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4.5 课时1 几种简单几何体的表面积
【学习目标】
1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的表面积的求法.(直观想象、数学运算)
2.了解柱体、锥体、台体、球的表面积计算公式.(直观想象、数学运算)
3.能运用柱体、锥体、台体、球的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
被誉为世界七大奇迹之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物,呈正四棱锥形.在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的 这真是一个十分难解的谜.
1.如果已知金字塔的底面边长和侧棱长,如何计算胡夫金字塔的侧面积
【答案】　胡夫金字塔的四个侧面是等腰三角形,底边和侧棱长已知,可以求出侧面等腰三角形的高,然后根据三角形的面积公式求解即可.
2.怎样计算柱体、锥体、台体的表面积
【答案】　柱体、锥体、台体的表面积S表等于该几何体的侧面积S侧与底面积S底的和,即S表=S侧+S底.
3.球的表面积如何计算
【答案】　S球=4πR2.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. (　　)
(2)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. (　　)
(3)把柱体、锥体、台体的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图形状都相同,面积都相等. (　　)
(4)空间几何体的侧面积即是表面积. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)×
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积之比为(　　).
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
【答案】　C
【解析】　设正方体的棱长为a,由题意知,三棱锥的各面都是正三角形,其表面积为4=4××(a)2=2a2,正方体的表面积为6a2,所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2=1∶.
3.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为　　　　.
【答案】　80+48
【解析】　如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,过点B1作B1F⊥BC,垂足为F.
在Rt△B1FB中,BF=×(8-4)=2,B1B=8,
所以B1F==2,
所以=×(8+4)×2=12,
则四棱台的侧面积S侧=4×12=48,
所以S表=48+4×4+8×8=80+48.
【合作探究】
探究1　棱柱的表面积
问题1:棱柱的侧面展开图是什么
【答案】　棱柱的侧面展开图是平行四边形,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的底面周长,如图所示.
问题2:如果是直棱柱,其侧面展开图是什么图形
【答案】　侧面展开图是矩形.
问题3:你能求出直棱柱的表面积吗
【答案】　直棱柱的表面积=直棱柱的侧面面积+两底面面积.
新知生成
1.直棱柱
S直棱柱侧=Ch,其中C为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高.
2.表面积
一般地,表面积=侧面积+底面积.
新知运用
例1　已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,侧棱长为2,其中一条侧棱AA1与底面△ABC两边AB,AC所在直线的夹角为45°,则该斜三棱柱的侧面积为　　　　.
方法指导　首先证得CC1⊥B1C1,然后分别求出三个侧面的面积再相加即可得出结果.
【答案】　4+4
【解析】　过点B1作B1M⊥AA1于点M,连接C1M,如图所示,因为∠C1A1M=∠B1A1M,所以△C1A1M≌△B1A1M,
所以∠C1MA1=∠B1MA1=90°,即C1M⊥AA1,
又因为C1M∩B1M=M,所以AA1⊥平面B1C1M,
又因为B1C1 平面B1C1M,所以AA1⊥B1C1,
又因为AA1∥CC1,所以CC1⊥B1C1,
故该斜三棱柱的侧面积为2×2×+2×2=4+4.
【方法总结】　　求棱柱的表面积的方法:(1)对于直棱柱,可以直接利用公式求解;(2)对于斜棱柱,可将其展开,分别求出各个面的面积,再相加.
现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长分别为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积.
【解析】　如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
解得a=10,b=2,
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴该直四棱柱的底面积为×10×2=20,
又AB2=+===64,
∴AB=8,
∴该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160,
故该直四棱柱的表面积为160+40.
探究2　棱锥的表面积
问题1:三棱锥的展开图是什么
【答案】　三棱锥的展开图是四个三角形,如图所示.
问题2:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,点P到底面ABC的距离为3,如何求该三棱锥的表面积
【答案】　由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为××6=,
所以正三棱锥侧面等腰三角形的高为=2,
所以这个正三棱锥的侧面积为3××6×2=18,正三棱锥的底面积为×62×=9,
所以正三棱锥的表面积为18+9=27.
问题3:已知如图所示的正棱锥,如何求它的侧面积
【答案】　S正棱锥侧=Ch',其中C为正棱锥的底面周长,h'为侧面等腰三角形的高.
新知生成
S正棱锥侧=Ch',其中C为正棱锥的底面周长,h'为侧面等腰三角形的高.
新知运用
例2　法国卢浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状(如图所示),已知塔高21 m,底宽34 m,则塔身的表面积(精确到1 m2)约是(　　).(参考数据:≈27,342=1156)
A.3674 m2 B.2993 m2
C.1836 m2 D.1682 m2
方法指导　由题意可得正四棱锥的底面边长与高,代入棱锥的表面积公式求解.
【答案】　C
【解析】　如图,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,PO=21 m,AB=34 m,
则AO=AB=17 m,所以AP== (m),
作PE⊥AB,则PE== (m),
所以该塔身的表面积S=4×AB×PE=68≈1836 (m2),故选C.
【方法总结】　　正棱锥的侧面是等腰三角形,只要弄清楚相对应的元素,求解就会很简单.
若一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　).
A.8 B.12
C.16 D.20
【答案】　B【解析】　如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,设点P在底面ABCD的射影为点O,则O为AC的中点,且四棱锥P-ABCD的高PO=,
所以AO=AB=,PB=PA==,
取AB的中点E,连接PE,则PE⊥AB,且PE==2,
所以S△PAB=AB·PE=2,
故正四棱锥P-ABCD的表面积S=4×2+22=12.
探究3　棱台的表面积
“李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠”,本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具,后又作为计量粮食的工具.某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研究“斗”的相关几何性质.
问题1:你能画出这个“斗”的展开图吗
【答案】　这个“斗”是一个正四棱台,其展开图如图所示.
问题2:棱台的侧面展开图是由什么构成的 如何计算它的表面积
【答案】　棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的;表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和.
问题3:若该四棱台的上、下底面的边长分别是2,4,高为1,你能求出该四棱台的表面积吗
【答案】　根据题意可知,该四棱台的侧面都是上底边长为2,下底边长为4的等腰梯形,
所以侧面等腰梯形的高为h'==,则一个等腰梯形的面积为(2+4)××=3,上、下底面面积分别为2×2=4,4×4=16,所以该四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
新知生成
S正棱台侧=(C+C')h',其中C,C'分别为棱台的上、下底面周长,h'为棱台侧面的高.
新知运用
例3　木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,底面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52 cm,底面周长为40 cm,侧面等腰梯形的腰长为8 cm,则该木升子的侧面积约为(　　).(结果精确到0.1 cm2,参考数据:≈15.72)
A.90.4 cm2
B.180.8 cm2
C.361.6 cm2
D.368.0 cm2
方法指导　先求侧面梯形的高,即可求出该木升子的侧面积.
【答案】　C
【解析】　由题意可得该木升子上口边长为13 cm,底面边长为10 cm,故侧面等腰梯形的高h==(cm),所以该木升子的侧面积S=4×≈361.6(cm2),故选C.
【方法总结】　　正棱台的侧面是等腰梯形,因而对正棱台,需要构造直角梯形或等腰梯形来求解.
某校高一年级学生进行创客活动,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4 cm,为增强其观赏性和耐用性,现在该模型表面镀上一层金属膜,每平方厘米需要金属2 mg,不考虑损耗,所需金属膜的质量为　　　　mg.
【答案】　282+54
【解析】　由题意知,该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6=96(cm2),底面积为6×6=36(cm2),正方形EFGH的面积为3×3=9(cm2).
因为梯形ABFE的高为=(cm),
所以正四棱台ABCD-EFGH的侧面积为4××(3+6)×=27(cm2),
故该模型表面积为96+36+9+27=141+27(cm2).
故所需金属膜的质量为2×(141+27)=282+54(mg).
探究4　球的表面积
问题1:球的表面积是由什么确定的
【答案】　球的表面积由球的半径R确定.
问题2:正方体的外接球与内切球的表面积之比是多少
【答案】　设正方体的外接球的半径为R,内切球的半径为r,正方体的棱长为1,
则正方体的外接球的直径为正方体的对角线长,即2R=,所以R=,
正方体内切球的直径为正方体的棱长,即2r=1,即r=,所以=,
故正方体的外接球与内切球的表面积之比为==3.
新知生成
设球的半径为R,则球的表面积S球=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的　4　倍.
新知运用 例4　蹴鞠(如图所示),又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠(近似看作球体)的表面上有四个点S,A,B,C,满足S-ABC为正三棱锥,M是SC的中点,且AM⊥SB,侧棱SA=1,则该蹴鞠的表面积为(　　).
A.3π B.6π
C.12π D.16π
方法指导　若∠ASB=θ,N为BC的中点,则AM⊥MN,再应用余弦定理、勾股定理求得θ=,即S-ABC为直三棱锥,即可求外接球的半径,进而求表面积.
【答案】　A
【解析】　如图,若N为BC的中点,则MN∥SB,
又AM⊥SB,∴AM⊥MN,
又S-ABC为正三棱锥且侧棱SA=1,
∴MN=,AN=AB,
若∠ASB=θ(0<θ<π),则AM2=-cos θ,AB2=2-2cos θ,
在Rt△AMN中,由AM2+MN2=AN2,即-cos θ=(2-2cos θ),得cos θ=0,又0<θ<π,∴θ=,
即正三棱锥S-ABC三条侧棱两两互相垂直,易得外接球的半径R=,
∴该蹴鞠的表面积为4πR2=3π,故选A.
【方法总结】　　求球的表面积,关键是求球的半径,同时要注意球的表面积是关于半径平方的函数.
《九章算术——商功》中有这样一段话:“斜解立方,得两堑堵(qiàn dǔ),斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑(biē nào).”这里所谓的“鳖臑”,就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”,AB⊥平面BCD,AC⊥CD,且AB=,BC=CD=1,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为(　　).
A.3π B.4π
C.7π D.9π
【答案】　B
【解析】　如图所示,将三棱锥A-BCD补全为一个长、宽、高分别为1,1,的长方体,则三棱锥A-BCD的外接球为长方体的外接球.
设外接球的半径为R,则(2R)2=1+1+2=4,所以R2=1,
所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πR2=4π.
【随堂检测】
1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是(　　).
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6
【答案】　B
【解析】　S表=4××22=4.故选B.
2.棱长都是1的三棱锥的侧面积为(　　).
A. B.2 C.3 D.4
【答案】　A
【解析】　因为侧面是全等的正三角形,所以S=3×=.
3.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为　　　　.
【答案】　12
【解析】　如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,高OP=,底面边长AB=2.
过点O作OG⊥BC,垂足为点G,连接PG,则侧面等腰三角形的高PG==2.
故正四棱锥的表面积S=2×2+4××2×2=12.
4.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为9π,则球O的表面积为　　　　.
【答案】　48π
【解析】　设平面截球O所得圆M的半径为r,球O的半径为R,因为圆M的面积为9π,所以平面截球得到圆M的半径r==3,
由题意知R2=R2+r2,可得R2=12,则S球=4πR2=4π×12=48π.
5.已知一个正四棱台的上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,求其表面积.
【解析】　由已知可得正四棱台侧面梯形的高h==12(cm),
所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),故表面积S=624+64+324=1012(cm2).
24.5 课时1 几种简单几何体的表面积
【学习目标】
1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的表面积的求法.(直观想象、数学运算)
2.了解柱体、锥体、台体、球的表面积计算公式.(直观想象、数学运算)
3.能运用柱体、锥体、台体、球的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
被誉为世界七大奇迹之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物,呈正四棱锥形.在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的 这真是一个十分难解的谜.
1.如果已知金字塔的底面边长和侧棱长,如何计算胡夫金字塔的侧面积
2.怎样计算柱体、锥体、台体的表面积
3.球的表面积如何计算
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. (　　)
(2)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. (　　)
(3)把柱体、锥体、台体的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图形状都相同,面积都相等. (　　)
(4)空间几何体的侧面积即是表面积. (　　)
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积之比为(　　).
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
3.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为　　　　.
【合作探究】
探究1　棱柱的表面积
问题1:棱柱的侧面展开图是什么
问题2:如果是直棱柱,其侧面展开图是什么图形
问题3:你能求出直棱柱的表面积吗
新知生成
1.直棱柱
S直棱柱侧=Ch,其中C为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高.
2.表面积
一般地,表面积=侧面积+底面积.
新知运用
例1　已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,侧棱长为2,其中一条侧棱AA1与底面△ABC两边AB,AC所在直线的夹角为45°,则该斜三棱柱的侧面积为　　　　.
方法指导　首先证得CC1⊥B1C1,然后分别求出三个侧面的面积再相加即可得出结果.
【方法总结】　　求棱柱的表面积的方法:(1)对于直棱柱,可以直接利用公式求解;(2)对于斜棱柱,可将其展开,分别求出各个面的面积,再相加.
现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长分别为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积.
探究2　棱锥的表面积
问题1:三棱锥的展开图是什么
问题2:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,点P到底面ABC的距离为3,如何求该三棱锥的表面积
问题3:已知如图所示的正棱锥,如何求它的侧面积
新知生成
S正棱锥侧=Ch',其中C为正棱锥的底面周长,h'为侧面等腰三角形的高.
新知运用
例2　法国卢浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状(如图所示),已知塔高21 m,底宽34 m,则塔身的表面积(精确到1 m2)约是(　　).(参考数据:≈27,342=1156)
A.3674 m2 B.2993 m2
C.1836 m2 D.1682 m2
方法指导　由题意可得正四棱锥的底面边长与高,代入棱锥的表面积公式求解.
【方法总结】　　正棱锥的侧面是等腰三角形,只要弄清楚相对应的元素,求解就会很简单.
若一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　).
A.8 B.12
C.16 D.20
探究3　棱台的表面积
“李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠”,本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具,后又作为计量粮食的工具.某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研究“斗”的相关几何性质.
问题1:你能画出这个“斗”的展开图吗
问题2:棱台的侧面展开图是由什么构成的 如何计算它的表面积
问题3:若该四棱台的上、下底面的边长分别是2,4,高为1,你能求出该四棱台的表面积吗
新知生成
S正棱台侧=(C+C')h',其中C,C'分别为棱台的上、下底面周长,h'为棱台侧面的高.
新知运用
例3　木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,底面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52 cm,底面周长为40 cm,侧面等腰梯形的腰长为8 cm,则该木升子的侧面积约为(　　).(结果精确到0.1 cm2,参考数据:≈15.72)
A.90.4 cm2
B.180.8 cm2
C.361.6 cm2
D.368.0 cm2
方法指导　先求侧面梯形的高,即可求出该木升子的侧面积.
【方法总结】　　正棱台的侧面是等腰梯形,因而对正棱台,需要构造直角梯形或等腰梯形来求解.
某校高一年级学生进行创客活动,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4 cm,为增强其观赏性和耐用性,现在该模型表面镀上一层金属膜,每平方厘米需要金属2 mg,不考虑损耗,所需金属膜的质量为　　　　mg.
探究4　球的表面积
问题1:球的表面积是由什么确定的
问题2:正方体的外接球与内切球的表面积之比是多少
新知生成
设球的半径为R,则球的表面积S球=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的　4　倍.
新知运用 例4　蹴鞠(如图所示),又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠(近似看作球体)的表面上有四个点S,A,B,C,满足S-ABC为正三棱锥,M是SC的中点,且AM⊥SB,侧棱SA=1,则该蹴鞠的表面积为(　　).
A.3π B.6π
C.12π D.16π
方法指导　若∠ASB=θ,N为BC的中点,则AM⊥MN,再应用余弦定理、勾股定理求得θ=,即S-ABC为直三棱锥,即可求外接球的半径,进而求表面积.
【方法总结】　　求球的表面积,关键是求球的半径,同时要注意球的表面积是关于半径平方的函数.
《九章算术——商功》中有这样一段话:“斜解立方,得两堑堵(qiàn dǔ),斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑(biē nào).”这里所谓的“鳖臑”,就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”,AB⊥平面BCD,AC⊥CD,且AB=,BC=CD=1,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为(　　).
A.3π B.4π
C.7π D.9π
【随堂检测】
1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是(　　).
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6
2.棱长都是1的三棱锥的侧面积为(　　).
A. B.2 C.3 D.4
3.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为　　　　.
4.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为9π,则球O的表面积为　　　　.
5.已知一个正四棱台的上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,求其表面积.
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