资源简介

4.4 课时3 平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握空间中面面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象)
2.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(逻辑推理、直观想象)
3.理解面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.如果α⊥β,那么α内的直线必垂直于β内的无数条直线,这句话正确吗
【答案】　正确.
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直
【答案】　能.容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
3.垂直于同一个平面的两个平面平行吗
【答案】　不一定.可能平行也可能相交.
4.两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直于另一个平面吗
【答案】　不一定.只有在其中一个平面内垂直于两平面的交线的直线才垂直于另一个平面.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β,则平面α内所有直线都垂直于平面β. (　　)
(2)若平面α⊥平面β,则平面α内一定存在直线平行于平面β. (　　)
(3)若平面α不垂直于平面β,则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　).
A.l⊥β B.l∥β
C.l β D.l∥β或l β
【答案】　D
【解析】　如图,l∥β或l β.故选D.
3.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　因为α⊥β,α∩β=l,n β,n⊥l,所以n⊥α.
又m⊥α,所以m∥n.
【合作探究】
探究1　平面与平面垂直的性质
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.
问题1:在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗
【答案】　不一定,也可能平行、相交(不垂直).
问题2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直
【答案】　只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.
问题3:如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线(除交线外)与另一个平面有什么位置关系呢 如果该直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直吗
【答案】　平行或相交;如果该直线和交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直.
新知生成
平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,若　一个平面内　有一条直线垂直于这两个平面的　交线　,则这条直线与另一个平面　垂直　
符号 语言 a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 　线面　垂直; ②作面的垂线
新知运用
一、面面垂直性质的应用
例1　如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB.
方法指导　(1)要证明BG⊥平面PAD,只需证明BG⊥AD,然后利用面面垂直的性质得出结论;(2)要证AD⊥PB,只需证明AD⊥平面PBG即可.
【解析】　(1)如图,连接PG,BD,
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形.
∵G为AD的中点,∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.
又PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
【方法总结】　　证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于两个平面的交线.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:BC⊥AB.
【解析】　如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD 平面PAB,
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB,∴BC⊥AB.
二、与面面垂直有关的计算
例2　如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α,平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长.
方法指导　要求CD的长,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD
为直角三角形,已知BD的长,只要知道BC的长即可.由AC⊥l知△ABC为直角三角形,从而可解.
【解析】　∵AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm,
∴BC=5 cm.
∵BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD β,
∴BD⊥α.
又BC α,∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中,DC==13 cm.
【方法总结】　　与面面垂直有关的计算问题解决方法:所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直,往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.
如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,直线AB与平面α,β所成的角分别为45°,30°,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',且AB=12,求A'B'的长.
【解析】　连接A'B,AB'(图略).
在△AA'B中,∠AA'B=90°,∠ABA'=30°,AB=12,所以A'B=6.
在△ABB'中,∠BB'A=90°,∠BAB'=45°,AB=12,所以BB'=6.
在△A'B'B中,∠A'B'B=90°,A'B=6,BB'=6,所以A'B'=6.
探究2　线线、线面、面面垂直的综合应用
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【解析】　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又AD∩PA=A,AD,PA 平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD,所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,
所以CD⊥EF.又EF∩BE=E,EF,BE 平面BEF,所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
【方法总结】　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的.它们之间的转化关系如下:
线线垂直线面垂直面面垂直
如图,在三棱锥P-ABC中,△PBC为等边三角形,O为BC的中点,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
(2)已知E为PO的中点,F是AB上的点,AF=λAB.若EF∥平面PAC,求λ的值.
【解析】　(1)∵△PBC为等边三角形,O为BC的中点,
∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,
∴PO⊥平面ABC.
∵AC 平面ABC,∴PO⊥AC.
∵AC⊥PB,PO∩PB=P,PO,PB 平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)如图,取CO中点G,连接EG,FG.
∵E为PO的中点,∴EG∥PC.
∵PC 平面PAC,EG 平面PAC,
∴EG∥平面PAC.
∵F是AB上的点,AF=λAB,EF∥平面PAC,又EG∩EF=E,且EG,EF 平面EFG,
∴平面EFG∥平面PAC,
又平面EFG∩平面ABC=FG,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴FG∥AC,∴λ===.
【随堂检测】
1.若α⊥β,α∩β=l,点P∈α,点P l,则下列说法中正确的为(　　).
①过点P且垂直于l的平面垂直于β;
②过点P且垂直于l的直线垂直于β;
③过点P且垂直于α的直线平行于β;
④过点P且垂直于β的直线在α内.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
【答案】　D
【解析】　当过点P垂直于l的直线不在α内时,l与β不垂直,故②不正确;①③④正确.
2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,则应增加的条件是　　　　.
【答案】　n⊥m
【解析】　根据平面与平面垂直的性质定理,应增加条件n⊥m,才能使n⊥β.
3.若构成教室墙角的三个墙面记为α,β,γ,交线记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3 m,4 m,1 m,则点P与墙角B的距离为　　　　m.
【答案】　
【解析】　过点P向各个面作垂线,构成以BP为体对角线的长方体,则BP==(m).
4.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.
【解析】　因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC 平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC 平面SBC,
所以平面SCD⊥平面SBC.
24.4 课时3 平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握空间中面面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象)
2.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(逻辑推理、直观想象)
3.理解面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.如果α⊥β,那么α内的直线必垂直于β内的无数条直线,这句话正确吗
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直
3.垂直于同一个平面的两个平面平行吗
4.两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直于另一个平面吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β,则平面α内所有直线都垂直于平面β. (　　)
(2)若平面α⊥平面β,则平面α内一定存在直线平行于平面β. (　　)
(3)若平面α不垂直于平面β,则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. (　　)
2.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　).
A.l⊥β B.l∥β
C.l β D.l∥β或l β
3.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　.
【合作探究】
探究1　平面与平面垂直的性质
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.
问题1:在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗
问题2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直
问题3:如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线(除交线外)与另一个平面有什么位置关系呢 如果该直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直吗
新知生成
平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,若　一个平面内　有一条直线垂直于这两个平面的　交线　,则这条直线与另一个平面　垂直　
符号 语言 a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 　线面　垂直; ②作面的垂线
新知运用
一、面面垂直性质的应用
例1　如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB.
方法指导　(1)要证明BG⊥平面PAD,只需证明BG⊥AD,然后利用面面垂直的性质得出结论;(2)要证AD⊥PB,只需证明AD⊥平面PBG即可.
【方法总结】　　证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于两个平面的交线.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:BC⊥AB.
二、与面面垂直有关的计算
例2　如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α,平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长.
方法指导　要求CD的长,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD
为直角三角形,已知BD的长,只要知道BC的长即可.由AC⊥l知△ABC为直角三角形,从而可解.
【方法总结】　　与面面垂直有关的计算问题解决方法:所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直,往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.
如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,直线AB与平面α,β所成的角分别为45°,30°,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',且AB=12,求A'B'的长.
探究2　线线、线面、面面垂直的综合应用
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【方法总结】　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的.它们之间的转化关系如下:
线线垂直线面垂直面面垂直
如图,在三棱锥P-ABC中,△PBC为等边三角形,O为BC的中点,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
(2)已知E为PO的中点,F是AB上的点,AF=λAB.若EF∥平面PAC,求λ的值.
【随堂检测】
1.若α⊥β,α∩β=l,点P∈α,点P l,则下列说法中正确的为(　　).
①过点P且垂直于l的平面垂直于β;
②过点P且垂直于l的直线垂直于β;
③过点P且垂直于α的直线平行于β;
④过点P且垂直于β的直线在α内.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,则应增加的条件是　　　　.
3.若构成教室墙角的三个墙面记为α,β,γ,交线记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3 m,4 m,1 m,则点P与墙角B的距离为　　　　m.
4.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.
2

展开更多......

收起↑