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1.2 课时2 向量的减法运算
【学习目标】
1.掌握向量的减法运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.(直观想象、数学运算)
2.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(数学运算)
【自主预习】
1.方向相同且模相等的两个向量称为什么向量 方向相反且模相等的两个向量称为什么向量
2.零向量的相反向量是什么
.
3.向量减法是向量加法的逆运算吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量与是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)两个相等向量之差等于0. (　　)
2.化简-++等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(多选题)下列各向量运算的结果与相等的有(　　).
A.+ B.-
C.- D.-
【合作探究】
探究1 向量的减法
　　如图所示,已知向量a,b.
问题1:根据向量的加法,如何求作a-b
问题2:不借助向量的加法法则,你能直接作出a-b吗
问题3:在什么条件下,|a-b|=|a|+|b|
新知生成
1.向量的减法
已知两个向量a,b,求x满足a+x=b,这样的运算叫作向量的减法,记为x=b-a,x称为b与a之差.
2.向量的减法法则
减去一个向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).
3.位置向量
任取一定点O,从O分别观测A,B两点的方向和距离,则点A,B的位置由点O分别到A,B的两个向量,唯一表示,,分别称为点A,B的位置向量,也即分别代表了A,B两点的位置.
4.等式=-的物理意义
位置的改变量=终点位置-起点位置.
新知运用
一、向量减法的几何意义
例1　如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
方法指导　利用几何意义法与定义法作出a+b-c.
【方法总结】　　求作两个向量的差的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两个向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
二、向量减法的运算
例2　化简下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)++--.
方法指导　利用相反向量的概念调整向量的起点和终点,结合向量的加减法法则进行化简.
【方法总结】　　向量的加减运算主要有两种解法:一是直接利用向量的加减运算法则;二是引入点O,将各向量统一用,,,等表示进行化简.
1.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.
①;②; ③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
2.化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
探究2 向量加减法的综合运用
问题:以向量加法的平行四边形法则为基础,能否构造一个图形将a+b和a-b放在这个图形中
新知生成
已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
新知运用
例3　(1)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
(2)已知||=6,||=9,则|-|的取值范围是　　　　.
【变式探究】
1.若本例(2)的条件不变,求|+|的取值范围.
2.将本例(2)中的条件“||=9”改为“||=9”,求||的取值范围.
【方法总结】　　用向量法解决平面几何问题的步骤:(1)将平面几何问题中的量抽象成向量;(2)化归为向量问题,进行向量运算;(3)将向量问题还原为平面几何问题.
若||=8,||=5,则||的取值范围是(　　).
A.[3,8] B.[0,8)
C.[3,13] D.(3,13)
【随堂检测】
1.在平行四边形ABCD中,-=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则(　　).
A.=0
B.=0或=0
C.四边形ABCD是矩形
D.四边形ABCD是菱形
3.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=(　　).
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
4.在边长为1的等边△ABC中,|-|的值为(　　).
A.1 B.2 C. D.
21.2 课时2 向量的减法运算
【学习目标】
1.掌握向量的减法运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.(直观想象、数学运算)
2.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(数学运算)
【自主预习】
1.方向相同且模相等的两个向量称为什么向量 方向相反且模相等的两个向量称为什么向量
【答案】　方向相同且模相等的两个向量称为相等向量.方向相反且模相等的两个向量称为相反向量.
2.零向量的相反向量是什么
【答案】　零向量的相反向量仍是零向量.
3.向量减法是向量加法的逆运算吗
【答案】　是.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量与是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)两个相等向量之差等于0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.化简-++等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　原式=(+)+(+)=+0=.
3.(多选题)下列各向量运算的结果与相等的有(　　).
A.+ B.-
C.- D.-
【答案】　AD
【解析】　由题意知,A,D正确.
【合作探究】
探究1 向量的减法
　　如图所示,已知向量a,b.
问题1:根据向量的加法,如何求作a-b
【答案】　先作出-b,再按三角形法则或平行四边形法则作出a+(-b).
问题2:不借助向量的加法法则,你能直接作出a-b吗
【答案】　
能.如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向a的终点的向量.
问题3:在什么条件下,|a-b|=|a|+|b|
【答案】　当a,b至少有一者为0或a,b均为非零向量且反向时成立.
新知生成
1.向量的减法
已知两个向量a,b,求x满足a+x=b,这样的运算叫作向量的减法,记为x=b-a,x称为b与a之差.
2.向量的减法法则
减去一个向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).
3.位置向量
任取一定点O,从O分别观测A,B两点的方向和距离,则点A,B的位置由点O分别到A,B的两个向量,唯一表示,,分别称为点A,B的位置向量,也即分别代表了A,B两点的位置.
4.等式=-的物理意义
位置的改变量=终点位置-起点位置.
新知运用
一、向量减法的几何意义
例1　如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
方法指导　利用几何意义法与定义法作出a+b-c.
【解析】　(法一:几何意义法)如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
(法二:定义法)如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=-c,连接OC,则=a+b-c.
【方法总结】　　求作两个向量的差的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两个向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
【解析】　(法一)以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,=-=b+c-a.
(法二)作==b,
连接AD,则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
二、向量减法的运算
例2　化简下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)++--.
方法指导　利用相反向量的概念调整向量的起点和终点,结合向量的加减法法则进行化简.
【解析】(1)(法一)
(-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0.
(法二)(-)-(-)=--+
=(-)+(-)=+=0.
(法三)设O为平面内任意一点,连接OA,OB,OC,OD,
则(-)-(-)=--+
=(-)-(-)-(-)+(-)
=--+-++-=0.
(2)(法一)++--=++++=(++)+(+)=0+=.
(法二)在平面内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,
则++--
=(-)+(-)+(-)-(-)-(-)
=-+-+--+-+
=-=.
【方法总结】　　向量的加减运算主要有两种解法:一是直接利用向量的加减运算法则;二是引入点O,将各向量统一用,,,等表示进行化简.
1.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.
①;②; ③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
【答案】　①
【解析】　-+=+=.
+=+=≠;
-=≠;
+=≠.
2.化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
【解析】　(1)(-)-(-)
=-=.
(2)(++)-(--)
=+-+(+)
=+-+
=-+
=+(+)
=+=0.
探究2 向量加减法的综合运用
问题:以向量加法的平行四边形法则为基础,能否构造一个图形将a+b和a-b放在这个图形中
【答案】　
如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,则a+b=,a-b=.
新知生成
已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
新知运用
例3　(1)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
(2)已知||=6,||=9,则|-|的取值范围是　　　　.
【答案】　(1)B　(2)[3,15]
【解析】　(1)∵=,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵|-|=|-|,∴||=||,∴四边形ABCD为矩形.
(2)∵|||-|||≤|-|≤||+||,且||=9,||=6,∴3≤|-|≤15.
当与同向时,|-|=3;
当与反向时,|-|=15.
∴|-|的取值范围为[3,15].
【变式探究】
1.若本例(2)的条件不变,求|+|的取值范围.
【解析】　∵|||-|||≤|+|≤||+||,且||=6,||=9,∴3≤|+|≤15.
当与同向时,|+|=15;
当与反向时,|+|=3.
∴|+|的取值范围为[3,15].
2.将本例(2)中的条件“||=9”改为“||=9”,求||的取值范围.
【解析】　∵=-,且||=||=6,||=9,又∵|||-|||≤|-|≤||+||,
∴3≤||≤15.
当与同向时,||=3;
当与反向时,||=15.
∴||的取值范围为[3,15].
【方法总结】　　用向量法解决平面几何问题的步骤:(1)将平面几何问题中的量抽象成向量;(2)化归为向量问题,进行向量运算;(3)将向量问题还原为平面几何问题.
若||=8,||=5,则||的取值范围是(　　).
A.[3,8] B.[0,8)
C.[3,13] D.(3,13)
【答案】　C
【解析】　=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,||=8+5=13;当AB,AC不在同一条直线上时,3<||<13.故选C.
【随堂检测】
1.在平行四边形ABCD中,-=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　-==.
2.在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则(　　).
A.=0
B.=0或=0
C.四边形ABCD是矩形
D.四边形ABCD是菱形
【答案】　C
【解析】　∵+与-分别是平行四边形ABCD的两条对角线,且|+|=|-|,∴四边形ABCD是矩形.
3.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=(　　).
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
【答案】　A
【解析】　=++=a-b+c.
4.在边长为1的等边△ABC中,|-|的值为(　　).
A.1 B.2 C. D.
【答案】　D
【解析】　如图,作菱形ABCD,
则|-|=|-|=||=.
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