】　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,所以∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x'O'y'=45°或135°,即∠A'=45°或135°.
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
【答案】　2.5
【解析】　由直观图知,原平面图形为Rt△ACB,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,计算得AB=5,故所求的中线长为2.5.
4.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
【解析】　(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图①所示.
(2)画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示.
在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD;过点E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC.
(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
24.1 课时3 空间几何体的直观图
【学习目标】
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.(逻辑推理、直观想象)
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(直观想象)
【自主预习】
1.在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗
2.正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时习惯画成什么形状 为什么
3.水平放置的平面图形中的线段在直观图中长度不变吗
4.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来垂直的仍垂直. (　　)
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来平行的仍平行. (　　)
(3)正方形的直观图为平行四边形. (　　)
(4)梯形的直观图不是梯形. (　　)
2.某一平面图形的直观图如图所示,则此平面图形可能是图中的(　　).
　　 A　　　　 　B　　　　C　　　 　　D
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴,y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A'=(　　).
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
【合作探究】
探究1　斜二测画法、平面图形直观图的画法及要求
问题1:三视图在生产活动中应用广泛,比如我们的零件图纸、建筑图纸上画的都是三视图.但是三视图不能更好地体现空间几何体的整体,没有直观的概念.如何展现几何体的“全貌”,体现线线,线面间的关系呢
问题2:矩形窗户在阳光的照射下留在地面上的影子是什么形状 如何画矩形的直观图
问题3:用斜二测画法画出水平放置的长为6,宽为4的矩形的直观图.
问题4:你能总结一下画水平放置的长方形的直观图的规则吗
新知生成
1.斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的　平行投影　画法.
2.平面图形直观图的画法及要求
新知运用
例1　画水平放置的正五边形的直观图.
【方法总结】　　画平面图形的直观图的技巧:(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
画水平放置的直角梯形的直观图,如图所示.
探究2　空间几何体直观图的画法
已知正六棱锥P-ABCDEF.
问题1:如何画正六棱锥的直观图呢
问题2:空间几何体的直观图唯一吗
新知生成
空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的　z　轴,直观图中与之对应的是　z'　轴;
(2)平面　x'O'y'　表示水平平面,平面　y'O'z'　和　x'O'z'　表示竖直平面;
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中　平行性　和　长度　都不变;
(4)去掉辅助线,将被遮挡的部分改为　虚线　,成图.
新知运用
例2　画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
方法指导　先画轴,再利用斜二测画法,画出两个底面,连线成图,擦去多余的线.
【方法总结】　　画空间几何体的直观图的基本原则:(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段;(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.
由如图所示的几何体的三视图画出直观图.
探究3　直观图的还原与计算
例3　(1)如图①,Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图,若O'B'=,则这个平面图形的面积是(　　).
A.1 B. C.2 D.4
(2)如图②所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积.
方法指导　逆用斜二测画法,还原图形.先定点,再连线得原图形,求面积.
【方法总结】　　斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系;在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求原图形的面积可把直观图还原为原图形,且两者之间的关系为=.
如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的直观图,若C'A'=2,B'D'∥y'轴,且B'D'=1.5,画出原图形并求原平面图形△ABC的面积.
【随堂检测】
1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,则下列画法正确的是(　　).
　　　A　　　　 B　　 　　C　　　　　D
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'=　　　　.
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　.
4.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
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