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1.3 课时2 共线向量的运算与数乘运算律
【学习目标】
1.掌握共线向量的运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握向量的数乘运算律,并能进行有关的计算.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　一重物从高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为|v1|=9.8 m/s和|v2|=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下的.
1.上述问题反映了向量的何种运算呢 v1与v2是否共线
【答案】　向量的数乘运算,共线.
2.向量数乘运算满足结合律、分配律吗
【答案】　满足.
3.什么是单位向量 把所有单位向量的起点移到同一点,终点构成的图形是什么
【答案】　长度为1的向量称为单位向量.把所有单位向量的起点移到同一点,终点构成的图形是圆.
1.下列运算正确的个数是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　C
【解析】　根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
2.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【答案】　10a
【解析】　4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
3.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　.
【答案】　4b-3a
【解析】　由已知,得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,
所以x=4b-3a.
【合作探究】
探究1 共线向量的运算
　　在四边形ABCD中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.
问题1:如何判断四边形ABCD的形状
【答案】　∵=++=a+2b-4a-b-5a-3b=2,
由向量共线的定义知AD∥BC,且AD≠BC,∴四边形ABCD为梯形.
问题2:若b=2a,则b与a共线吗
【答案】　根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线.
问题3:若b与非零向量a共线,则是否存在λ满足b=λa 若b与向量a共线呢
【答案】　若b与非零向量a共线,则存在λ满足b=λa;若b与向量a共线,当a=0,b≠0时,不存在λ满足b=λa.
新知生成
1.单位向量
把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a.
2.共线向量的运算
一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致.
新知运用
例1　已知e1,e2是两个不共线的向量,若=e1-4e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:A,B,D三点共线.
方法指导　先表示出和,证明=λ,然后根据向量共线定理证A,B,D三点共线.
【解析】　∵=e1+3e2,=2e1-e2,∴=-=e1-4e2.
又=e1-4e2,∴=,∴∥.
∵AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.
【方法总结】　　证明或判断三点共线的方法:(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y,且x+y=1.
对于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共线的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【答案】　A
【解析】　①中b=-a,则a,b共线;②中b=-2a,则a,b共线;③中a=4b,则a,b共线.故选A.
探究2　向量数乘的运算律
　　已知向量a,有以下三个结论:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
问题:请通过作图判断以上结论是否成立
【答案】　各式均是成立的(如图).
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
新知生成
数乘运算律
一般地,设a,b是任意向量,x,y是任意实数,则以下运算律成立:
(1)对实数加法的分配律:(x+y)a=　xa+ya　;
(2)对实数乘法的结合律:x(ya)=　(xy)a　;
(3)对向量加法的分配律:x(a+b)=　xa+xb　.
新知运用
一、向量的线性运算
例2　化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【解析】　原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=(6-4+10+1)a+(1-15+7)b=13a-7b.
【方法总结】　　向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
化简:(1)-2;
(2).
【解析】　(1)原式=-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式==a+b
==a-b.
二、利用向量共线求参数值
例3　已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否平行;
(2)若a∥c,求x的值.
方法指导　利用共线向量基本定理可解决两类向量问题:(1)判定向量平行(先假设平行,用基本定理列方程,根据λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,其中e1,e2不共线,列实数方程组,求解);(2)已知向量求参数.
【解析】　(1)显然a为非零向量,若a∥b,则存在实数λ,使得b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n),
∴解得∴λ不存在,∴a与b不平行.
(2)∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra.
∴m+xn=r(3m+2n),
∴解得x=.
【方法总结】　　判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,解方程从而求得λ的值.
　　已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
【解析】　因为A,B,P三点共线,所以向量,在同一条直线上.由向量共线定理可知,必定存在实数λ,使=λ,
即-=λ(-),所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
【随堂检测】
1.已知a,b为非零不共线向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
【答案】　A
【解析】　因为=+=-2a+8b+3a-3b=a+5b=,所以A,B,D三点共线.
2.2(3a-2b)-3(a-b)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3a-b B.-b
C.9a-7b D.9a-b
【答案】　A
【解析】　2(3a-2b)-3(a-b)=6a-4b-3a+3b=3a-b.
3.若点M是△ABC所在平面内的一点,满足=+,则=(　　).
A. B.4 C. D.3
【答案】　C
【解析】　∵=+=(+)+(+)=++,
∴+=0,∴=.
故选C.
4.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k=　　　　.
【答案】　-
【解析】　因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,
又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以解得k=-,λ=.
21.3 课时2 共线向量的运算与数乘运算律
【学习目标】
1.掌握共线向量的运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握向量的数乘运算律,并能进行有关的计算.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　一重物从高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为|v1|=9.8 m/s和|v2|=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下的.
1.上述问题反映了向量的何种运算呢 v1与v2是否共线
2.向量数乘运算满足结合律、分配律吗
3.什么是单位向量 把所有单位向量的起点移到同一点,终点构成的图形是什么
1.下列运算正确的个数是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【解析】　4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
3.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　.
【合作探究】
探究1 共线向量的运算
　　在四边形ABCD中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.
问题1:如何判断四边形ABCD的形状
问题2:若b=2a,则b与a共线吗
问题3:若b与非零向量a共线,则是否存在λ满足b=λa 若b与向量a共线呢
新知生成
1.单位向量
把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a.
2.共线向量的运算
一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致.
新知运用
例1　已知e1,e2是两个不共线的向量,若=e1-4e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:A,B,D三点共线.
方法指导　先表示出和,证明=λ,然后根据向量共线定理证A,B,D三点共线.
【方法总结】　　证明或判断三点共线的方法:(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y,且x+y=1.
对于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共线的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
探究2　向量数乘的运算律
　　已知向量a,有以下三个结论:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
问题:请通过作图判断以上结论是否成立
新知生成
数乘运算律
一般地,设a,b是任意向量,x,y是任意实数,则以下运算律成立:
(1)对实数加法的分配律:(x+y)a=　xa+ya　;
(2)对实数乘法的结合律:x(ya)=　(xy)a　;
(3)对向量加法的分配律:x(a+b)=　xa+xb　.
新知运用
一、向量的线性运算
例2　化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【方法总结】　　向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
化简:(1)-2;
(2).
【解析】　(1)原式=-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式==a+b
==a-b.
二、利用向量共线求参数值
例3　已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否平行;
(2)若a∥c,求x的值.
方法指导　利用共线向量基本定理可解决两类向量问题:(1)判定向量平行(先假设平行,用基本定理列方程,根据λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,其中e1,e2不共线,列实数方程组,求解);(2)已知向量求参数.
【方法总结】　　判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,解方程从而求得λ的值.
　　已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
【随堂检测】
1.已知a,b为非零不共线向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
2.2(3a-2b)-3(a-b)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3a-b B.-b
C.9a-7b D.9a-b
3.若点M是△ABC所在平面内的一点,满足=+,则=(　　).
A. B.4 C. D.3
4.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k=　　　　.
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