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4.3 课时5 直线与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握线面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象)
2.理解点到面、线到面的距离的概念,并会求简单的点(线)到面的距离.(直观想象、数学运算)
3.理解直线与平面所成的角的概念,并会求简单的直线与平面所成的角.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢
【答案】　和平面内的任意直线都垂直.
2.垂直于同一个平面的两条直线有什么位置关系
【答案】　这两条直线互相平行.
3.如果一条直线与平面垂直,那么这条直线与平面所成的角是多少 若直线与平面不垂直,则如何找直线与平面所成的角
【答案】　90°,找直线与平面的投影所成的角.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面所成的角为θ,则0°<θ≤90°. (　　)
(2)若直线l与平面α所成的角为60°,且m α,则直线l与m所成的角也是60°. (　　)
(3)若直线a∥平面α,直线b⊥平面α,则直线b⊥直线a. (　　)
(4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
【答案】　45°　45°　0°
【解析】　∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,且∠B1AB=45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,且∠B1AA1=45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(　　).
A.1 B. C.2 D.2
【答案】　B
【解析】　如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO的长度.
∵AB=2,∴AC=2,∴CO=AC=.
【合作探究】
探究1　直线与平面垂直的性质定理
问题1:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间有什么位置关系
【答案】　平行.
问题2:已知直线a⊥α,直线b⊥α,那么直线a,b一定平行吗 如何用语言叙述该结论
【答案】　一定平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.
问题3:你能发现线面垂直的其他性质吗
【答案】　(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
(2)过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线也垂直于另一个平面.
(5)如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直,那么这条直线与此平面平行.
问题4:两条异面直线能垂直于同一个平面吗 为什么
【答案】　不能,因为垂直于同一个平面的两条直线平行,如果两条异面直线能垂直于同一个平面,则这两条异面直线共面,这与它的定义矛盾.
新知生成
直线与平面垂直的性质定理
文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言:若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
新知运用
例1　如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
方法指导　要证明EF∥BD1,只需证明BD1⊥平面AB1C,且EF⊥平面AB1C,然后利用线面垂直的性质得出结论.
【解析】　如图所示,连接AB1,B1C,BD,B1D1,
∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
【方法总结】　　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义,证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理,证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理,把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直.
如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a α,a⊥AB.求证:a∥l.
【解析】　∵PA⊥α,l α,∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α,a α,∴PA⊥a.
∵a⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
探究2　点到平面、直线到平面的距离
问题1:我们知道求点到直线的距离的方法是过该点作直线的垂线,那么如何求点到平面的距离呢
【答案】　也是过点作平面的垂线,点和垂足间的距离,即为点到平面的距离.
问题2:如果直线与平面相交,那么直线到平面的距离是多少
【答案】　0.
问题3:已知直线与平面平行,如何求直线到平面的距离
【答案】　若直线与平面平行,则直线上任意一点到平面的距离都相等.
新知生成
1.点到平面的距离
过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线与这个平面的距离.
新知运用
例2　如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1.
(1)求证:PC⊥AB.
(2)求点P到平面ABC的距离.
方法指导　(1)取AB的中点D,连接PD和CD,证得AB⊥PD,AB⊥CD,根据线面垂直的判定,证得AB⊥平面PCD,进而得到PC⊥AB.
(2)过点P作PK⊥CD,垂足为K,证得PK⊥平面ABC,得到PK即为点P到平面ABC的距离,在△PDC中,得到PK=PDsin∠PDC,即可求解.
【解析】　(1)取AB的中点D,连接PD和CD,如图,
因为PA=PB=AB=AC=BC=2,所以AB⊥PD,AB⊥CD,
又因为PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD,
又PC 平面PCD,所以PC⊥AB.
(2)过点P作PK⊥CD,垂足为K,
由(1)可知AB⊥平面PCD,所以AB⊥PK,
所以PK⊥平面ABC,所以PK为点P到平面ABC的距离,
在△PDC中,cos∠PDC===,
所以PK=PDsin∠PDC=×=,
即点P到平面ABC的距离为.
【方法总结】　　求点到平面的距离,关键是找到该点到平面的垂线段,然后转化到三角形中,通过解三角形求解.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,E是AA1的中点.若EF∥平面A1BC,求EF到平面A1BC的距离.
【解析】　∵EF∥平面A1BC,
∴EF到平面A1BC的距离可转化为点E到平面A1BC的距离.
∵E是AA1的中点,∴所求距离为点A到平面A1BC的距离的一半.
过点A作A1B的垂线,交A1B于点K(图略),
∵BC⊥平面ABB1A1,且AK 平面ABB1A1,∴AK⊥BC,
∵AK⊥A1B,A1B∩BC=B,∴AK⊥平面A1BC.
∵AK·A1B=A1A·AB,
∴AK===,
∴点E到平面A1BC的距离为AK=,
即EF到平面A1BC的距离为.
探究3　直线与平面所成的角
问题1:直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况,当它们不垂直时,可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的,如何刻画这种不同呢
【答案】　利用直线和平面所成的角来刻画.
问题2:如何作直线与平面所成的角
【答案】　过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.
问题3:直线与平面所成的角的范围是多少
【答案】　根据直线与平面所成的角的定义可知,范围是[0,90°].
新知生成
1.直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.
2.直线与平面所成角的范围
当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,故直线与平面所成角的范围是[0°,90°].
新知运用
例3　如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC.
(1)求证:BC⊥平面PAB.
(2)若PA=AC=2AB,D是PC的中点,求直线AD与平面PBC所成角的正弦值.
方法指导　(1)利用线面垂直的判定定理来证明;(2)过点A作AF⊥PB,证明AF⊥平面PBC,即可得到直线AD与平面PBC所成角,再求其正弦值.
【解析】　(1)∵PA⊥平面ABC,且BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,且PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
(2)如图,过点A作AF⊥PB,连接DF,
∵BC⊥平面PAB,AF 平面PAB,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PB,PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC,
∴∠ADF是直线AD与平面PBC所成的角,且sin∠ADF=,
设PA=AC=2AB=2a,则根据等面积法可知PA·AB=PB·AF,∴AF===a,AD=PA=a,
∴sin∠ADF==,
∴直线AD与平面PBC所成角的正弦值为.
【方法总结】　　求直线与平面所成角的步骤:(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
【解析】　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.
设A1A=1,则AC=,∴tan∠A1CA=.
故直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又∵BB1∩B1D1=B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O,连接BO,
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°.故直线A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
【随堂检测】
1.已知△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　).
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
【答案】　C
【解析】　因为l⊥AB,l⊥AC,AB α,AC α且AB∩AC=A,所以l⊥α,同理可证m⊥α,所以l∥m.
2.如图,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　.
【答案】　6
【解析】　∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.
∵AF=DE,
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴EF=AD=6.
3.如图,已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60°,M为PA的中点,连接DM,则DM与平面PAC所成角的大小是.
【答案】　45°
【解析】　如图,连接AC,BD交于点O,连接PO,MO,
则可得PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,PO,AC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
则∠DMO为DM与平面PAC所成的角,
设侧棱长为a,
∵侧棱与底面所成的角为60°,即∠PAC=60°,
∴BD=AC=a,DO=,
∵M,O分别为PA,AC的中点,∴MO=PC=,
则可得△DMO为等腰直角三角形,∴∠DMO=45°,
∴DM与平面PAC所成角的大小为45°.
4.如图所示,已知平面α∩平面β=EF,A为α,β外一点,AB⊥α于点B,AC⊥β于点C,CD⊥α于点D.求证:BD⊥EF.
【解析】　∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面.
∵AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,∴AB⊥EF,AC⊥EF.
又AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABDC,
∵BD 平面ABDC,∴EF⊥BD.
24.3 课时5 直线与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握线面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象)
2.理解点到面、线到面的距离的概念,并会求简单的点(线)到面的距离.(直观想象、数学运算)
3.理解直线与平面所成的角的概念,并会求简单的直线与平面所成的角.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢
2.垂直于同一个平面的两条直线有什么位置关系
3.如果一条直线与平面垂直,那么这条直线与平面所成的角是多少 若直线与平面不垂直,则如何找直线与平面所成的角
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面所成的角为θ,则0°<θ≤90°. (　　)
(2)若直线l与平面α所成的角为60°,且m α,则直线l与m所成的角也是60°. (　　)
(3)若直线a∥平面α,直线b⊥平面α,则直线b⊥直线a. (　　)
(4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α. (　　)
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(　　).
A.1 B. C.2 D.2
【合作探究】
探究1　直线与平面垂直的性质定理
问题1:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间有什么位置关系
.
问题2:已知直线a⊥α,直线b⊥α,那么直线a,b一定平行吗 如何用语言叙述该结论
问题3:你能发现线面垂直的其他性质吗
问题4:两条异面直线能垂直于同一个平面吗 为什么
新知生成
直线与平面垂直的性质定理
文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言:若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
新知运用
例1　如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
方法指导　要证明EF∥BD1,只需证明BD1⊥平面AB1C,且EF⊥平面AB1C,然后利用线面垂直的性质得出结论.
【方法总结】　　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义,证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理,证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理,把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直.
如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a α,a⊥AB.求证:a∥l.
探究2　点到平面、直线到平面的距离
问题1:我们知道求点到直线的距离的方法是过该点作直线的垂线,那么如何求点到平面的距离呢
问题2:如果直线与平面相交,那么直线到平面的距离是多少
问题3:已知直线与平面平行,如何求直线到平面的距离
新知生成
1.点到平面的距离
过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线与这个平面的距离.
新知运用
例2　如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1.
(1)求证:PC⊥AB.
(2)求点P到平面ABC的距离.
方法指导　(1)取AB的中点D,连接PD和CD,证得AB⊥PD,AB⊥CD,根据线面垂直的判定,证得AB⊥平面PCD,进而得到PC⊥AB.
(2)过点P作PK⊥CD,垂足为K,证得PK⊥平面ABC,得到PK即为点P到平面ABC的距离,在△PDC中,得到PK=PDsin∠PDC,即可求解.
【方法总结】　　求点到平面的距离,关键是找到该点到平面的垂线段,然后转化到三角形中,通过解三角形求解.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,E是AA1的中点.若EF∥平面A1BC,求EF到平面A1BC的距离.
探究3　直线与平面所成的角
问题1:直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况,当它们不垂直时,可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的,如何刻画这种不同呢
问题2:如何作直线与平面所成的角
问题3:直线与平面所成的角的范围是多少
新知生成
1.直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.
2.直线与平面所成角的范围
当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,故直线与平面所成角的范围是[0°,90°].
新知运用
例3　如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC.
(1)求证:BC⊥平面PAB.
(2)若PA=AC=2AB,D是PC的中点,求直线AD与平面PBC所成角的正弦值.
方法指导　(1)利用线面垂直的判定定理来证明;(2)过点A作AF⊥PB,证明AF⊥平面PBC,即可得到直线AD与平面PBC所成角,再求其正弦值.
【方法总结】　　求直线与平面所成角的步骤:(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
【随堂检测】
1.已知△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　).
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
2.如图,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　.
3.如图,已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60°,M为PA的中点,连接DM,则DM与平面PAC所成角的大小是.
4.如图所示,已知平面α∩平面β=EF,A为α,β外一点,AB⊥α于点B,AC⊥β于点C,CD⊥α于点D.求证:BD⊥EF.
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