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1.4 课时1 向量的分解及坐标表示
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象)
2.会用基表示平面向量.(数学抽象、逻辑推理)
3.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示 依据是什么
2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示 为什么
3.零向量能否作为基中的向量 为什么
4.设单位向量e1,e2的夹角=90°,非零向量v的模|v|=r,且=α,则v在{e1,e2}下的坐标是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基. (　　)
(2){0,e}可以作为基. (　　)
(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的. (　　)
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量. (　　)
2.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是该平面的一个基
C.对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共线,则对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
3.(多选题)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列向量组中可作为该平面其他向量基的是(　　).
A.与 B.与
C.与 D.与
4.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为　　　　.
【合作探究】
探究1 平面向量基本定理　
　　如图(1),设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.
　　问题1:上图中将a按e1, e2的方向分解,你有什么发现
问题2:若向量a与e1或e2共线,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题3:当a是零向量时,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题4:设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
新知生成
1.平面向量基本定理:设e1,e2是平面上两个不共线向量,则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数.
(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定,也就是若v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'.
2.基与坐标:我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.
新知运用
一、对基的理解
例1　(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,能作为基的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
【方法总结】　　考查两个向量是否能构成基,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来.
若向量a,b不共线,则c=2a-b,d=3a-2b,试判断{c,d}能否作为基.
二、用基表示向量
例2　
如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,且=,BN与CM相交于点E,设=a,=b,求在基{a,b}下的坐标.
方法指导　用基表示平面向量,首先要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,然后根据坐标定义求解.
【方法总结】　　将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化,直至能用基表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解.
如图所示,在 ABCD中,E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若=a,=b,求,在基{a,b}下的坐标.
探究2　平面向量的正交分解与坐标表示
　　卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度.
问题1:如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢
问题2:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示,那么如何表示坐标平面内的一个向量呢
新知生成
1.向量正交分解
把一个向量分解为两个互相　垂直　的向量,叫作把向量正交分解.
2.标准正交基
平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}.
3.设单位向量e1,e2的夹角=90°,非零向量v的模|v|=r且=α,则v=(rcos α,rsin α).
新知运用
例3　
如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求点B的坐标.
【方法总结】　　求点、向量坐标的常用方法
(1)求点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
　　(2)求向量的坐标:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
　　如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标.
【随堂检测】
1.(多选题)下列说法正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
2.若k1a+k2b=0,则k1=k2=0,那么下面对a,b的判断正确的是(　　).
A.a与b一定共线 B.a与b一定不共线
C.a与b一定垂直 D.a与b中至少有一个为0
3.
如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基,则=　　　　,=　　　　.
　
4.在△OAB中,延长BA到点C,使得AC=BA,在OB上取点D,使得=,DC与OA交于点E,设=a,=b,用a,b表示向量及向量.
21.4 课时1 向量的分解及坐标表示
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象)
2.会用基表示平面向量.(数学抽象、逻辑推理)
3.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示 依据是什么
【答案】　能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示 为什么
【答案】　不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
3.零向量能否作为基中的向量 为什么
【答案】　不能,因为零向量与任何向量都是共线的.
4.设单位向量e1,e2的夹角=90°,非零向量v的模|v|=r,且=α,则v在{e1,e2}下的坐标是什么
【答案】　v=(rcos α,rsin α).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基. (　　)
(2){0,e}可以作为基. (　　)
(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的. (　　)
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是该平面的一个基
C.对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共线,则对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
【答案】　D
【解析】　D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确.
3.(多选题)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列向量组中可作为该平面其他向量基的是(　　).
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】　AC
【解析】　基中的向量不共线,故A,C正确.
4.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为　　　　.
【答案】　3
【解析】　∵e1,e2不共线,∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
【合作探究】
探究1 平面向量基本定理　
　　如图(1),设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.
　　问题1:上图中将a按e1, e2的方向分解,你有什么发现
【答案】　如图,a==+=λ1e1+λ2e2.
问题2:若向量a与e1或e2共线,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
【答案】　能,当向量a与e1共线时,a=λ1e1+0e2;
当向量a与e2共线时,a=0e1+λ2e2.
问题3:当a是零向量时,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
【答案】　能,a=0e1+0e2.
问题4:设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
【答案】　假设a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,所以λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,即λ1=μ1,且λ2=μ2,所以λ1,λ2唯一.
新知生成
1.平面向量基本定理:设e1,e2是平面上两个不共线向量,则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数.
(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定,也就是若v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'.
2.基与坐标:我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.
新知运用
一、对基的理解
例1　(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,能作为基的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
【答案】　ACD
【解析】　选项B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,∴不能作为基;
选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基.
【方法总结】　　考查两个向量是否能构成基,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来.
若向量a,b不共线,则c=2a-b,d=3a-2b,试判断{c,d}能否作为基.
【解析】　设存在实数λ,使c=λd,
则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,
因为向量a,b不共线,所以2-3λ=2λ-1=0,这样的λ是不存在的,
所以c,d不共线,故{c,d}能作为基.
二、用基表示向量
例2　
如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,且=,BN与CM相交于点E,设=a,=b,求在基{a,b}下的坐标.
方法指导　用基表示平面向量,首先要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,然后根据坐标定义求解.
【解析】　易得==b,==a,
由N,E,B三点共线知存在实数m,
满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.
由C,E,M三点共线知存在实数n,
满足=n+(1-n)=na+(1-n)b,
所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b,
因为{a,b}为基,所以解得
　　所以=a+b,在基{a,b}下的坐标为.
【方法总结】　　将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化,直至能用基表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解.
如图所示,在 ABCD中,E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若=a,=b,求,在基{a,b}下的坐标.
【解析】　因为=++
=-++
=-++=a-b,
所以在基{a,b}下的坐标为.
因为=++
=-++=b-a,
所以在基{a,b}下的坐标为.
探究2　平面向量的正交分解与坐标表示
　　卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度.
问题1:如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢
【答案】　将飞行速度分别向坐标轴投影,在xOy平面上分解为x,y轴上的向量即可.
问题2:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示,那么如何表示坐标平面内的一个向量呢
【答案】　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.
新知生成
1.向量正交分解
把一个向量分解为两个互相　垂直　的向量,叫作把向量正交分解.
2.标准正交基
平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}.
3.设单位向量e1,e2的夹角=90°,非零向量v的模|v|=r且=α,则v=(rcos α,rsin α).
新知运用
例3　
如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求点B的坐标.
【解析】　(1)如图,作AM⊥x轴于点M,
则OM=OA·cos 45°=4×=2,AM=OA·sin 45°=4×=2,
　　∴A(2,2),∴a=(2,2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3,
∴C,∴==,
即b=.
(2)∵=a+b
=(2,2)+
=,
∴点B的坐标为.
【方法总结】　　求点、向量坐标的常用方法
(1)求点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
　　(2)求向量的坐标:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
　　如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标.
【解析】　由题意知,B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.
设B(x1,y1),D(x2,y2),由三角函数的定义,得
x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,∴B,
x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=,
∴D,
∴=,=.
【随堂检测】
1.(多选题)下列说法正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
【答案】　ABD
【解析】　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故只有C错误.
2.若k1a+k2b=0,则k1=k2=0,那么下面对a,b的判断正确的是(　　).
A.a与b一定共线 B.a与b一定不共线
C.a与b一定垂直 D.a与b中至少有一个为0
【答案】　B
【解析】　由平面向量基本定理,可知当a,b不共线时,k1=k2=0,故选B.
3.
如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基,则=　　　　,=　　　　.
　　【答案】　e1+e2　e1+e2
【解析】　=+=+
=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=+=+
=+(e2-e1)=e1+e2.
4.在△OAB中,延长BA到点C,使得AC=BA,在OB上取点D,使得=,DC与OA交于点E,设=a,=b,用a,b表示向量及向量.
【解析】　∵A是BC的中点,∴=+=+2=+2(-)=2-=2a-b,=-=-=2a-b-b=2a-b.
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