资源简介

4.4 课时2 平面与平面垂直的判定
【学习目标】
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(逻辑推理、直观想象)
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.(逻辑推理、直观想象)
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.二面角是怎样定义的 如何表示二面角
【答案】　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.可用二面角的平面角表示.
2.面面垂直是怎样定义的
【答案】　两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
3.面面垂直的判定定理的内容是什么
【答案】　如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (　　)
(2)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直. (　　)
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β. (　　)
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线也垂直于另一平面. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面有(　　).
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】　C
【解析】　与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1,平面DAA1D1,共4个.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是　　　　.
【答案】　45°
【解析】　∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥AD,AB⊥AD1,
∴∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.易知∠D1AD=45°.
【合作探究】
探究1　二面角的概念
随手打开一本书,发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.
问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点
【答案】　可以是锐角、钝角、直角、平角.
问题2:两平面所成角θ的范围是什么
【答案】　0°≤θ≤180°.
问题3:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关
【答案】　无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
新知生成
1.二面角的定义:从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形.
2.相关概念:①这条直线叫作二面角的　棱　;②两个半平面叫作二面角的　面　.
3.二面角的画法:
4.二面角的记法:二面角　α-l-β　或　α-AB-β　或　P-l-Q　或P-AB-Q.
5.二面角的平面角:若O　∈　l,OA　 　α,OB　 　β,OA　⊥　l,OB　⊥　l,则二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.
特别提醒:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小表示,体现了由空间图形向平面图形转化的思想;(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
新知运用
例1　如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
方法指导　先根据二面角的定义找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值.
【解析】　如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
设H是△BCD的重心,
则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,则cos∠AMB==,
即二面角A-CD-B的余弦值为.
【方法总结】　　求二面角的大小关键是作出平面角,求二面角大小的步骤:(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成二面角的大小.
【解析】　因为AC⊥平面BCD,BD 平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,
所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,因为AC=AD,所以∠ADC=30°.
探究2　平面与平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.
问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系
【答案】　垂直.
问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法
【答案】　可以,只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可.
新知生成
平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:若一个平面过另一个平面的　垂线　,则这两个平面垂直.
(2)符号语言:a α,　a⊥β　 α⊥β.
(3)图形语言:
特别提醒:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”.
新知运用
例2　如图,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分别为PB,PC的中点,点E在MB上.求证:平面EFG⊥平面PDC.
方法指导　要证平面EFG⊥平面PDC,只需证明GF⊥平面PDC,又GF∥BC,所以只需证明BC⊥平面PDC即可.
【解析】　∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中,G,F分别为PB,PC的中点,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
【方法总结】　　证明面面垂直的方法
(1)定义法:证明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC⊥平面PDB.
【解析】　∵四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
∴AC⊥BD,AC⊥PD.
又∵PD,BD 平面PDB,PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC,
∴平面AEC⊥平面PDB.
【随堂检测】
1.给出下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫作二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是(　　).
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
【答案】　B
【解析】　由二面角的定义知,①错误;a,b分别垂直于两个平面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误;由定义知④正确.故选B.
2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(　　).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
【答案】　C
【解析】　由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,故ABD正确.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为　　　　.
【答案】　45°
【解析】　∵AB⊥BC,AB⊥BC1,∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角,大小为45°.
4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.证明:平面AB1C⊥平面A1BC1.
【解析】　因为四边形BCC1B1是菱形,
所以B1C⊥BC1,
又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,
所以B1C⊥平面A1BC1,
又因为B1C 平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
24.4 课时2 平面与平面垂直的判定
【学习目标】
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(逻辑推理、直观想象)
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.(逻辑推理、直观想象)
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.二面角是怎样定义的 如何表示二面角
2.面面垂直是怎样定义的
3.面面垂直的判定定理的内容是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (　　)
(2)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直. (　　)
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β. (　　)
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线也垂直于另一平面. (　　)
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面有(　　).
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是　　　　.
【合作探究】
探究1　二面角的概念
随手打开一本书,发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.
问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点
问题2:两平面所成角θ的范围是什么
问题3:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关
新知生成
1.二面角的定义:从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形.
2.相关概念:①这条直线叫作二面角的　棱　;②两个半平面叫作二面角的　面　.
3.二面角的画法:
4.二面角的记法:二面角　α-l-β　或　α-AB-β　或　P-l-Q　或P-AB-Q.
5.二面角的平面角:若O　∈　l,OA　 　α,OB　 　β,OA　⊥　l,OB　⊥　l,则二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.
特别提醒:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小表示,体现了由空间图形向平面图形转化的思想;(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
新知运用
例1　如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
方法指导　先根据二面角的定义找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值.
【方法总结】　　求二面角的大小关键是作出平面角,求二面角大小的步骤:(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成二面角的大小.
探究2　平面与平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.
问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系
问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法
新知生成
平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:若一个平面过另一个平面的　垂线　,则这两个平面垂直.
(2)符号语言:a α,　a⊥β　 α⊥β.
(3)图形语言:
特别提醒:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”.
新知运用
例2　如图,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分别为PB,PC的中点,点E在MB上.求证:平面EFG⊥平面PDC.
方法指导　要证平面EFG⊥平面PDC,只需证明GF⊥平面PDC,又GF∥BC,所以只需证明BC⊥平面PDC即可.
【方法总结】　　证明面面垂直的方法
(1)定义法:证明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC⊥平面PDB.
【随堂检测】
1.给出下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫作二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是(　　).
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(　　).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为　　　　.
4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.证明:平面AB1C⊥平面A1BC1.
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