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4.3 课时2 异面直线
【学习目标】
1.掌握异面直线的另一种判断方法.(逻辑推理、直观想象)
2.理解异面直线所成角的定义,会求两异面直线所成的角.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.怎么判断两直线异面
2.异面直线所成的角的定义是什么
3.异面直线所成的角的范围是什么
4.什么是异面直线垂直
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,该角的大小也不同. (　　)
(2)如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条直线也与第三条直线垂直. (　　)
(3)空间中两条异面直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°. (　　)
2.空间中垂直于同一条直线的两条直线(　　).
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
3.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【合作探究】
探究1　判断两直线异面的方法
问题1:没有公共点的两条直线一定是异面直线吗
问题2:直线a在平面α内,直线b在平面β内,请问直线a,b是异面直线吗
新知生成
异面直线的判定定理
与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.
新知运用
例1　如图所示,已知不共面的直线a,b,c相交于点O,M,P是直线a上的两点,N,Q分别是直线b,c上的点.求证:MN与PQ是异面直线.
方法指导　直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线.
【方法总结】　　判定空间两条直线是异面直线的方法:(1)利用定义;(2)证明两直线既不平行也不相交;(3)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.
如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点.求证:PN与MC为异面直线.
探究2　异面直线所成的角
问题1:为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用什么衬托 你能用图表示一下吗
问题2:能否找到一个平面,使得上述的a,b两条直线都在这个平面内
问题3:在如图所示的正方体中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,但是它们的位置不同,如何描述这种差异呢
问题4:通过平移可以将异面直线所成的角转化成平面中两直线所成的角.那么平移时,所选的点O的位置对它们所成的角的大小有没有影响,为什么
问题5:点O的位置选在哪里比较合适呢
新知生成
异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间　任意　一点O作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a'与b'所成的　锐角　(或　直角　).
(2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作　a⊥b　.
新知运用
例2　如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
【变式探究】将本例中的条件“AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=”改为“AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点”,求EF与AB所成角的大小.
【方法总结】　　求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移其中一条直线,作出异面直线所成的角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,求异面直线CB1与DE所成角的余弦值.
【随堂检测】
1.已知异面直线a,b,有a α,b β,且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是(　　).
A.c与a,b都相交
B.c与a,b都不相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条相交
2.若空间中的三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　).
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.
4.已知a,b是异面直线,直线c∥a且c不与b相交,求证:b,c是异面直线.
24.3 课时2 异面直线
【学习目标】
1.掌握异面直线的另一种判断方法.(逻辑推理、直观想象)
2.理解异面直线所成角的定义,会求两异面直线所成的角.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.怎么判断两直线异面
【答案】　判断两直线异面的两种方法:(1)两条直线既不相交也不平行;(2)两条直线不同在任何一个平面内.
2.异面直线所成的角的定义是什么
【答案】　对于两条异面直线a和b,经过空间中任一点P,作直线a'∥a,b'∥b,则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线所成的角.
3.异面直线所成的角的范围是什么
【答案】　(0°,90°].
4.什么是异面直线垂直
【答案】　如果两条异面直线所成的角为90°,则称这两条异面直线互相垂直.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,该角的大小也不同. (　　)
(2)如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条直线也与第三条直线垂直. (　　)
(3)空间中两条异面直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.空间中垂直于同一条直线的两条直线(　　).
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
【答案】　D
【解析】　如图所示,DC⊥CC',BC⊥CC',BC,DC相交;
DA⊥CC',BC⊥CC',BC,DA平行;
A'C'⊥CC',BC⊥CC',BC,A'C'互为异面直线.故选D.
3.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　B
【解析】　因为a∥OA,又异面直线所成的角为锐角或直角,
所以直线a与OB所成的角为60°.
【合作探究】
探究1　判断两直线异面的方法
问题1:没有公共点的两条直线一定是异面直线吗
【答案】　不一定,没有公共点的两条直线有可能是平行直线.
问题2:直线a在平面α内,直线b在平面β内,请问直线a,b是异面直线吗
【答案】　不一定,也可能平行或相交.
新知生成
异面直线的判定定理
与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.
新知运用
例1　如图所示,已知不共面的直线a,b,c相交于点O,M,P是直线a上的两点,N,Q分别是直线b,c上的点.求证:MN与PQ是异面直线.
方法指导　直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线.
【解析】　∵a∩c=O,
∴由a,c确定一个平面,设为β.
∵P∈a,Q∈c,∴P∈β,Q∈β,
∴PQ β,且M∈β,M PQ.
又∵a,b,c不共面,N∈b,
∴N β,∴MN与PQ是异面直线.
【方法总结】　　判定空间两条直线是异面直线的方法:(1)利用定义;(2)证明两直线既不平行也不相交;(3)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.
如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点.求证:PN与MC为异面直线.
【解析】　∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,
∴点N与点M不重合.
∵N∈平面ABC,P 平面ABC,CM 平面ABC,N CM,
∴由异面直线的判定定理可知,直线PN与MC为异面直线.
探究2　异面直线所成的角
问题1:为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用什么衬托 你能用图表示一下吗
【答案】　通常用一个或两个平面来衬托,如图所示.
问题2:能否找到一个平面,使得上述的a,b两条直线都在这个平面内
【答案】　找不到一个平面使得直线a,b在同一平面内.
问题3:在如图所示的正方体中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,但是它们的位置不同,如何描述这种差异呢
【答案】　结合平面两直线所成的角,可以通过定义异面直线所成的角刻画它们的差异.
问题4:通过平移可以将异面直线所成的角转化成平面中两直线所成的角.那么平移时,所选的点O的位置对它们所成的角的大小有没有影响,为什么
【答案】　点O的位置是任意的,对异面直线所成的角的大小没有影响.
问题5:点O的位置选在哪里比较合适呢
【答案】　一般情况下,我们会将点O选在两条直线中的一条上.
新知生成
异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间　任意　一点O作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a'与b'所成的　锐角　(或　直角　).
(2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作　a⊥b　.
新知运用
例2　如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
【解析】　如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F,M分别是AB,CD,BD的中点,所以EM AD,FM BC,
则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,
所以△MEF是等腰三角形,过点M作MH⊥EF于点H,
在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,
所以sin∠EMH=且∠EMH∈(0,90°),则∠EMH=60°.
所以∠EMF=2∠EMH=120°,
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,
即异面直线AD,BC所成的角为60°.
【变式探究】将本例中的条件“AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=”改为“AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点”,求EF与AB所成角的大小.
【解析】　取AC的中点G,连接EG,FG,
则EG AB,GF CD,
∴直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,即直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,
∴∠EGF=30°或∠EGF=150°.
由AB=CD,得EG=FG,
∴△EFG为等腰三角形.
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
【方法总结】　　求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移其中一条直线,作出异面直线所成的角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,求异面直线CB1与DE所成角的余弦值.
【解析】　如图所示,取B1B的中点F,连接EF,DF,DE,BD,则B1C∥EF,
所以异面直线CB1与DE所成角就是直线EF与DE所成的角.
设正方体的棱长为2,
则EF=B1C=,DE===,DF===3,
由余弦定理得cos∠DEF===-,
所以异面直线CB1与DE所成角的余弦值为.
【随堂检测】
1.已知异面直线a,b,有a α,b β,且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是(　　).
A.c与a,b都相交
B.c与a,b都不相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条相交
【答案】　D
【解析】　假设c与a,b都不相交,∵c与a在α内,∴a∥c.
又c与b都在β内,∴b∥c.
由基本事实4,可知a∥b,与已知条件矛盾.
如图,只有以下三种情况.
2.若空间中的三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　).
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
【答案】　B
【解析】　∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.
【答案】　60°
【解析】　如图,连接AD1,则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,∴∠CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.
4.已知a,b是异面直线,直线c∥a且c不与b相交,求证:b,c是异面直线.
【解析】　(反证法)假设b,c不是异面直线,即b,c共面,
因为c不与b相交,
所以b∥c,而c∥a,则有b∥a,显然与a,b是异面直线矛盾.
故b,c是异面直线,得证.
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