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4.2 平面
【学习目标】
1.了解平面的表示法,点、直线与平面的位置关系.(数学抽象、直观想象)
2.掌握关于平面的三个基本事实及推论.(逻辑推理、直观想象)
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象、直观想象)
【自主预习】
1.平面的表示方法有哪些
【答案】　常用小写希腊字母α,β,γ,…来表示平面,将它写在表示平面的平行四边形的一个角上;还可以用表示平面的平行四边形的顶点字母或对角顶点字母来表示.
2.平面是由点组成的,直线也是由点组成的,联想集合的观点,若点A在直线l上,l在平面α内,则点A和直线l、平面α的位置关系如何表示 直线l和平面α呢
【答案】　A∈l,A∈α,l α.
3.两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗
【答案】　不可能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. (　　)
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A. (　　)
(3)空间不同三点确定一个平面. (　　)
(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.如图,平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
【答案】　A
【解析】　表示平面不能用一条边的两个端点表示,但可以表示为平面MP或平面QN.故选A.
3.若点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　).
A.A a,a α,B∈α
B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A∈a,a∈α,B∈α
【答案】　B
【解析】　点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,可表示为A∈a,a α,B∈α.
【合作探究】
探究1　平面
照片中是平静的湖面、餐桌、教室的课桌.
问题1:湖面、餐桌、教室的课桌给人以怎样的印象
【答案】　它们给人以“平面”的印象.
问题2:在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象而来的,那么现在的平面又是怎么来的呢 它有什么特点呢
【答案】　平面是从桌面、黑板面、平静的湖面等抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的.
问题3:一个平面能否把空间分成两部分
【答案】　能,因为平面是无限延展的,所以一个平面能把空间分成两部分.
新知生成
1.平面的概念
几何里所说的“平面”是从桌面、黑板面、平静的湖面等这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是　向四周无限延展　的,是没有宽度和厚度的.
2.平面的画法:(1)常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向.如图①.
(2)在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图②.
3.表示法:可以用小写希腊字母α,β,γ等来表示;用　两个大写的英文字母　(表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的　四个顶点　)来表示.
新知运用
一、平面的概念
例1　(1)有下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长为50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中真命题的个数为　　　　.
(2)下图中的两个平面相交,其中画法正确的是　　　　.
【答案】　(1)1　 (2)④
【解析】　(1)由平面的概念,可知它是绝对平的、无厚度的、可无限延展的,可以判断命题④是真命题,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①②③是假命题.
(2)两个平面相交,需画出它们的交线,并且被遮挡部分用虚线画出来.可知图④的画法正确.
【方法总结】　　平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是无限延展而没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合;⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.
下列说法正确的是　　　　.
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面ABCD的面积为100 cm2;
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
【答案】　②
【解析】　①错误,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;③错误,平面不能度量;④错误,看不到的线画成虚线.
二、三种语言的相互转化
例2　用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与平面α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
【解析】　(1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.如图所示.
(2)用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB.如图所示.
【方法总结】　　三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意被遮挡部分用虚线表示.
用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解析】　(1)用符号表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.如图①所示.
(2)用符号表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.如图②所示.
探究2　平面的基本事实
在日常生活中,我们经常看到这样的场景:自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.
问题1:上述是一种什么原理呢
【答案】　这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性,其原理就是不在同一条直线上的三点可以确定一个平面.
问题2:若直线与平面只有一个公共点,则直线在平面内吗 若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内吗
【答案】　若只有一个公共点,则直线不一定在平面内;若有两个公共点,则直线一定在平面内.
问题3:把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗
【答案】　因为平面是无限延展的,所以不可能只有一个公共点,它们应该有一条公共直线.
新知生成
1.平面的基本事实
基本事实内容图形符号
基本事实1如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本事实2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β,α,β不重合 α∩β=l且P∈l,l唯一
2.推论
推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
特别提示:
1.基本事实1的作用:(1)用直线检验平面;(2)判断直线是否在平面内.
2.基本事实2的作用:(1)确定平面;(2)判断两平面是否重合;(3)证明点、线共面.
3.基本事实3的作用:(1)判断两个平面是否相交,只要两个平面有一个公共点,就可以判断这两个平面必相交于过这点的一条直线;(2)判断点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的交线,则这点在交线上,即 这是后面证明“点共线”和“线共点”的重要依据.
新知运用
一、线线共面问题
例3　已知直线a,b,c,且b∥c,a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面.
【解析】　∵b∥c,∴设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈b,B∈c.又b α,∴A∈α,同理可得B∈α,即a α,∴直线a,b,c共面.
【方法总结】　　证明多线共面的两种方法
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.
已知AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求证:直线AB,BC,AC共面.
【解析】　因为AC∩AB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.
因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC α.
因此直线AB,BC,AC都在平面α内,
所以直线AB,BC,AC共面.
二、线线共点问题
例4　如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
方法指导　梯形的两腰→找交点→探求交点与平面α,β的位置关系→得结论.
【解析】　因为梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,
所以AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M,
又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β,
所以M∈α∩β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
即AB,CD,l共点(相交于一点).
【方法总结】　　证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点;
(2)说明这个点在另外两个平面上,并且这两个平面相交;
(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点.
【解析】　如图,连接PQ.
由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,
得PQ∥B1C1,且PQ=B1C1.
又BC B1C1,∴PQ∥BC,
且PQ=BC,
∴四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.
又BP 平面AA1B1B,CQ 平面AA1C1C,
∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,
∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,即R∈AA1,
∴直线AA1,BP,CQ相交于一点.
三、平面的交线问题
例5　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上一点(点E不与点C1重合).试说明D1,A,E三点确定的平面与平面ABCD相交,并画出这两个平面的交线.
【解析】　因为A∈平面D1AE,A∈平面ABCD,
所以平面D1AE与平面ABCD相交.
延长D1E与DC,设它们相交于点F,连接AF,如图所示,
因为F∈直线D1E,F∈直线DC,直线D1E 平面D1AE,直线DC 平面ABCD,
所以F∈平面D1AE,F∈平面ABCD,
则AF为平面D1AE与平面ABCD的交线.
【方法总结】　　基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点.
如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中点,试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
【解析】　如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.
因为M∈D1F,M∈DA,D1F 平面BED1F,DA 平面ABCD,
所以M∈平面BED1F,M∈平面ABCD,
又B∈平面BED1F,B∈平面ABCD,
连接MB,则平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直线MB为所求两平面的交线.
【随堂检测】
1.(多选题)下面四个条件中,能确定一个平面的是(　　).
A.空间中任意三点 B.一条直线和一个点
C.两条相交的直线 D.两条平行的直线
【答案】　CD
【解析】　空间中任意三点,当三点共线时,不能确定一个平面,A不正确;
一条直线和一个点,如果点在直线上,不能确定一个平面,B不正确;
由基本事实可知,两条相交的直线,两条平行的直线,都能确定一个平面,C,D正确.
2.若两个平面有三个公共点,则这两个平面(　　).
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
【答案】　C
【解析】　若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.
3.设平面α与平面β相交于直线l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M　　　　l.(用符号表示)
【答案】　∈
【解析】　因为a∩b=M,直线a α,直线b β,所以M∈α,M∈β,又平面α与平面β相交于直线l,所以点M在直线l上,即M∈l.
4.如图,已知△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点.
【解析】　如图所示,∵B1C1∥BC,
∴B1C1与BC确定一个平面,记为平面β.
同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
∵△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,
∴AA1与BB1相交.
设交点为P,则P∈AA1,P∈BB1.
而AA1 γ,BB1 β,∴P∈γ,且P∈β,
∴P在平面β与平面γ的交线上.
又β∩γ=C1C,∴P∈C1C,
∴AA1,BB1,CC1交于一点.
24.2 平面
【学习目标】
1.了解平面的表示法,点、直线与平面的位置关系.(数学抽象、直观想象)
2.掌握关于平面的三个基本事实及推论.(逻辑推理、直观想象)
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象、直观想象)
【自主预习】
1.平面的表示方法有哪些
2.平面是由点组成的,直线也是由点组成的,联想集合的观点,若点A在直线l上,l在平面α内,则点A和直线l、平面α的位置关系如何表示 直线l和平面α呢
3.两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. (　　)
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A. (　　)
(3)空间不同三点确定一个平面. (　　)
(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (　　)
2.如图,平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
3.若点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　).
A.A a,a α,B∈α
B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A∈a,a∈α,B∈α
【合作探究】
探究1　平面
照片中是平静的湖面、餐桌、教室的课桌.
问题1:湖面、餐桌、教室的课桌给人以怎样的印象
问题2:在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象而来的,那么现在的平面又是怎么来的呢 它有什么特点呢
问题3:一个平面能否把空间分成两部分
新知生成
1.平面的概念
几何里所说的“平面”是从桌面、黑板面、平静的湖面等这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是　向四周无限延展　的,是没有宽度和厚度的.
2.平面的画法:(1)常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向.如图①.
(2)在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图②.
3.表示法:可以用小写希腊字母α,β,γ等来表示;用　两个大写的英文字母　(表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的　四个顶点　)来表示.
新知运用
一、平面的概念
例1　(1)有下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长为50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中真命题的个数为　　　　.
(2)下图中的两个平面相交,其中画法正确的是　　　　.
【方法总结】　　平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是无限延展而没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合;⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.
下列说法正确的是　　　　.
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面ABCD的面积为100 cm2;
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
例2　用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与平面α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
【方法总结】　　三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意被遮挡部分用虚线表示.
用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
探究2　平面的基本事实
在日常生活中,我们经常看到这样的场景:自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.
问题1:上述是一种什么原理呢
问题2:若直线与平面只有一个公共点,则直线在平面内吗 若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内吗
问题3:把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗
新知生成
1.平面的基本事实
基本事实内容图形符号
基本事实1如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本事实2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β,α,β不重合 α∩β=l且P∈l,l唯一
2.推论
推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
特别提示:
1.基本事实1的作用:(1)用直线检验平面;(2)判断直线是否在平面内.
2.基本事实2的作用:(1)确定平面;(2)判断两平面是否重合;(3)证明点、线共面.
3.基本事实3的作用:(1)判断两个平面是否相交,只要两个平面有一个公共点,就可以判断这两个平面必相交于过这点的一条直线;(2)判断点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的交线,则这点在交线上,即 这是后面证明“点共线”和“线共点”的重要依据.
新知运用
一、线线共面问题
例3　已知直线a,b,c,且b∥c,a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面.
【方法总结】　　证明多线共面的两种方法
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.
已知AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求证:直线AB,BC,AC共面.
二、线线共点问题
例4　如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
方法指导　梯形的两腰→找交点→探求交点与平面α,β的位置关系→得结论.
【方法总结】　　证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点;
(2)说明这个点在另外两个平面上,并且这两个平面相交;
(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点.
三、平面的交线问题
例5　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上一点(点E不与点C1重合).试说明D1,A,E三点确定的平面与平面ABCD相交,并画出这两个平面的交线.
【方法总结】　　基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点.
如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中点,试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
【随堂检测】
1.(多选题)下面四个条件中,能确定一个平面的是(　　).
A.空间中任意三点 B.一条直线和一个点
C.两条相交的直线 D.两条平行的直线
2.若两个平面有三个公共点,则这两个平面(　　).
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
3.设平面α与平面β相交于直线l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M　　　　l.(用符号表示)
4.如图,已知△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点.
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