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4.4 课时1 平面与平面平行的判定与性质
【学习目标】
1.理解平面与平面平行的判定定理、性质定理的含义.(逻辑推理、直观想象)
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理、性质定理,并知道其地位和作用.(逻辑推理、直观想象)
3.能运用平面与平面平行的判定定理、性质定理证明一些空间面面关系的简单问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.应用面面平行的判定定理时应具备哪些条件
2.如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗
3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行. (　　)
(2)两个平面同时与第三个平面相交,若两交线平行,则这两个平面平行. (　　)
(3)夹在两平行平面间的平行线段相等. (　　)
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,则l∥m. (　　)
2.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是(　　).
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
3.如图,若过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD的交线记为l,则l与B1D1的位置关系为　　　　.
【合作探究】
探究1　平面与平面的位置关系
观察如图所示的二层楼房直观示意图,回答下列问题:
问题1:平面α和平面β所在平面是否有交点
问题2:平面γ和平面δ是否相交 若相交,交线是什么
问题3:(不讨论两平面重合情况)除了这两种情况外,是否还有其他情况
新知生成
两个平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 α∥β α∩β=a
公共点个数 　0　个 　无数　个
新知运用
例1　如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是　　　　.
【变式探究】
1.若本例将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两平面的位置关系如何
2.若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α与β的关系是什么
【方法总结】　　1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是证明两个平面没有公共点.
2.常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行.
(2)长方体、正方体的六个面中,三组相对面平行.
如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为B'C',A'D'的中点,判断平面ABB'A'与平面CDFE的位置关系,并说明理由.
探究2　平面与平面平行的判定
如何判断桌子的桌面是否水平 工人师傅将水平仪在桌子上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的,否则桌面就不是水平的,这是为什么呢 (注:当水平仪的气泡居中时,水平仪所在的直线就是水平线)
问题1:情境中给出的判断两平面平行的方法是什么
问题2:若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
问题3:若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
问题4:平面平行有传递性吗
新知生成
平面与平面平行的判定定理
文字 语言 若一个平面内的　两条相交直线　与另一个平面平行,则这两个平面平行
符号 语言 a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α α∥β
图形 语言
特别提醒:判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
新知运用
例2　如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,G,H分别是CE,CF的中点.
求证:平面BDGH∥平面AEF.
【方法总结】　　平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:证明两个平面没有公共点.(2)判定定理法:证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
如图,在四棱锥P-ABCD中,E为PA的中点,F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.求证:平面EFO∥平面PCD.
探究3　平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
问题1:平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗
问题2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,则m∥n吗
问题3:过B1C的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,交平面ABCD于BC,则B1C1与BC是什么关系
新知生成
平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:两个平面平行,如果一个平面与这两个平面相交,那么两条交线　平行　.
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 　a∥b　.
(3)图形语言:
使用平面与平面平行的性质定理时,下列三个条件缺一不可:
①两个平面平行,即α∥β;
②第一个平面与第三个平面相交,即α∩γ=a;
③第二个平面与第三个平面也相交,即β∩γ=b.
新知运用
例3　如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.
【方法总结】　　运用面面平行的性质定理时,应先确定面面平行,再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线,然后确定线线平行.在证明过程中应认真领悟线线平行与面面平行的相互转化关系.
如图,在四棱锥E-ABCD中,AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,平面EAC⊥平面ABCD,平面ABE∩平面CDE=l.若M为线段AE的中点,求证:BM∥l.
【随堂检测】
1.若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是(　　).
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面或相交
2.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是(　　).
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点为P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为　　　　.
4.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,AC上的点,G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.求证:BC=2EF.
24.4 课时1 平面与平面平行的判定与性质
【学习目标】
1.理解平面与平面平行的判定定理、性质定理的含义.(逻辑推理、直观想象)
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理、性质定理,并知道其地位和作用.(逻辑推理、直观想象)
3.能运用平面与平面平行的判定定理、性质定理证明一些空间面面关系的简单问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.应用面面平行的判定定理时应具备哪些条件
【答案】　①平面α内两条相交直线a,b,即a α,b α,a∩b=P;②两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β.
2.如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗
【答案】　不是.
3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系
【答案】　平行.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行. (　　)
(2)两个平面同时与第三个平面相交,若两交线平行,则这两个平面平行. (　　)
(3)夹在两平行平面间的平行线段相等. (　　)
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,则l∥m. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是(　　).
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
【答案】　A
【解析】　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D',所以EF∥E'F'.故选A.
3.如图,若过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD的交线记为l,则l与B1D1的位置关系为　　　　.
【答案】　平行
【解析】　如图所示,连接D1P,B1P,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,所以l∥B1D1.
【合作探究】
探究1　平面与平面的位置关系
观察如图所示的二层楼房直观示意图,回答下列问题:
问题1:平面α和平面β所在平面是否有交点
【答案】　没有.
问题2:平面γ和平面δ是否相交 若相交,交线是什么
【答案】　相交,交线是AB.
问题3:(不讨论两平面重合情况)除了这两种情况外,是否还有其他情况
【答案】　没有.
新知生成
两个平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 α∥β α∩β=a
公共点个数 　0　个 　无数　个
新知运用
例1　如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是　　　　.
【答案】　平行或相交
【解析】　如图所示,a α,b β,a∥b.
由图形可知,这两个平面可能相交,也可能平行.
【变式探究】
1.若本例将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两平面的位置关系如何
【解析】　如图①②,a α,b β,a,b异面.
由图①②知,这两个平面可能平行,也可能相交.
2.若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α与β的关系是什么
【解析】　如图①②,α内都有无数条直线与平面β平行,
由图①②知,平面α与平面β平行或相交.
【方法总结】　　1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是证明两个平面没有公共点.
2.常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行.
(2)长方体、正方体的六个面中,三组相对面平行.
如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为B'C',A'D'的中点,判断平面ABB'A'与平面CDFE的位置关系,并说明理由.
【解析】　相交.理由如下:
在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E为B'C'的中点,
所以B'E=BC,B'E∥BC,所以四边形B'ECB为梯形,
所以EC与B'B不平行,所以延长CE与BB'必交于一点,设为交点H,
所以H∈EC,且H∈B'B,又B'B 平面ABB'A',CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB'A',H∈平面CDFE,所以H为平面ABB'A'与平面CDFE的公共点,
所以平面ABB'A'与平面CDFE相交.
探究2　平面与平面平行的判定
如何判断桌子的桌面是否水平 工人师傅将水平仪在桌子上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的,否则桌面就不是水平的,这是为什么呢 (注:当水平仪的气泡居中时,水平仪所在的直线就是水平线)
问题1:情境中给出的判断两平面平行的方法是什么
【答案】　在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面即可.
问题2:若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
【答案】　不一定,也可能相交.
问题3:若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行吗
【答案】　不一定,也可能相交.
问题4:平面平行有传递性吗
【答案】　有.若α,β,γ为三个不重合的平面,则α∥β,β∥γ α∥γ.
新知生成
平面与平面平行的判定定理
文字 语言 若一个平面内的　两条相交直线　与另一个平面平行,则这两个平面平行
符号 语言 a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α α∥β
图形 语言
特别提醒:判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
新知运用
例2　如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,G,H分别是CE,CF的中点.
求证:平面BDGH∥平面AEF.
【解析】　在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,
所以GH∥EF,
又因为GH 平面AEF,EF 平面AEF,所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,
又因为OH 平面AEF,AF 平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
因为OH∩GH=H,OH,GH 平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
【方法总结】　　平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:证明两个平面没有公共点.(2)判定定理法:证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
如图,在四棱锥P-ABCD中,E为PA的中点,F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.求证:平面EFO∥平面PCD.
【解析】　因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD=O,
所以O为BD的中点.
又因为F为BC的中点,所以OF∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以OF∥平面PCD.
因为O,E分别是AC,PA的中点,所以OE∥PC.
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以OE∥平面PCD.
因为OE 平面EFO,OF 平面EFO,且OE∩OF=O,
所以平面EFO∥平面PCD.
探究3　平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
问题1:平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗
【答案】　是的.
问题2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,则m∥n吗
【答案】　不一定,也可能异面.
问题3:过B1C的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,交平面ABCD于BC,则B1C1与BC是什么关系
【答案】　平行.
新知生成
平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:两个平面平行,如果一个平面与这两个平面相交,那么两条交线　平行　.
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 　a∥b　.
(3)图形语言:
使用平面与平面平行的性质定理时,下列三个条件缺一不可:
①两个平面平行,即α∥β;
②第一个平面与第三个平面相交,即α∩γ=a;
③第二个平面与第三个平面也相交,即β∩γ=b.
新知运用
例3　如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.
【解析】　因为BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC=B,BE 平面BCE,BC 平面BCE,
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
【方法总结】　　运用面面平行的性质定理时,应先确定面面平行,再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线,然后确定线线平行.在证明过程中应认真领悟线线平行与面面平行的相互转化关系.
如图,在四棱锥E-ABCD中,AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,平面EAC⊥平面ABCD,平面ABE∩平面CDE=l.若M为线段AE的中点,求证:BM∥l.
【解析】　如图,取AC的中点F,连接MF,BF,由AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,
可得△ABC≌△ADC且AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,所以AB⊥BC,AD⊥DC,所以∠ACB=∠ACD=60°,因为F为AC的中点,所以△BFC为正三角形,则∠BFC=∠ACD=60°,所以BF∥CD,又因为BF 平面CDE,CD 平面CDE,所以BF∥平面CDE,
在△ACE中,因为M,F分别为AE,AC的中点,所以MF∥EC,又因为MF 平面CDE,EC 平面CDE,所以MF∥平面CDE,又BF∩MF=F,BF,MF 平面BMF,所以平面BMF∥平面CDE,
又因为BM 平面BMF,所以BM∥平面CDE,又平面ABE∩平面CDE=l,且BM 平面ABE,所以BM∥l.
【随堂检测】
1.若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是(　　).
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面或相交
【答案】　D
【解析】　如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面、相交.
2.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是(　　).
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
【答案】　D
【解析】　选项A,C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.故选D.
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点为P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为　　　　.
【答案】　2
【解析】　过点A1与截面PBC1平行的截面为菱形A1MCN,如图所示,其中M为AB的中点,N为D1C1的中点.
又∵MN=2,A1C=2,
∴菱形A1MCN的面积S=×2×2=2.
4.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,AC上的点,G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.求证:BC=2EF.
【解析】　因为平面EFG∥平面BCD,
平面ABD∩平面EFG=EG,
平面ABD∩平面BCD=BD,
所以EG∥BD,
又G为AD的中点,所以E为AB的中点,
同理可得,F为AC的中点,
所以BC=2EF.
2

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