资源简介

1.2 课时1 向量的加法运算及其几何意义
【学习目标】
1.掌握向量的加法运算,能够运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.(直观想象、数学运算)
2.掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
　　有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力F1,F2的大小分别是|F1|=3000 N,|F2|=2000 N,牵引绳之间的夹角θ=60°(如图),如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
1.上述情境体现了向量的什么运算
【答案】　体现了向量的加法运算.
2.向量加法运算常用什么法则
【答案】　向量加法运算常用平行四边形法则和三角形法则.
3.向量的加法运算结果还是向量吗
【答案】　向量的加法运算结果还是向量.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a.(　　)
(4)=++. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.化简++=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　根据平面向量的加法运算,得++=(+)+=+=.
3.已知向量a表示“向东航行3 km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示　　　　.
【答案】　向东南方向航行3 km
【解析】　根据题意,由于向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示“向东南方向航行3 km.”
【合作探究】
探究1 三角形法则
问题1:如图,某人从点A走到点B,再从点B按原方向走到点C,两次位移的和是什么
【答案】　两次位移的和为+=.
问题2:如图,若上题改为从点A走到点B,再从点B按反方向走到点C,两次位移的和是什么
【答案】　两次位移的和为+=.
问题3:如图,某车从点A行驶到点B,再从点B改变方向行驶到点C,则两次位移的和是什么
【答案】　两次位移的和为+=.
问题4:两个位移求和实际上是什么量求和
【答案】　两个位移求和实际上就是两个向量求和.
新知生成
已知两个非零向量a,b,在平面上任取一点O,分别作=a,=b,则定义从O到B的向量为a,b的和,记作a+b,即a+b=+=.
1.向量加法的定义
求向量和的运算称为向量的加法.
2.向量加法的三角形法则
将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则,叫作向量加法的三角形法则.
特别提醒:向量求和的多边形法则
①已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则.即+++…++=.
②首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.
新知运用
例1　如图,已知向量a,b,利用三角形法则求作向量a+b.
方法指导　用三角形法则画图.
【解析】　如图,在平面内任意取一点O,作=a,=b,则=a+b.
【方法总结】　　应用三角形法则求向量和的基本步骤:①平移向量使之“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合;②以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点作出的向量,即为两个向量的和.
如图所示,求作向量a+b+c.
【解析】　
如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
探究2 平行四边形法则
　　
问题1:在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处(如图).它的实际位移是由哪些位移合成的
【答案】　可以看作是由水平运动的分位移与竖直运动的分位移合成的.
问题2:向量加法的三角形法则和平行四边形法则有什么相同点和不同点
【答案】　(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.(2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的.
新知生成
平行四边形法则
从同一点O出发作有向线段=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线就是a与b的和,即=a+b.
记忆秘诀:起点相同,对角线为和.
新知运用
例2　如图,已知向量a,b,利用平行四边形法则求作向量a+b.
　　方法指导　用平行四边形法则画图.
【解析】　如图,在平面内任意取一点O,作=a,=b,作平行四边形OBCA,则=a+b.
【方法总结】　　利用平行四边形法则求向量和的步骤:(1)把两个已知向量的始点平移到同一点;(2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形;(3)对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和.
如图所示,在正六边形OABCDE中,若=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来.
【解析】　由题意知,四边形ABPO与四边形AOEP均为平行四边形.
由向量的平行四边形法则知,=+=a+b.
∵=,∴=a+b.
在△AOB中,由向量的三角形法则知,=+=a+a+b=2a+b,
∴=+=2a+b+b=2a+2b,
=+=+=b+a+b=a+2b.
探究3 加法运算律与零向量的加法性质
　　实数的加法满足交换律,向量的加法是否也满足呢
问题:根据图中的平行四边形ABCD,验证向量的加法是否满足交换律.(注:=a,=b)
【答案】　∵=+,
∴=a+b.
∵=+,∴=b+a,∴a+b=b+a.
故向量的加法满足交换律.
新知生成
1.向量加法的运算律
(1)向量加法的交换律:a+b=b+a对任意两个向量a,b成立.
(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 对任意三个向量a,b,c成立.
2.零向量的加法性质
对任意向量a有a+0=　0+a=a　.
新知运用
例3　化简:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【解析】　(1)(法一)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(法二)(+)+(+)=+(++)=+0=.
(2)++++=(+)+(++)=+=0.
【方法总结】　　多个向量求和的原则:利用代数方法,通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【解析】　(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++
=++=+=0.
【随堂检测】
1.在正六边形ABCDEF中,++=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.0
【答案】　D
【解析】　如图,连接AD,BE,设AD与BE交于点O,
则=,=,
所以++=++=+=0.
故选D.
2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(　　).
A.2 B.4 C.12 D.6
【答案】　B
【解析】　∵+=,∴|++|=2||=2=4.
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是(　　).
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在的直线上
D.点P在△ABC的外部
【答案】　D
【解析】　
如图,∵+=,∴根据平行四边形法则可知,点P在△ABC的外部.
4.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且+=0.求证:+=+.
【解析】　因为=+,=+,所以+=+++.
又因为+=0,所以+=+.
21.2 课时1 向量的加法运算及其几何意义
【学习目标】
1.掌握向量的加法运算,能够运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.(直观想象、数学运算)
2.掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
　　有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力F1,F2的大小分别是|F1|=3000 N,|F2|=2000 N,牵引绳之间的夹角θ=60°(如图),如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
1.上述情境体现了向量的什么运算
2.向量加法运算常用什么法则
3.向量的加法运算结果还是向量吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a.(　　)
(4)=++. (　　)
2.化简++=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.已知向量a表示“向东航行3 km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示　　　　.
【合作探究】
探究1 三角形法则
问题1:如图,某人从点A走到点B,再从点B按原方向走到点C,两次位移的和是什么
问题2:如图,若上题改为从点A走到点B,再从点B按反方向走到点C,两次位移的和是什么
问题3:如图,某车从点A行驶到点B,再从点B改变方向行驶到点C,则两次位移的和是什么
问题4:两个位移求和实际上是什么量求和
新知生成
已知两个非零向量a,b,在平面上任取一点O,分别作=a,=b,则定义从O到B的向量为a,b的和,记作a+b,即a+b=+=.
1.向量加法的定义
求向量和的运算称为向量的加法.
2.向量加法的三角形法则
将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则,叫作向量加法的三角形法则.
特别提醒:向量求和的多边形法则
①已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则.即+++…++=.
②首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.
新知运用
例1　如图,已知向量a,b,利用三角形法则求作向量a+b.
方法指导　用三角形法则画图.
【方法总结】　　应用三角形法则求向量和的基本步骤:①平移向量使之“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合;②以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点作出的向量,即为两个向量的和.
如图所示,求作向量a+b+c.
探究2 平行四边形法则
　　
问题1:在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处(如图).它的实际位移是由哪些位移合成的
问题2:向量加法的三角形法则和平行四边形法则有什么相同点和不同点
新知生成
平行四边形法则
从同一点O出发作有向线段=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线就是a与b的和,即=a+b.
记忆秘诀:起点相同,对角线为和.
新知运用
例2　如图,已知向量a,b,利用平行四边形法则求作向量a+b.
　　方法指导　用平行四边形法则画图.
【方法总结】　　利用平行四边形法则求向量和的步骤:(1)把两个已知向量的始点平移到同一点;(2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形;(3)对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和.
如图所示,在正六边形OABCDE中,若=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来.
探究3 加法运算律与零向量的加法性质
　　实数的加法满足交换律,向量的加法是否也满足呢
问题:根据图中的平行四边形ABCD,验证向量的加法是否满足交换律.(注:=a,=b)
新知生成
1.向量加法的运算律
(1)向量加法的交换律:a+b=b+a对任意两个向量a,b成立.
(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 对任意三个向量a,b,c成立.
2.零向量的加法性质
对任意向量a有a+0=　0+a=a　.
新知运用
例3　化简:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【方法总结】　　多个向量求和的原则:利用代数方法,通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【随堂检测】
1.在正六边形ABCDEF中,++=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.0
2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(　　).
A.2 B.4 C.12 D.6
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是(　　).
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在的直线上
D.点P在△ABC的外部
4.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且+=0.求证:+=+.
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