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1.3 课时1 向量的实数倍与共线向量
【学习目标】
1.掌握向量数乘运算及其几何意义,掌握向量数乘运算的运算律,能熟练地进行向量数乘运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握平行向量的条件,会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.实数与向量相乘结果是实数还是向量
2.非零向量a与向量b共线的充要条件是什么
3.按照向量夹角的定义,如图所示,∠BAC是向量与的夹角吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa. (　　)
(2)若b=λa,则a与b共线. (　　)
(3)对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反. (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论错误的是(　　).
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
3.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
【合作探究】
探究1 向量的实数倍
　　一物体做匀速直线运动,1秒钟的位移对应的向量为a,在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3a吗 在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少
问题1:物体的位移是多少
问题2:向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系
问题3:λa的几何意义是什么
新知生成
1.向量的数乘
一般地,实数λ与向量a的乘积是一个　向量　,记作　λa　,称为a的λ倍,它的长度|λa|=　|λ||a|　.
当λ≠0且a≠0时,λa的方向:
当λ>0时,与a的方向　相同　;
当λ<0时,与a的方向　相反　;
当λ=0或a=0时,λa=0a=0或λa=λ0=0.
求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.
2.向量的线性运算
把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.
新知运用
例1　已知点C在线段AB上,且=,则等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
【方法总结】　　(1)数乘向量λa中,实数λ称为向量a的系数.
(2)实数与向量积的运算,结果仍是一个向量,它可以看成实数与实数积的定义的推广,但不能进行加减运算,如λ+a,λ-a均无意义.
(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题.
下列各式中不表示向量的是(　　).
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.e(x,y∈R,且x≠y)
探究2　共线向量
　　如图,在平行四边形ABCD中,E为DC的中点.
问题1:AB与DE的关系是什么
问题2:与,与是否共线
问题3:若G为线段CD上任意一点,是否存在λ∈R满足=λ
新知生成
1.向量共线
当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,记作a∥b.
规定:零向量与所有的向量平行.
2.共线向量定理
两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.
即:a∥b 存在实数λ,使得b=λa或a=λb.
新知运用
例2　设A,B,C,D中的任何三个点不共线,用向量语言描述下列几何图形的特征.
　　(1)四边形ABCD是平行四边形;
(2)在梯形ABCD中,上底AD长是下底BC长的一半.
根据下列条件,分别判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
(1)=;
(2)=;
(3)=,且||=||.
探究3　向量的夹角
问题1:如图所示, 在△OAB中,OA⊥AB,向量c与向量a是否共线 向量a和向量b相等吗 它们之间形成了怎样的特殊关系 特殊之处是什么
问题2:平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在夹角吗 若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗
新知生成
向量的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作,取值范围规定为[0,π].
当θ=0时,a,b方向相同;
当θ=π时,a,b方向相反;
当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b.
可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为,零向量与任一向量垂直.
新知运用
例3　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4.
(1)求向量a,b的夹角;
(2)求向量a与a+b夹角的余弦值.
【方法总结】　　求夹角要分清哪个是向量的夹角,按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角.
已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=　　　　.
【随堂检测】
1.已知λ,μ∈R,则在下列各命题中,真命题的个数为(　　).
①当λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反;
②当λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同;
③当λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同;
④当λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相反.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若|a|=5,|b|=7,且 a 与 b 的方向相反,则 a=(　　).
A.b B.-b C.b D.-b
3.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上靠近点B的一个三等分点,那么=(　　).
A.-
B.+
C.+
D.-
4.同一平面内的三个单位向量a,b,c两两夹角都是,则a-c与a+b的夹角为　　　　.
21.3 课时1 向量的实数倍与共线向量
【学习目标】
1.掌握向量数乘运算及其几何意义,掌握向量数乘运算的运算律,能熟练地进行向量数乘运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握平行向量的条件,会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.实数与向量相乘结果是实数还是向量
【答案】　是向量.
2.非零向量a与向量b共线的充要条件是什么
【答案】　存在唯一实数λ,使b=λa.
3.按照向量夹角的定义,如图所示,∠BAC是向量与的夹角吗
【答案】　∠BAC不是向量与的夹角.如图,作=,∠BAD才是向量与的夹角.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa. (　　)
(2)若b=λa,则a与b共线. (　　)
(3)对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反. (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论错误的是(　　).
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
【答案】　ABD　
【解析】　当λ取负数时,a与-λa的方向是相同的,选项A错误;当|λ|<1时,|-λa|≥|a|不成立,选项B错误;因为λ≠0,所以λ2一定是正数,故a与λ2a的方向相同,选项C正确.|-λa|表示一个数,|λ|a表示一个向量,不可能相等,选项D错误.故选ABD.
3.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
【答案】　C
【解析】　因为M是BC的中点,所以=(a+b).
【合作探究】
探究1 向量的实数倍
　　一物体做匀速直线运动,1秒钟的位移对应的向量为a,在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3a吗 在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少
问题1:物体的位移是多少
【答案】　类比数的运算,前进3秒钟的位移是3a,反向运动3秒钟的位移是-3a.
问题2:向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系
【答案】　3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.
问题3:λa的几何意义是什么
【答案】　λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|>1时,表示a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍.
新知生成
1.向量的数乘
一般地,实数λ与向量a的乘积是一个　向量　,记作　λa　,称为a的λ倍,它的长度|λa|=　|λ||a|　.
当λ≠0且a≠0时,λa的方向:
当λ>0时,与a的方向　相同　;
当λ<0时,与a的方向　相反　;
当λ=0或a=0时,λa=0a=0或λa=λ0=0.
求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.
2.向量的线性运算
把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.
新知运用
例1　已知点C在线段AB上,且=,则等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
【答案】　D
【解析】　∵=,∴=-,∴=-.
故选D.
【方法总结】　　(1)数乘向量λa中,实数λ称为向量a的系数.
(2)实数与向量积的运算,结果仍是一个向量,它可以看成实数与实数积的定义的推广,但不能进行加减运算,如λ+a,λ-a均无意义.
(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题.
下列各式中不表示向量的是(　　).
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.e(x,y∈R,且x≠y)
【答案】　C
【解析】　向量的数乘运算结果均为向量,显然只有|3a|不是向量.
探究2　共线向量
　　如图,在平行四边形ABCD中,E为DC的中点.
问题1:AB与DE的关系是什么
【答案】　AB∥DE且AB=2DE.
问题2:与,与是否共线
【答案】　共线.
问题3:若G为线段CD上任意一点,是否存在λ∈R满足=λ
【答案】　存在.
新知生成
1.向量共线
当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,记作a∥b.
规定:零向量与所有的向量平行.
2.共线向量定理
两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.
即:a∥b 存在实数λ,使得b=λa或a=λb.
新知运用
例2　设A,B,C,D中的任何三个点不共线,用向量语言描述下列几何图形的特征.
　　(1)四边形ABCD是平行四边形;
(2)在梯形ABCD中,上底AD长是下底BC长的一半.
【解析】　由共线(平行)向量基本定理,得:
(1)=且=(如图①).
(2)=(如图②).
根据下列条件,分别判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
(1)=;
(2)=;
(3)=,且||=||.
【解析】　(1)∵=,∴AD∥BC,AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵=,
∴AD∥BC,AD≠BC.
∴四边形ABCD是梯形.
(3)∵=,且||=||,
∴四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形.
即四边形ABCD是菱形.
探究3　向量的夹角
问题1:如图所示, 在△OAB中,OA⊥AB,向量c与向量a是否共线 向量a和向量b相等吗 它们之间形成了怎样的特殊关系 特殊之处是什么
【答案】　图中向量c与向量a不共线,向量a和向量b不相等,因为OA⊥AB,所以向量a和向量b垂直,特殊之处在于向量a和向量b所成的角是90°.
问题2:平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在夹角吗 若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗
【答案】　存在夹角,不一样.
新知生成
向量的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作,取值范围规定为[0,π].
当θ=0时,a,b方向相同;
当θ=π时,a,b方向相反;
当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b.
可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为,零向量与任一向量垂直.
新知运用
例3　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4.
(1)求向量a,b的夹角;
(2)求向量a与a+b夹角的余弦值.
【解析】　
(1)如图所示,设=a,=b,
则||=|a-b|,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,
由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=||2,
所以△OAB是直角三角形,所以∠AOB=90°,即向量a,b的夹角为90°.
(2)由(1)知OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形,向量a与a+b夹角为∠AOC,
在Rt△AOC中,cos∠AOC===,
　　故向量a与a+b夹角的余弦值为.
【方法总结】　　求夹角要分清哪个是向量的夹角,按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角.
已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=　　　　.
【答案】　30°
【解析】　
构造如图所示的平行四边形OABC,=a,=a+b,则=b,=a-b,则△AOC为正三角形,故∠COA=60°,又OB平分∠COA,则∠AOB=30°.
【随堂检测】
1.已知λ,μ∈R,则在下列各命题中,真命题的个数为(　　).
①当λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反;
②当λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同;
③当λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同;
④当λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相反.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　D
【解析】　由λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②为真命题.对于命题③④,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向;当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向.故③④为真命题.
2.若|a|=5,|b|=7,且 a 与 b 的方向相反,则 a=(　　).
A.b B.-b C.b D.-b
【答案】　B
【解析】　∵a与b反向,∴a=λb(λ<0),∴|a|=-λ|b|,即-7λ=5,解得λ=-,
∴a=-b.故选B.
3.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上靠近点B的一个三等分点,那么=(　　).
A.-
B.+
C.+
D.-
【答案】　D
【解析】　=+=+=-.
4.同一平面内的三个单位向量a,b,c两两夹角都是,则a-c与a+b的夹角为　　　　.
【答案】　
【解析】　
如图,作=a,=b,=c,则∠AOB=∠BOC=∠AOC=,
=a+b,=a-c,将平移至,则∠ACO就是a-c与a+b的夹角.
在△ACO中,∠AOC=,又||=||=1,所以∠ACO=.
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