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4.3 课时3 直线与平面平行的判定与性质
【学习目标】
1.了解直线与平面的位置关系.(直观想象)
2.理解直线与平面平行的判定和性质.(逻辑推理、直观想象)
3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.直线与平面有哪几种位置关系
【答案】　直线与平面有3种位置关系:直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行.
2.什么叫直线与平面平行
【答案】　直线与平面没有公共点.
3.直线与平面平行的判定定理是怎样的
【答案】　如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
4.直线与平面平行的性质定理是什么
【答案】　一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交,则直线与平面平行. (　　)
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. (　　)
(3)若直线l上有无数个点在平面α外,则l∥α. (　　)
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.能保证直线a与平面α平行的条件是(　　).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
【答案】　D
【解析】　由线面平行的判定定理可知,D正确.
3.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则(　　).
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
【答案】　B
【解析】　∵平面SBC∩平面ABC=BC,EF 平面SBC,又EF∥平面ABC,∴EF∥BC.故选B.
【合作探究】
探究1　空间中直线与平面的位置关系
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B.
问题1:A1B与长方体各面有几种位置关系
【答案】　A1B与长方体各面的位置关系有三种:相交、平行、在平面内.
问题2:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗
【答案】　不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
新知生成
直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 个数 　无数个　 1个 0个
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
新知运用
例1　(1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是(　　).
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点在平面外
C.直线上有无数多个点在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列四个命题中,真命题的个数是(　　).
①如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α;
④如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　(1)B　(2)B
【解析】　(1)直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故
直线上有无数多个点在平面外.
(2)如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在过BB'的平面ABB'A'内,故命题①不正确;AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命题②不正确;③中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即③正确;④显然不正确.故选B.
【方法总结】　　在判断直线与平面的位置关系时,三种位置关系都要考虑到,避免疏忽或遗漏,另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
已知a,b表示直线,α表示平面.有以下命题:①若a∥b,b α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b α,则a∥b.其中正确命题的个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　A
【解析】　如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
AB∥CD,AB 平面ABCD,但CD 平面ABCD,故①错误;A'B'∥平面ABCD,B'C'∥平面ABCD,但A'B'与B'C'相交,故②错误;AB∥A'B',A'B'∥平面ABCD,但AB 平面ABCD,故③错误;A'B'∥平面ABCD,BC 平面ABCD,但A'B'与BC异面,故④错误.
探究2　直线与平面平行的判定定理
门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要不关门,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系.
问题1:情境中存在着不变的位置关系是指什么
【答案】　平行.
问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗
【答案】　可以,只需在平面内找一条直线与平面外的直线平行即可.
问题3:若一直线与平面内的直线平行,一定有直线与平面平行吗
【答案】　不一定,要强调直线在平面外.
新知生成
直线与平面平行的判定定理
(1)文字语言:若　平面外　一条直线与　此平面内　的一条直线　平行　,则该直线与此平面平行.
(2)符号语言:　l∥a　,　a α　,　l α　 l∥α.
(3)图形语言:
特别提醒:利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
新知运用
例2　如图,四边形ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.
【解析】　连接AN并延长交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC,所以=.
又因为=,
所以=,所以MN∥SP.
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,
所以MN∥平面SBC.
【方法总结】　　(1)判断或证明线面平行的常用方法
①定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).②判定定理法(a α,b α,a∥b a∥α).③排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.
(2)证明线线平行的常用方法
①利用三角形、梯形中位线的性质.②利用平行四边形的性质.③利用平行线分线段成比例定理.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
【解析】　如图,连接BC1,
则由E,F分别是BC,CC1的中点,知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1,且AB=A1B1=D1C1,
所以四边形ABC1D1是平行四边形,
所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G,AD1 平面AD1G,
所以EF∥平面AD1G.
探究3　直线与平面平行的性质定理
平面束属于一种空间图形,是一组有特殊位置关系的平面的集合,即有一条公共直线的所有平面的集合.
问题1:如图,a与l的位置关系是什么
【答案】　l∥a.
问题2:如图,直线l∥平面α,直线a 平面α,直线l与直线a一定平行吗 为什么
【答案】　不一定,因为还可能是异面直线.
问题3:如图,直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=b,满足以上条件的平面β有多少个 直线a,b有什么位置关系
【答案】　无数个.a∥b.
新知生成
直线与平面平行的性质定理
(1)文字语言:一条直线与一个平面　平行　,如果过该直线的平面与此平面　相交　,那么该直线与交线　平行　.
(2)符号语言:a∥α,　a β,α∩β=b　 a∥b.
(3)图形语言:
新知运用
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F.求证:AD∥EF.
【解析】　因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC.
因为AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
因为AD 平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.
【方法总结】　　利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
【解析】　因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理可得AB∥PQ.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.
【随堂检测】
1.给出以下结论:
(1)直线a∥平面α,直线b α,则a∥b;
(2)若a α,b α,则a,b无公共点;
(3)若a α,则a∥α或a与α相交;
(4)若a∩α=A,则a α.
正确结论的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　结合直线与平面的位置关系可知,(1)(2)错误,(3)(4)正确.
2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　因为A1C1∥平面ABCD,A1C1 平面A1C1B,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以由线面平行的性质定理,得A1C1∥l.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为　　　　.
【答案】　
【解析】　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=2.又E为AD的中点,EF∥平面AB1C,EF 平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC的中点,
∴EF=AC=.
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥平面A1CD.
【解析】　连接AC1交A1C于点F,
则F为AC1的中点.
又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
24.3 课时3 直线与平面平行的判定与性质
【学习目标】
1.了解直线与平面的位置关系.(直观想象)
2.理解直线与平面平行的判定和性质.(逻辑推理、直观想象)
3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.直线与平面有哪几种位置关系
2.什么叫直线与平面平行
3.直线与平面平行的判定定理是怎样的
4.直线与平面平行的性质定理是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交,则直线与平面平行. (　　)
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. (　　)
(3)若直线l上有无数个点在平面α外,则l∥α. (　　)
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行. (　　)
2.能保证直线a与平面α平行的条件是(　　).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
3.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则(　　).
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
【合作探究】
探究1　空间中直线与平面的位置关系
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B.
问题1:A1B与长方体各面有几种位置关系
问题2:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗
新知生成
直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 个数 　无数个　 1个 0个
符号 表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
新知运用
例1　(1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是(　　).
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点在平面外
C.直线上有无数多个点在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列四个命题中,真命题的个数是(　　).
①如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α;
④如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法总结】　　在判断直线与平面的位置关系时,三种位置关系都要考虑到,避免疏忽或遗漏,另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
已知a,b表示直线,α表示平面.有以下命题:①若a∥b,b α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b α,则a∥b.其中正确命题的个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
探究2　直线与平面平行的判定定理
门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要不关门,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系.
问题1:情境中存在着不变的位置关系是指什么
问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗
问题3:若一直线与平面内的直线平行,一定有直线与平面平行吗
新知生成
直线与平面平行的判定定理
(1)文字语言:若　平面外　一条直线与　此平面内　的一条直线　平行　,则该直线与此平面平行.
(2)符号语言:　l∥a　,　a α　,　l α　 l∥α.
(3)图形语言:
特别提醒:利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
新知运用
例2　如图,四边形ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.
【方法总结】　　(1)判断或证明线面平行的常用方法
①定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).②判定定理法(a α,b α,a∥b a∥α).③排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.
(2)证明线线平行的常用方法
①利用三角形、梯形中位线的性质.②利用平行四边形的性质.③利用平行线分线段成比例定理.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
探究3　直线与平面平行的性质定理
平面束属于一种空间图形,是一组有特殊位置关系的平面的集合,即有一条公共直线的所有平面的集合.
问题1:如图,a与l的位置关系是什么
问题2:如图,直线l∥平面α,直线a 平面α,直线l与直线a一定平行吗 为什么
问题3:如图,直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=b,满足以上条件的平面β有多少个 直线a,b有什么位置关系
新知生成
直线与平面平行的性质定理
(1)文字语言:一条直线与一个平面　平行　,如果过该直线的平面与此平面　相交　,那么该直线与交线　平行　.
(2)符号语言:a∥α,　a β,α∩β=b　 a∥b.
(3)图形语言:
新知运用
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F.求证:AD∥EF.
【方法总结】　　利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
【随堂检测】
1.给出以下结论:
(1)直线a∥平面α,直线b α,则a∥b;
(2)若a α,b α,则a,b无公共点;
(3)若a α,则a∥α或a与α相交;
(4)若a∩α=A,则a α.
正确结论的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是　　　　.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为　　　　.
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥平面A1CD.
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