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4.3 课时4 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.了解线面垂直的定义,掌握线面垂直的判定定理,初步学会用定理证明线面垂直关系.(逻辑推理、直观想象)
2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.什么叫直线与平面垂直
【答案】　如果直线l与平面α相交,并且垂直于这个平面内的所有直线,那么就称直线l与平面α垂直.
2.怎样判定直线与平面垂直
【答案】　利用直线与平面垂直的判定定理.
3.我们知道,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗
【答案】　当这两条直线平行时,直线可能与平面平行或相交或在平面内,所以不一定垂直.
1.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是(　　).
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内 D.不能确定
【答案】　D
【解析】　如图所示,直线l和平面α相互平行或相互垂直或直线l在平面α内.故选D.
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
【答案】　C
【解析】　由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
3.若直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能(　　).
A.平行 B.相交
C.异面 D.垂直
【答案】　A
【解析】　由直线与平面垂直的定义可知,l与m可能相交、垂直或异面,但不可能平行.
【合作探究】
探究1　直线与平面垂直的定义
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫作曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图,如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗
【答案】　不能.
问题2:问题1说明了直线与平面垂直的条件是什么
【答案】　直线垂直于平面内的两条相交直线.
问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗
【答案】　不一定.
新知生成
1.线面垂直的定义
如果一条直线l与一个平面α相交,并且垂直于这个平面内的　所有直线　,那么就称这条直线l与这个平面α垂直.直线l叫作平面α的　垂线　,平面α叫作直线l的　垂面　,它们的交点叫作　垂足　.记作l⊥α.
2.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
新知运用
例1　下列说法中正确的个数是(　　).
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　B
【解析】　当l与α内的无数条直线垂直时,若这无数条直线为平行直线,则l与α不一定垂直,故①错误;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与α垂直,故②错误;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③错误,④正确.故选B.
【方法总结】　　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可能的情况有直线与平面斜交、平行或直线在平面内.
给出下列说法:
①若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行;
②若a∥b,a α,l⊥α,则l⊥b;
③若a⊥b,b⊥α,则a∥α.
其中正确的是　　　　.(填序号)
【答案】　②
【解析】　当l⊥α时,直线l与平面α内的直线相交或异面,但不会平行,故①错误;②显然是正确的;直线a可能在平面α内,故③错误.
探究2　直线与平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).如图,观察折痕AD与桌面的位置关系.
问题1:折痕AD与桌面一定垂直吗
【答案】　不一定.
问题2:当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直
【答案】　当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直.
问题3:由问题2,你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗
【答案】　如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与该平面垂直.
问题4:若把两条相交直线改为两条直线,直线与平面一定垂直吗
【答案】　当这两条直线平行时,直线可能与平面相交,但不一定垂直.
新知生成
直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:若一条直线与一个平面内的　两条相交直线　都垂直,则该直线与此平面垂直.
(2)符号语言:l⊥a,l⊥b,a α,b α,　a∩b=P　 l⊥α.
(3)图形语言:
新知运用
例2　如图所示,S为Rt△ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC.
【解析】　∵SA=SC,D为斜边AC的中点,
∴SD⊥AC.
如图,连接BD,在Rt△ABC中,有AD=DC=BD,
∴△ADS≌△BDS,
∴∠ADS=∠BDS,
∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
【变式探究】在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则BD与平面SAC的位置关系是什么
【解析】　∵AB=BC,D为斜边AC的中点,
∴BD⊥AC.又由例题知SD⊥BD,
∴BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,
故BD⊥平面SAC.
【方法总结】　　应用线面垂直判定定理的注意事项
(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的.
(2)在应用判定定理时,切记要抓住“相交”二字,它把线面垂直转化为线线垂直,即“l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=A l⊥α.”
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E是PB的中点.求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥PC.
【解析】　(1)∵底面ABCD为矩形,∴BC⊥AB.
∵PA⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,∴PA⊥BC.
又∵AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,∴BC⊥平面PAB.
(2)∵AE 平面PAB,BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE.
∵PA=AB,E是PB的中点,∴AE⊥PB.
又∵PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.
∵PC 平面PBC,∴AE⊥PC.
探究3　直线与平面平行、垂直的综合
例3　已知在三棱柱ABC-DEF中,四边形BCFE为矩形.
(1)记平面BCD与平面DEF的交线为l,求证:l∥平面BCFE.
(2)若CD⊥DE,求证:AC⊥BD.
【解析】　(1)由棱柱的性质得BC∥EF,
∵BC 平面DEF,EF 平面DEF,∴BC∥平面DEF.
∵BC 平面BCD,平面BCD与平面DEF的交线为l,
∴BC∥l.
∵l 平面BCFE,BC 平面BCFE,∴l∥平面BCFE.
(2)作点D在△ABC所在平面的投影于点O,分别延长AO,BO,CO,交边BC,AC,AB于点G,R,H,
∵CD⊥DE,DE∥AB,
∴CD⊥AB.
∵AB⊥OD,CD∩OD=D,CD,OD 平面OCD,∴AB⊥平面OCD.
∵OC 平面OCD,∴AB⊥OC.
由条件可知,CF⊥BC,CF∥AD,∴BC⊥AD,
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥AO,∴O为△ABC的垂心,
∴AC⊥OB.
∵AC⊥DO,OB∩DO=O,OB,DO 平面BDO,∴AC⊥平面BDO.
又BD 平面BDO,∴AC⊥BD.
【方法总结】　　(1)证明线面垂直的方法:①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(2)证明线面平行常用线面平行的判定定理.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥B1C.
(2)求证:AC1∥平面CDB1.
【解析】　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AC,
由AC=9,BC=12,AB=15,得AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BCC1B1,∴AC⊥B1C.
(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,如图,
∵D是AB的中点,E是C1B的中点,∴DE∥AC1.
∵DE 平面CDB1,AC1 平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.
【随堂检测】
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
【答案】　A
【解析】　因为梯形两腰所在的直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.故选A.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是(　　).
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
【答案】　B
【解析】　∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1 平面A1DB1,∴AD1⊥平面A1DB1.
3.若空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是　　　　.
【答案】　垂直
【解析】　因为l⊥AC,l⊥BC,且AC∩BC=C,
所以l⊥平面ABC.
又AB 平面ABC,所以l⊥AB.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.
【解析】　如图,连接AC,
显然AC⊥BD.
又∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A 平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C 平面A1AC,∴BD⊥A1C.
同理可得BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.
24.3 课时4 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.了解线面垂直的定义,掌握线面垂直的判定定理,初步学会用定理证明线面垂直关系.(逻辑推理、直观想象)
2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.什么叫直线与平面垂直
2.怎样判定直线与平面垂直
3.我们知道,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗
1.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是(　　).
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内 D.不能确定
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
3.若直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能(　　).
A.平行 B.相交
C.异面 D.垂直
【合作探究】
探究1　直线与平面垂直的定义
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫作曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图,如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗
问题2:问题1说明了直线与平面垂直的条件是什么
问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗
新知生成
1.线面垂直的定义
如果一条直线l与一个平面α相交,并且垂直于这个平面内的　所有直线　,那么就称这条直线l与这个平面α垂直.直线l叫作平面α的　垂线　,平面α叫作直线l的　垂面　,它们的交点叫作　垂足　.记作l⊥α.
2.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
新知运用
例1　下列说法中正确的个数是(　　).
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法总结】　　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可能的情况有直线与平面斜交、平行或直线在平面内.
给出下列说法:
①若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行;
②若a∥b,a α,l⊥α,则l⊥b;
③若a⊥b,b⊥α,则a∥α.
其中正确的是　　　　.(填序号)
探究2　直线与平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).如图,观察折痕AD与桌面的位置关系.
问题1:折痕AD与桌面一定垂直吗
问题2:当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直
问题3:由问题2,你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗
问题4:若把两条相交直线改为两条直线,直线与平面一定垂直吗
新知生成
直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:若一条直线与一个平面内的　两条相交直线　都垂直,则该直线与此平面垂直.
(2)符号语言:l⊥a,l⊥b,a α,b α,　a∩b=P　 l⊥α.
(3)图形语言:
新知运用
例2　如图所示,S为Rt△ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC.
【变式探究】在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则BD与平面SAC的位置关系是什么
【方法总结】　　应用线面垂直判定定理的注意事项
(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的.
(2)在应用判定定理时,切记要抓住“相交”二字,它把线面垂直转化为线线垂直,即“l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=A l⊥α.”
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E是PB的中点.求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥PC.
探究3　直线与平面平行、垂直的综合
例3　已知在三棱柱ABC-DEF中,四边形BCFE为矩形.
(1)记平面BCD与平面DEF的交线为l,求证:l∥平面BCFE.
(2)若CD⊥DE,求证:AC⊥BD.
【方法总结】　　(1)证明线面垂直的方法:①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(2)证明线面平行常用线面平行的判定定理.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥B1C.
(2)求证:AC1∥平面CDB1.
【随堂检测】
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是(　　).
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
3.若空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是　　　　.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.
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