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4.3 课时1 空间中直线与直线的位置关系
【学习目标】
1.会判断空间两直线的位置关系.(直观想象)
2.理解异面直线的定义.(直观想象)
3.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.(直观想象、逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是异面直线
2.空间中两直线的位置关系有哪几种
3.平面内平行线具有传递性,空间内平行线具有传递性吗
4.空间等角定理的内容是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. (　　)
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等. (　　)
(3)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (　　)
2.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=(　　).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
3.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则直线MN与A'C'的位置关系是　　　　.
【合作探究】
探究1　空间中直线与直线的位置关系
问题1:我们知道,火车的铁轨是互相平行的,永远没有交点,空中架设的高压线有时互相穿过但不相交,把它们想象成一条条直线,从中你能找出直线与直线的位置关系吗
问题2:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗
新知生成
1.异面直线
把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
2.空间中两直线的位置关系
(1)相交——在同一个平面内,两条直线有且只有一个公共点;
(2)平行——在同一个平面内,两条直线没有公共点;
(3)异面——两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点.
新知运用
例1　(1)已知正方体表面的一种展开图如图所示,
则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是(　　).
　 A　　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　 D
【方法总结】　　判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
若一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(　　).
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
探究2　平行直线
问题:观察台阶,每个台阶的边沿所在的直线有什么关系
新知生成
基本事实4
(1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)符号语言:若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,b∥c,则a∥c.
新知运用
例2　如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.
方法指导　根据平行线的传递性证明.
【方法总结】　　证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)利用基本事实4,即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,求证:GH∥MN.
探究3　等角定理
观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'.
问题1:同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.空间中是否有类似规律
问题2:这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系
问题3:测量一下,这两个角的大小关系如何
新知生成
等角定理
(1)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言:对于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
新知运用
例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠EA1F=∠E1CF1.
方法指导　要证明∠EA1F=∠E1CF1,可证明A1F∥CF1,A1E∥CE1且射线A1E与CE1,射线A1F与CF1的方向分别相反.
【方法总结】　　(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,那么这两个角互补.
(2)证明角相等,一般采用三种途径:①利用等角定理及推论;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
【随堂检测】
1.已知空间中的两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为(　　).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.已知a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,且a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为　　　　.
3.已知在空间四边形ABCD中,各边的中点分别为M,N,P,Q,AC⊥BD,则四边形MNPQ是　　　　.
4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
24.3 课时1 空间中直线与直线的位置关系
【学习目标】
1.会判断空间两直线的位置关系.(直观想象)
2.理解异面直线的定义.(直观想象)
3.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.(直观想象、逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是异面直线
【答案】　不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
2.空间中两直线的位置关系有哪几种
【答案】　有三种,相交、平行和异面.
3.平面内平行线具有传递性,空间内平行线具有传递性吗
【答案】　也具有传递性.
4.空间等角定理的内容是什么
【答案】　空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. (　　)
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等. (　　)
(3)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=(　　).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
【答案】　C
【解析】　当∠B'A'C'与∠BAC的两组对边方向相同时,∠B'A'C'=30°,当一组对边方向相同,另一组对边方向相反时,∠B'A'C'=150°.故选C.
3.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则直线MN与A'C'的位置关系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　如图所示,∵M,N分别为CD,AD的中点,
∴MN∥AC,且MN=AC.
由正方体的性质可得AC A'C',
∴MN∥A'C',且MN=A'C',
即MN与A'C'平行.
【合作探究】
探究1　空间中直线与直线的位置关系
问题1:我们知道,火车的铁轨是互相平行的,永远没有交点,空中架设的高压线有时互相穿过但不相交,把它们想象成一条条直线,从中你能找出直线与直线的位置关系吗
【答案】　直线与直线的位置关系有平行、异面和相交.
问题2:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗
【答案】　不一定.可能平行、相交或异面.
新知生成
1.异面直线
把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
2.空间中两直线的位置关系
(1)相交——在同一个平面内,两条直线有且只有一个公共点;
(2)平行——在同一个平面内,两条直线没有公共点;
(3)异面——两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点.
新知运用
例1　(1)已知正方体表面的一种展开图如图所示,
则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是(　　).
　 A　　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　 D
【答案】　(1)C　(2)C
【解析】　(1)还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH,故选C.
(2)选项A,B中,PQ∥RS,选项D中,PQ和RS相交.故选C.
【方法总结】　　判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
若一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(　　).
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
【答案】　B
【解析】　假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.
探究2　平行直线
问题:观察台阶,每个台阶的边沿所在的直线有什么关系
【答案】　平行.
新知生成
基本事实4
(1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)符号语言:若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,b∥c,则a∥c.
新知运用
例2　如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.
方法指导　根据平行线的传递性证明.
【解析】　因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
【方法总结】　　证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)利用基本事实4,即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,求证:GH∥MN.
【解析】　如图,取PA的中点Q,连接BQ,CQ,则M,N分别在BQ,CQ上.
∵M,N分别为△PAB,△PAC的重心,
∴==,
∴MN∥BC.
又G,H分别为PB,PC的中点,
∴GH∥BC,
∴GH∥MN.
探究3　等角定理
观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'.
问题1:同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.空间中是否有类似规律
【答案】　有.
问题2:这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系
【答案】　分别对应平行.
问题3:测量一下,这两个角的大小关系如何
【答案】　相等.
新知生成
等角定理
(1)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言:对于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
新知运用
例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠EA1F=∠E1CF1.
方法指导　要证明∠EA1F=∠E1CF1,可证明A1F∥CF1,A1E∥CE1且射线A1E与CE1,射线A1F与CF1的方向分别相反.
【解析】　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,F1M,则BF=A1M.
又∵BF∥A1M,∴四边形A1FBM为平行四边形,∴A1F∥BM.
而F1,M分别为C1D1,A1B1的中点,则F1M C1B1.
而C1B1 BC,∴F1M BC,∴四边形F1MBC为平行四边形.
∴BM∥CF1.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
同理,取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,
∴∠EA1F=∠E1CF1.
【方法总结】　　(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,那么这两个角互补.
(2)证明角相等,一般采用三种途径:①利用等角定理及推论;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
【解析】　因为F为BB1的中点,所以BF=BB1.
因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.
又BB1 DD1,所以BF D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
【随堂检测】
1.已知空间中的两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为(　　).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
【答案】　D
【解析】　∵空间中的两个角α,β的两边对应平行,
∴这两个角相等或互补,
∵α=60°,∴β=60°或β=120°.
故选D.
2.已知a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,且a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为　　　　.
【答案】　θ
【解析】　因为a∥b,所以a,b与c的夹角相等.
3.已知在空间四边形ABCD中,各边的中点分别为M,N,P,Q,AC⊥BD,则四边形MNPQ是　　　　.
【答案】　矩形
【解析】　如图,∵M,N,P,Q分别是四条边的中点,
∴MN∥AC且MN=AC,
PQ∥AC且PQ=AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,
∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
【解析】　如图,连接A'C',因为M,N分别是A'D',C'D'的中点,所以MN∥A'C',且MN=A'C',
因为在正方体中,A'C'∥AC,且A'C'=AC,
所以MN∥AC,且MN=AC.
故四边形ACNM是梯形.
2

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