资源简介

4.5 课时3 空间几何体的表面积与体积
【学习目标】
1.进一步掌握空间几何体的表面积、体积公式.(直观想象、数学运算)
2.进一步掌握组合体的表面积、体积计算.(直观想象、数学运算)
3.进一步掌握与球有关的表面积、体积的计算.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.若长方体相邻三个面的面积分别为,,,则长方体的体积等于(　　).
A. B.6 C.6 D.36
【答案】　A
【解析】　设长方体的长、宽、高分别为 a,b,h,则不妨设 ab=,ah=,bh=,则体积 V=abh===.
2.一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面,圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积为(　　).
A.(32+4)π B.32π
C.28π D.(28+4)π
【答案】　D
【解析】　因为圆柱的母线长为6,底面半径为2,所以圆锥的母线长为=2,
所以该组合体的表面积为π×22+2π×2×6+π×2×2=(28+4)π.
3.一平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到截面的距离为,则此球的体积为(　　).
A.π B.4π C.4π D.6π
【答案】　B
【解析】　如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
则OO'=,O'M=1,
∴OM==,即球的半径为,
∴V=π×()3=4π.
4.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球,测得容器的水面下降了 cm,则这个铁球的表面积为　　　　 cm2.
【答案】　100π
【解析】　设实心铁球的半径为R,则R3=π×102×,得R=5,故这个铁球的表面积S=4πR2=100π cm2.
【合作探究】
探究1　组合体的表面积与体积
例1　一个容器的盖子由一个正四棱台和一个球焊接而成,球在正四棱台上底面的正中间,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R(π取3.14).
(1)求这个盖子的表面积和体积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计);
(2)若R=2 cm,给盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2,计算给100个这样的盖子涂色大约需要多少千克涂料.(内部不涂色,结果精确到0.1 kg)
方法指导　(1)根据给定条件,利用球和棱台的表面积公式,以及它们的体积公式求解作答;(2)由(1)的结论,将R=2 cm代入计算出每个盖子的表面积,进而求出100个盖子的面积,即可求出需涂料的重量.
【解析】　(1)因为球的半径为R,所以该球的表面积为4πR2,该球的体积V1=R3,
又正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,所以该正四棱台的上、下底面面积分别为6.25R2和9R2,
而正四棱台的斜高为0.6R,则正四棱台的侧面积为4××(2.5R+3R)×0.6R=6.6R2,
所以该正四棱台的表面积为6.25R2+9R2+6.6R2=21.85R2,
又正四棱台的高为=R,
所以正四棱台的体积V2=R2++9R2·R=R3,
所以容器盖子的表面积S=(21.85+4π)R2,
则容器盖子的体积V=V1+V2=R3+R3=R3.
(2)由(1)知,该容器盖子的表面积S=(21.85+4π)R2,当R=2 cm时,S≈(21.85+4×3.14)×22=137.64(cm2).
所以100个这样的盖子大约需涂料×0.4≈0.6(kg).
【方法总结】　　求组合体的表面积和体积,首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和,但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和,组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(或差).
现需要设计一个仓库,仓库由上、下两部分组成,如图所示,上部分为正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库(含上、下两部分)的容积是多少
(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,下部分正四棱柱的侧面积最大,最大侧面积是多少
【解析】　(1)∵PO1=2 m,O1O=4PO1,∴O1O=8 m.
∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312 m3.
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,设PO1=x,
则O1O=4x,A1O1=,A1B1=·.
∴正四棱柱侧面积S=4×4x··=16x·(0∴S≤16·=288,
当且仅当x2=36-x2,即x=3时,等号成立,Smax=288 m2.
∴当PO1=3 m时,正四棱柱的侧面积最大,最大值为288 m2.
探究2　旋转体的表面积与体积
例2　如图所示,在直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.
(1)请画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征;
(2)求所得几何体的表面积和体积.
方法指导　(1)直接由旋转体的结构特征得出结论;(2)结合图中数据计算该组合体的表面积和体积.
【解析】　(1)根据题意知,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体是上部分是圆锥,下部分是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体.
(2)该几何体的表面积S=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球=π×2×2+2π×2×2+×4π×22=(4+16)π,
几何体的体积V=V圆锥+V圆柱-V半球=×π×22×2+π×22×2-××π×23=.
【方法总结】　　解决旋转体的表面积与体积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可.
如图,在等腰Rt△AOB中,OA=OB=2,C是OB的中点,△AOB绕BO所在的直线逆时针旋转至△BOD,∠AOD=,求△AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S.
【解析】　由题意知旋转体的体积是圆锥体积的,所以V=××π×22×2=;
该旋转体的表面由两个直角三角形、一个圆锥的底面圆和一个圆锥的侧面组成,所以S=2××2×2+×π×22+×π×2×2=+4.
探究3　球的切接问题
一、定义法
例3　在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD=150°,则三棱锥M-PAD的外接球的表面积为(　　).
A.12π B.34π C.68π D.126π
【答案】　C
【解析】　如图,由题意可知,MP⊥PA,MP⊥PD,且PA∩PD=P,PA 平面PAD,PD 平面PAD,所以MP⊥平面PAD.
设△ADP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得=2r,即=2r,解得r=4.
设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R,
则(2R)2=PM2+(2r)2,
即(2R)2=4R2=68,
所以外接球的表面积为4πR2=68π.
【方法总结】　　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为　　　　.
【答案】　
【解析】　设正六棱柱的底面边长为x,高为h,
则有
解得
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=,球心到底面的距离d=.
∴外接球的半径R==1,∴V球=.
二、补形法
例4　在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　).
A.2π B.4π C.6π D.8π
【答案】　C
【解析】　由题意,可采用补形法,考虑到四面体ABCD的对棱相等,所以将四面体放入一个长,宽,高分别为x,y,z的长方体中,且x2+y2=3,x2+z2=5,y2+z2=4,则有(2R)2=x2+y2+z2=6(R为外接球的半径),得2R2=3,所以外接球的表面积S=4πR2=6π.
【方法总结】　　(1)补形法的解题策略:
①侧面为直角三角形或正四面体或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;
②有一条侧棱垂直于底面的三棱锥可补成三棱柱求解.
(2)正方体与球的切接问题常用结论:
正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
已知在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　).
A. B.14π
C.56π D.π
【答案】　B
【解析】　如图,长方体PAB'B-CA'P'C'与三棱锥P-ABC有相同的外接球,其外接球的直径为长方体的体对角线PP',设外接球的半径为R,
则(2R)2=PP'2=PA2+PB2+PC2=12+22+32=14,
则所求表面积S=4πR2=π·(2R)2=14π.
三、截面法
例5　已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　如图所示,因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=.连接OO1,
则OO1⊥平面ABC,OO1===,
所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=××1×1×=.
【方法总结】　　(1)与球截面有关的问题的解题策略
①定球心:如果是内切球,那么球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,那么球心到接点的距离相等且为半径.
②作截面:选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.
(2)正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=a,R∶r=3∶1.(a为该正四面体的棱长)
在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是　　　　.
【答案】　
【解析】　易知AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,
则×6×8=×(6+8+10)·r,所以r=2.
因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,
即R=,此时球的体积V=πR3=.
【随堂检测】
1.若正方体的表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的(　　).
A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍
【答案】　D
【解析】　S表=6a2,S'表=6a'2=2S表,∴a'=a.
V=a3,V'=a'3=2a3=2V.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为2和2,绕该三角形的斜边旋转一周,得到的几何体的表面积为(　　).
A.(6+2)π B.(6-2)π
C.2π D.6π
【答案】　A
【解析】　若在Rt△ABC中,AC=2,BC=2,可得AB==4,将Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,得到的几何体如图,
可得OC==,即圆O的半径r=,
所以该旋转体的表面积S=πr·AC+πr·BC=π××2+π××2=(6+2)π.
3.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,体积为
的球与其各面均相切,则该堑堵的表面积为(　　).
A.18 B.24 C.36 D.48
【答案】　C
【解析】　一个堑堵的底面积为6,体积为的球与其各面均相切,画出球在底面的俯视图,如图.设球的半径为r,则r3=,解得r=1,
设该三棱柱的底面周长为C,则有C·r=6,解得C=12,则三棱柱的侧面积为12×2=24,所以三棱柱的表面积为6+24+6=36.
4.在如图所示的几何体中,上面是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm.现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱(挖去的圆柱贯穿几何体),求此几何体的体积.
【解析】　V六棱柱=×42×6×2=48(cm3),
V圆柱=π×32×3=27π(cm3),
V挖去圆柱=π×12×(3+2)=5π(cm3),
∴此几何体的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去圆柱=48+22π(cm3).
24.5 课时3 空间几何体的表面积与体积
【学习目标】
1.进一步掌握空间几何体的表面积、体积公式.(直观想象、数学运算)
2.进一步掌握组合体的表面积、体积计算.(直观想象、数学运算)
3.进一步掌握与球有关的表面积、体积的计算.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.若长方体相邻三个面的面积分别为,,,则长方体的体积等于(　　).
A. B.6 C.6 D.36
2.一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面,圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积为(　　).
A.(32+4)π B.32π
C.28π D.(28+4)π
3.一平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到截面的距离为,则此球的体积为(　　).
A.π B.4π C.4π D.6π
4.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球,测得容器的水面下降了 cm,则这个铁球的表面积为　　　　 cm2.
【合作探究】
探究1　组合体的表面积与体积
例1　一个容器的盖子由一个正四棱台和一个球焊接而成,球在正四棱台上底面的正中间,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R(π取3.14).
(1)求这个盖子的表面积和体积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计);
(2)若R=2 cm,给盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2,计算给100个这样的盖子涂色大约需要多少千克涂料.(内部不涂色,结果精确到0.1 kg)
方法指导　(1)根据给定条件,利用球和棱台的表面积公式,以及它们的体积公式求解作答;(2)由(1)的结论,将R=2 cm代入计算出每个盖子的表面积,进而求出100个盖子的面积,即可求出需涂料的重量.
【方法总结】　　求组合体的表面积和体积,首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和,但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和,组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(或差).
现需要设计一个仓库,仓库由上、下两部分组成,如图所示,上部分为正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库(含上、下两部分)的容积是多少
(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,下部分正四棱柱的侧面积最大,最大侧面积是多少
探究2　旋转体的表面积与体积
例2　如图所示,在直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.
(1)请画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征;
(2)求所得几何体的表面积和体积.
方法指导　(1)直接由旋转体的结构特征得出结论;(2)结合图中数据计算该组合体的表面积和体积.
【方法总结】　　解决旋转体的表面积与体积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可.
如图,在等腰Rt△AOB中,OA=OB=2,C是OB的中点,△AOB绕BO所在的直线逆时针旋转至△BOD,∠AOD=,求△AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S.
探究3　球的切接问题
一、定义法
例3　在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD=150°,则三棱锥M-PAD的外接球的表面积为(　　).
A.12π B.34π C.68π D.126π
【方法总结】　　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为　　　　.
二、补形法
例4　在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　).
A.2π B.4π C.6π D.8π
【方法总结】　　(1)补形法的解题策略:
①侧面为直角三角形或正四面体或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;
②有一条侧棱垂直于底面的三棱锥可补成三棱柱求解.
(2)正方体与球的切接问题常用结论:
正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
已知在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　).
A. B.14π
C.56π D.π
三、截面法
例5　已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为(　　).
A. B. C. D.
【方法总结】　　(1)与球截面有关的问题的解题策略
①定球心:如果是内切球,那么球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,那么球心到接点的距离相等且为半径.
②作截面:选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.
(2)正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=a,R∶r=3∶1.(a为该正四面体的棱长)
在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是　　　　.
【随堂检测】
1.若正方体的表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的(　　).
A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为2和2,绕该三角形的斜边旋转一周,得到的几何体的表面积为(　　).
A.(6+2)π B.(6-2)π
C.2π D.6π
3.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,体积为
的球与其各面均相切,则该堑堵的表面积为(　　).
A.18 B.24 C.36 D.48
4.在如图所示的几何体中,上面是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm.现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱(挖去的圆柱贯穿几何体),求此几何体的体积.
2

展开更多......

收起↑