资源简介

1.1 向量
【学习目标】
1.了解向量的物理实际背景,能正确进行平面向量的几何表示.(数学抽象)
2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(数学抽象、直观想象)
【自主预习】
1.在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别
【答案】　面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向.
2.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来
【答案】　利用有向线段来表示.
3.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗
【答案】　错误.理由:①向量只有长度和方向两个要素,与起点无关,只要长度和方向相同就是相同的向量;②有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.
4.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗
【答案】　向量的模可以为0,也可以为1,但不可以为负数.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量,长度大的向量较大. (　　)
(2)力、速度和质量都是向量. (　　)
(3)两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
2.如图,在矩形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(　　).
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】　B
【解析】　易知=.
3.如图,在1 cm×3 cm的方格纸中,以A为始点,其他格点为终点,可以写出　　　　个不同的向量.
【答案】　7
【解析】　由图可知,以A为始点的向量有,,,,,,,共7个.
【合作探究】
探究1 向量的基本要素及几何表示　
　　问题1:某人在天安门广场的正中央向北前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,请用向量画出他从出发点到达终点的示意图.
【答案】　
用长为1 cm的向量表示该人前进100米,他四次前进100米的示意图如图所示.
　　问题2:如果他每次不是左转90°,而是每次左转60°后前进100米,他能回到出发点吗
【答案】　他每次左转60°后前进100米,能回到出发点.要经过六次才能回到出发点.
问题3:上述问题中具有方向的线段叫什么
【答案】　有向线段.
问题4:我们知道有向线段具有方向,它有大小吗
【答案】　有,就是有向线段的长度.
问题5:既有大小又有方向的量,在数学中称为什么
【答案】　向量.
新知生成
向量的概念与表示
(1)既有　大小　又有　方向　的量称为向量.
(2)向量的表示:向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示,如向量a,b,F,,,.把只有　大小　没有　方向　的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
(3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的长度,称为a的模,记作|a|.
新知运用
例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后改变方向,向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.请作出,,.
方法指导　作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量.
【解析】　作出向量,如图所示.
【方法总结】　　准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
已知飞机从A地向北偏东30°方向飞行2000 km到达B地,再从B地向南偏东30°方向飞行2000 km到达C地,再从C地向西南方向飞行1000 km到达D地.
(1)作出向量,,,.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
【解析】　(1)向量,,,如图所示.
(2)由图知,D地在A地的东南方向,距A地1000 km.
探究2 相等向量与相反向量
　　小明沿着篮球场的边缘,从A点走到B点,又从B点走到A点.
问题1:上述问题中,向量和向量相等吗 若不相等,二者有什么关系
【答案】　因为向量和向量的方向不同,所以它们不相等.二者互为相反向量.
问题2:如果小明在A处不动,那么向量的模是多少 的方向确定吗
【答案】　||=0,方向不确定.
新知生成
1.相等向量:把方向相同、长度相等的向量称为相等向量.
2.相反向量:把长度相等、方向相反的向量a,b称为相反向量,记作b=-a.如果b=-a,那么同样也有a=-b.
3.零向量:如果向量a的大小|a|=0,就称向量a是零向量,记作0.约定:所有的零向量都相等.
新知运用
例2　如
图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)写出与向量相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
方法指导　根据已知条件,观察图形,凡是与向量长度相等且方向相同的向量,就是其相等向量.利用向量证明E,D,C三点共线,就可将向量的模转化为线段EC的长度.
【解析】　(1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,
∴AB ED,AB DC,从而=,=,∴=.
故与向量相等的向量是,.
(2)由(1)知==.
∵与方向相同,∴E,D,C三点共线.
∴||=||+||=2||=6.
【方法总结】　　(1)在图形背景下找相等向量,只要根据相等向量的定义,观察图形可直观地得出结论.在逻辑分析中,要注意相等向量的传递性.
(2)一般地,||+||≥||,当且仅当与同向时取等号.
如图,在方格纸中,取两个格子的格点(A,B,C,D,E,F)为起点和终点作向量,写出满足下列条件的向量:
　　(1)与相等的向量;
(2)的相反向量;
(3)与的模相等的向量.
【解析】　(1)因为相等向量是方向相同且模长相等的向量,所以与相等的向量为,.
(2)因为相反向量是方向相反且模长相等的向量,所以的相反向量为,.
(3)与的模相等的向量为,,.
【随堂检测】
1.下列说法正确的是(　　).
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个模相同的向量方向相同
【答案】　C
【解析】　零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,C正确;任意两个模相同的向量长度相等,但方向不一定相同,故D错误.
2.若某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100米,则此人位移的方向是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.南偏东60° B.南偏东45°
C.南偏东30° D.南偏东15°
【答案】　C
【解析】　
如图所示,此人从点A出发,经由点B,到达点C,则tan∠BAC==,∴∠BAC=60°,
即位移的方向是东偏南60°,即南偏东30°.
3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(　　).
A.相等向量
B.相反向量
C.有相同起点的向量
D.模相等的向量
【答案】　D
【解析】　由正方形的性质知||=||=||=||,它们的方向不相同,与的方向不相反,所以A,B错误.易知C错误,故选D.
4.如图所示,小正方形的边长为1,则||=　　　　,||=　　　　,||=　　　　.
【答案】　3　　2
【解析】　由题意可知,||==3,
||==,
||==2.
21.1 向量
【学习目标】
1.了解向量的物理实际背景,能正确进行平面向量的几何表示.(数学抽象)
2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(数学抽象、直观想象)
【自主预习】
1.在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别
2.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来
3.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗
4.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量,长度大的向量较大. (　　)
(2)力、速度和质量都是向量. (　　)
(3)两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同. (　　)
2.如图,在矩形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(　　).
A.和 B.和
C.和 D.和
3.如图,在1 cm×3 cm的方格纸中,以A为始点,其他格点为终点,可以写出　　　　个不同的向量.
【合作探究】
探究1 向量的基本要素及几何表示　
　　问题1:某人在天安门广场的正中央向北前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,请用向量画出他从出发点到达终点的示意图.
　　问题2:如果他每次不是左转90°,而是每次左转60°后前进100米,他能回到出发点吗
问题3:上述问题中具有方向的线段叫什么
问题4:我们知道有向线段具有方向,它有大小吗
问题5:既有大小又有方向的量,在数学中称为什么
新知生成
向量的概念与表示
(1)既有　大小　又有　方向　的量称为向量.
(2)向量的表示:向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示,如向量a,b,F,,,.把只有　大小　没有　方向　的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
(3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的长度,称为a的模,记作|a|.
新知运用
例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后改变方向,向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.请作出,,.
方法指导　作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量.
【方法总结】　　准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
已知飞机从A地向北偏东30°方向飞行2000 km到达B地,再从B地向南偏东30°方向飞行2000 km到达C地,再从C地向西南方向飞行1000 km到达D地.
(1)作出向量,,,.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
.
探究2 相等向量与相反向量
　　小明沿着篮球场的边缘,从A点走到B点,又从B点走到A点.
问题1:上述问题中,向量和向量相等吗 若不相等,二者有什么关系
问题2:如果小明在A处不动,那么向量的模是多少 的方向确定吗
新知生成
1.相等向量:把方向相同、长度相等的向量称为相等向量.
2.相反向量:把长度相等、方向相反的向量a,b称为相反向量,记作b=-a.如果b=-a,那么同样也有a=-b.
3.零向量:如果向量a的大小|a|=0,就称向量a是零向量,记作0.约定:所有的零向量都相等.
新知运用
例2　如
图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)写出与向量相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
方法指导　根据已知条件,观察图形,凡是与向量长度相等且方向相同的向量,就是其相等向量.利用向量证明E,D,C三点共线,就可将向量的模转化为线段EC的长度.
【方法总结】　　(1)在图形背景下找相等向量,只要根据相等向量的定义,观察图形可直观地得出结论.在逻辑分析中,要注意相等向量的传递性.
(2)一般地,||+||≥||,当且仅当与同向时取等号.
如图,在方格纸中,取两个格子的格点(A,B,C,D,E,F)为起点和终点作向量,写出满足下列条件的向量:
　　(1)与相等的向量;
(2)的相反向量;
(3)与的模相等的向量.
【随堂检测】
1.下列说法正确的是(　　).
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个模相同的向量方向相同
2.若某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100米,则此人位移的方向是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.南偏东60° B.南偏东45°
C.南偏东30° D.南偏东15°
3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(　　).
A.相等向量
B.相反向量
C.有相同起点的向量
D.模相等的向量
4.如图所示,小正方形的边长为1,则||=　　　　,||=　　　　,||=　　　　.
2

展开更多......

收起↑