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4.5 课时2 几种简单几何体的体积
【学习目标】
1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的体积的求法.(直观想象、数学运算)
2.会求柱体、锥体、台体、球的体积.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.什么是锥体的高
2.什么是台体或柱体的高
3.柱体、锥体的体积分别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积. (　　)
(2)棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差. (　　)
(3)若两个柱体的体积相等,则表面积相等. (　　)
(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关. (　　)
2.若长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　).
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
3.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为(　　).
A.2 B.4 C.6 D.12
【合作探究】
探究1　柱体的体积
现有一张边长为10 cm的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成底面边长为6 cm的无盖包装盒.
问题1:该无盖包装盒是哪种几何体
问题2:该包装盒的体积是多少
新知生成
棱柱的体积:V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高).
圆柱:V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的母线长).
新知运用
例1　如图1,一个正三棱柱形容器中盛有水,底面三角形ABC的边长为2 cm,侧棱AA1=4cm,若侧面AA1B1B水平放置时(如图2),水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.
(1)求容器中水的体积;
(2)当容器底面ABC水平放置时(如图1),求容器内水面的高度.
方法指导　(1)在图2中,根据四棱柱的体积公式计算可得;(2)设图1中水的高度为h cm,根据水的体积相等得到方程,求解即可.
【方法总结】　　常见的求柱体体积的方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
若在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　).
A.8 B.6
C.8 D.10π
探究2　锥体的体积
对24小时内降水在平地上的积水厚度(单位:mm)进行如下定义:
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水.
问题1:接水的容器是哪种几何体
问题2:如何计算容器内水的体积
问题3:这一天的雨水属于哪个等级
新知生成
1.棱锥:V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高).
2.圆锥:V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h为圆锥的高).
新知运用
例2　如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于点O,PO⊥平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,AP=3AF.
(1)证明:PC∥平面BEF.(2)若AB=2,∠ADB=∠BPD=60°,求三棱锥A-EFB的体积.
方法指导　(1)设AO交BE于点G,根据平行线分线段成比例可得=,即可根据==得到GF∥PC,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)由等积法可知VA-BEF=VF-ABE,即可解出.
【方法总结】　　求锥体体积的方法
(1)公式法:直接代入公式求解;(2)等体积法:因为四面体的任何一个面都可以作为底面,所以选用底面积和高都易求的形式即可.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PD=AD=AB=2,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,E为PC上一点,且PE=2EC.
(1)证明:AD⊥PB.
(2)求三棱锥P-EBD的体积.
探究3　台体的体积
问题1:我们知道台体是由锥体用平行于底面的平面所截得到的,那台体可以由原棱锥的体积减去截得的小棱锥的体积得到吗
问题2:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系吗
新知生成
1.棱台:V棱台=(S'++S)h(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高).
当S'=S时,棱台变为棱柱,棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;当S'=0时,棱台变为棱锥,棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式.
2.圆台:V圆台=πh(r2+rr'+r'2)(其中r',r分别是圆台的上、下底面的半径,h为圆台的高).
3.棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系
新知运用
例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知当该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(　　).(≈2.65)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
【方法总结】　　求柱体、锥体、台体的体积时需注意的问题:柱体、锥体、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
正三棱台上、下底面的棱长分别为3和6,侧棱长为2,则正三棱台的体积为　　　　.
探究4　球的体积
从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展开成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢 古人在计算圆周率时,一般采用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.
问题1:运用上述思想能否计算球的表面积和体积
问题2:球有底面吗 球面能展开成平面图形吗
问题3:类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积吗
问题4:求球的体积需要什么条件
新知生成
设球的半径为R,则球的体积V=πR3.
新知运用
例4　(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为π,求它的表面积.
【方法总结】　　要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
已知一个球的半径为R,其体积V球和表面积S球数值上满足关系V球=2S球,则半径R=　　　　.
【随堂检测】
1.若长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线长为2,则这个长方体的体积是(　　).
A.6 B.2 C.24 D.48
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　.
3.如果一个球的表面积扩大为原来的3倍,那么该球的体积扩大为原来的　　　　倍.
4.已知圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长为10 cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形面积为100π cm2.求圆柱的体积.
24.5 课时2 几种简单几何体的体积
【学习目标】
1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的体积的求法.(直观想象、数学运算)
2.会求柱体、锥体、台体、球的体积.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.什么是锥体的高
【答案】　把锥体(棱锥、圆锥)的顶点到底面的距离称为锥体的高.
2.什么是台体或柱体的高
【答案】　台体或柱体两底面之间的距离称为台体或柱体的高.
3.柱体、锥体的体积分别是什么
【答案】　柱体、锥体的体积分别是V柱体=Sh,V锥体=Sh.(S是底面积,h是高)
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积. (　　)
(2)棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差. (　　)
(3)若两个柱体的体积相等,则表面积相等. (　　)
(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.若长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　).
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
【答案】　B
【解析】　V长方体=3×4×5=60(cm3).
3.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为(　　).
A.2 B.4 C.6 D.12
【答案】　B
【解析】　正四棱锥的底面积为2×2=4,则其体积为×4×3=4.
【合作探究】
探究1　柱体的体积
现有一张边长为10 cm的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成底面边长为6 cm的无盖包装盒.
问题1:该无盖包装盒是哪种几何体
【答案】　正六棱柱.
问题2:该包装盒的体积是多少
【答案】　如图,正六边形的每个内角为,
按虚线处折成底面边长为6 cm的正六棱柱,即AB=6 cm,
所以BE==2(cm),BF=BEtan 60°=2(cm),即正六棱柱的高为2cm,
所以正六棱柱的体积V=6××6×6××2=324(cm3).
新知生成
棱柱的体积:V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高).
圆柱:V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的母线长).
新知运用
例1　如图1,一个正三棱柱形容器中盛有水,底面三角形ABC的边长为2 cm,侧棱AA1=4cm,若侧面AA1B1B水平放置时(如图2),水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.
(1)求容器中水的体积;
(2)当容器底面ABC水平放置时(如图1),求容器内水面的高度.
方法指导　(1)在图2中,根据四棱柱的体积公式计算可得;(2)设图1中水的高度为h cm,根据水的体积相等得到方程,求解即可.
【解析】　(1)在图2中,水所占部分为四棱柱,该四棱柱的底面积S=×22×sin 60°-×12×sin 60°=(cm2),又高为4 cm,
所以水的体积V=×4=3(cm3).
(2)设图1中水的高度为h cm,则V=×22×sin 60°×h=3,解得h=3.
所以当容器底面ABC水平放置时,容器内水面的高度为3 cm.
【方法总结】　　常见的求柱体体积的方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
若在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　).
A.8 B.6
C.8 D.10π
【答案】　C
【解析】　因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,即∠AC1B=30°,由AB=2可得BC1=2,从而CC1==2.
所以该长方体的体积V=2×2×2=8.
探究2　锥体的体积
对24小时内降水在平地上的积水厚度(单位:mm)进行如下定义:
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水.
问题1:接水的容器是哪种几何体
【答案】　是圆锥.
问题2:如何计算容器内水的体积
【答案】　容器内的水是圆锥形状,利用圆锥的体积公式V圆锥=Sh计算即可.
问题3:这一天的雨水属于哪个等级
【答案】　由题可知,设圆锥形容器中积水的水面半径为r,所以=,解得r=50,所以积水厚度为=12.5∈(10,25),因此这一天的雨水属于中雨.
新知生成
1.棱锥:V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高).
2.圆锥:V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h为圆锥的高).
新知运用
例2　如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于点O,PO⊥平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,AP=3AF.
(1)证明:PC∥平面BEF.(2)若AB=2,∠ADB=∠BPD=60°,求三棱锥A-EFB的体积.
方法指导　(1)设AO交BE于点G,根据平行线分线段成比例可得=,即可根据==得到GF∥PC,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)由等积法可知VA-BEF=VF-ABE,即可解出.
【解析】　(1)设AO交BE于点G,连接FG.
因为E是AD的中点,AE∥CB,BD=2,所以△AEG∽△CBG,
所以==,即=.
又因为AP=3AF,所以==,所以GF∥PC,
又因为GF 平面BEF,PC 平面BEF,所以PC∥平面BEF.
(2)在菱形ABCD中,因为AB=2,∠ADB=60°,所以△ABD是边长为2的等边三角形,故S△ABE=S△ABD=.
又因为∠BPD=60°,PO⊥平面ABC,BD=2,所以PO=,故点F到平面ABC的距离为PO=,
所以VA-EFB=VF-ABE=××=,即三棱锥A-EFB的体积为.
【方法总结】　　求锥体体积的方法
(1)公式法:直接代入公式求解;(2)等体积法:因为四面体的任何一个面都可以作为底面,所以选用底面积和高都易求的形式即可.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PD=AD=AB=2,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,E为PC上一点,且PE=2EC.
(1)证明:AD⊥PB.
(2)求三棱锥P-EBD的体积.
【解析】　(1)∵PD⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴PD⊥AD.
∵AD=AB=2,∠DAB=60°,
由余弦定理得BD===2,
∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,
又PD∩BD=D,AD 平面PDB,
∴AD⊥平面PDB,
∵PB 平面PDB,
∴AD⊥PB.
(2)设点E到底面ABCD的距离为h,则h=PD=,∵S△BCD=S△ABD=×4×2×sin 60°=2,
∴VP-EBD=VP-BCD-VE-BCD=×2×2-×2×=.
探究3　台体的体积
问题1:我们知道台体是由锥体用平行于底面的平面所截得到的,那台体可以由原棱锥的体积减去截得的小棱锥的体积得到吗
【答案】　可以.
问题2:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系吗
【答案】　
其中S上,S下分别为棱台的上、下底面面积,h为高,S为棱柱或棱锥的底面面积.
新知生成
1.棱台:V棱台=(S'++S)h(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高).
当S'=S时,棱台变为棱柱,棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;当S'=0时,棱台变为棱锥,棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式.
2.圆台:V圆台=πh(r2+rr'+r'2)(其中r',r分别是圆台的上、下底面的半径,h为圆台的高).
3.棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系
新知运用
例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知当该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(　　).(≈2.65)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
【答案】　C
【解析】　台体体积公式为V=h(S1+S2+),题目中h=157.5-148.5=9(m),S1=140×10002=1.4×108(m2),S2=180×10002=1.8×108(m2),代入公式计算得V=3×108×3.2+≈1.4×109(m3).故选C.
【方法总结】　　求柱体、锥体、台体的体积时需注意的问题:柱体、锥体、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
正三棱台上、下底面的棱长分别为3和6,侧棱长为2,则正三棱台的体积为　　　　.
【答案】　
【解析】　如图,正三棱台ABC-A'B'C',将其补全为三棱锥P-A'B'C',PO为其高,
∴正三棱台的体积V=VP-A'B'C'-VP-ABC,由题意易知PC'=4,A'D=3,PD=,
∴设PO=x,则+=3,解得x=2,
即三棱锥P-A'B'C'的高PO=2,故三棱锥P-ABC的高为1,
∴V=×2××6×6×sin 60°-×1××3×3×sin 60°=.
探究4　球的体积
从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展开成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢 古人在计算圆周率时,一般采用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.
问题1:运用上述思想能否计算球的表面积和体积
【答案】　可以.
问题2:球有底面吗 球面能展开成平面图形吗
【答案】　球没有底面,球的表面不能展开成平面图形.
问题3:类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积吗
【答案】　如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.
当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径R.设O-ABCD是其中一个“小锥体”,它的体积VO-ABCD≈S四边形ABCDR.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,球的体积V球=S球R=×4πR2·R=πR3.
由此,我们得到球的体积公式为V球=πR3.
问题4:求球的体积需要什么条件
【答案】　已知球的半径即可.
新知生成
设球的半径为R,则球的体积V=πR3.
新知运用
例4　(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为π,求它的表面积.
【解析】　(1)设球的半径为r,则由已知得4πr2=64π,解得r=4.
所以球的体积V=πr3=π.
(2)设球的半径为R,由已知得πR3=π,所以R=5,
所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
【方法总结】　　要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
已知一个球的半径为R,其体积V球和表面积S球数值上满足关系V球=2S球,则半径R=　　　　.
【答案】　6
【解析】　因为V球=2S球,所以πR3=2×4πR2,解得R=6.
【随堂检测】
1.若长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线长为2,则这个长方体的体积是(　　).
A.6 B.2 C.24 D.48
【答案】　D
【解析】　设长方体的三条棱长分别为x,2x,3x,则x2+4x2+9x2=(2)2,解得x=2,∴三条棱长分别为2,4,6,故该长方体的体积V=2×4×6=48.
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　.
【答案】　
【解析】　==××1×1×1=.
3.如果一个球的表面积扩大为原来的3倍,那么该球的体积扩大为原来的　　　　倍.
【答案】　3
【解析】　球的表面积扩大为原来的3倍,则球的半径扩大为原来的倍,所以球的体积扩大为原来的()3=3倍.
4.已知圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长为10 cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形面积为100π cm2.求圆柱的体积.
【解析】　设圆柱底面半径为r cm,高为h cm,如图,
则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,
则解得∴V圆柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).
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