资源简介

1.4 课时2 向量线性运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量加法、减法、一个实数与向量的积的坐标运算法则,能够进行向量的坐标运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握平面向量共线的坐标表示方法.(逻辑推理、数学运算)
3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.上节课我们学面向量的坐标表示,如果已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),想一想如何由a,b的坐标求a+b,a-b的坐标
.
2.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么如何表示平面直角坐标系内的一个向量呢
3.由于3a=a+a+a,如果a=(x,y),是否能得出3(x,y)=(3x,3y),对于任意的λ,都有λa=(λx,λy)成立吗
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是(　　).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
3.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　.
4.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.
【合作探究】
探究1 平面向量的坐标运算
　　设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题1:根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何分别用基i,j表示呢
问题2:向量加减运算可以类比数的运算进行吗
问题3:已知a=(x,y),你能得到λa的坐标吗
新知生成
1.两个向量坐标的和、差
两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.向量数乘运算的坐标表示
一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy).
3.向量坐标
在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1),即=(x2-x1,y2-y1).
新知运用
例1　已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
方法指导　先利用数乘向量的坐标运算,再利用向量坐标的加减运算.
【方法总结】　　 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
已知向量a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=　　　　,b=　　　　.
探究2 向量共线的坐标表示
　　设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数λ,使a=λb.
问题1:根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗
问题2:
如图所示,设P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足=λ,如何求点P的坐标
新知生成
(x1,y1)∥(x2,y2) x1y2-x2y1=0.
简记:纵横交错积相减.
新知运用
一、向量共线的判定与证明
例2　已知点A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
方法指导　此类题目应充分利用“若b=λa(a≠0),则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
【方法总结】　　向量共线的判定方法
二、已知平面向量共线求参数
例3　已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
方法指导　(1)可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;(2)可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
【方法总结】　　用向量平行的条件处理求值问题的思路:(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解;(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、向量运算的综合
例4　(1)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则2sin αcos α=　　　　.
(2)如图所示,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标是　　　　.
　　
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=　　　　.
【随堂检测】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),则=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
2.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量a+b=(　　).
A.(3,1) B.(3,3)
C.(0,-2) D.(2,2)
3.在∠A=90°的等腰直角△ABC中,E为AB的中点,F为BC的中点,=λ+μ,则λ=(　　).
A.- B.-
C.- D.-1
4.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　).
A.4 B.-4 C.- D.
21.4 课时2 向量线性运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量加法、减法、一个实数与向量的积的坐标运算法则,能够进行向量的坐标运算.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握平面向量共线的坐标表示方法.(逻辑推理、数学运算)
3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.上节课我们学面向量的坐标表示,如果已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),想一想如何由a,b的坐标求a+b,a-b的坐标
【答案】　可以通过坐标的加减求a+b,a-b的坐标.
2.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么如何表示平面直角坐标系内的一个向量呢
【答案】　在平面直角坐标系中,平面内的每一个向量都对应一对有序实数.
3.由于3a=a+a+a,如果a=(x,y),是否能得出3(x,y)=(3x,3y),对于任意的λ,都有λa=(λx,λy)成立吗
【答案】　是,成立.
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
【答案】　B
【解析】　由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是(　　).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
【答案】　C
【解析】　=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).
3.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　.
【答案】　(2,3)
【解析】　a+b+c=(-2+3+1,2-4+5)=(2,3).
4.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.
【解析】　(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+2b-3c=(3,2)+2(-1,2)-3(4,1)=(-11,3).
(2)由已知可得a+kc=(3,2)+k(4,1)=(4k+3,k+2),
2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-5,2).
因为(a+kc)∥(2b-a),所以2(4k+3)=-5(k+2),解得k=-.
【合作探究】
探究1 平面向量的坐标运算
　　设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题1:根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何分别用基i,j表示呢
【答案】　a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
问题2:向量加减运算可以类比数的运算进行吗
【答案】　向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行.
问题3:已知a=(x,y),你能得到λa的坐标吗
【答案】　能,因为a=(x,y),所以λa=λ(x,y)=(λx,λy),根据向量的坐标可得λa=(λx,λy).
新知生成
1.两个向量坐标的和、差
两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.向量数乘运算的坐标表示
一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy).
3.向量坐标
在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1),即=(x2-x1,y2-y1).
新知运用
例1　已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
方法指导　先利用数乘向量的坐标运算,再利用向量坐标的加减运算.
【解析】　(1) 2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
【方法总结】　　 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
已知向量a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=　　　　,b=　　　　.
【答案】　(3,5)　(-2,-2)
【解析】　由a+b=(1,3),a-b=(5,7),得2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),
所以b=(-2,-2).
探究2 向量共线的坐标表示
　　设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数λ,使a=λb.
问题1:根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗
【答案】　因为向量a与b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,用坐标表示为(x1,y1)=λ(x2,y2),即整理得x1y2-x2y1=0.
问题2:
如图所示,设P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足=λ,如何求点P的坐标
【答案】　设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即
当λ≠-1时,
则点P的坐标为.
特别地,①当λ=1时,点P的坐标为,这就是线段P1P2的中点坐标公式;②若λ<0,则点P在线段P1P2的延长线或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为.
新知生成
(x1,y1)∥(x2,y2) x1y2-x2y1=0.
简记:纵横交错积相减.
新知运用
一、向量共线的判定与证明
例2　已知点A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
方法指导　此类题目应充分利用“若b=λa(a≠0),则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
【解析】　=(0-2,4-1)=(-2,3),
=(5-1,-3-3)=(4,-6).
(法一)∵(-2)×(-6)=3×4,且(-2)×4<0,
∴与共线且方向相反.
(法二)∵=-2,∴与共线且方向相反.
【方法总结】　　向量共线的判定方法
二、已知平面向量共线求参数
例3　已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
方法指导　(1)可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;(2)可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
【解析】　(法一:共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
得解得因为λ=-<0,
所以ka+b与a-3b反向.
(法二:坐标法)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4).
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得k=-.
此时ka+b==-(a-3b),
所以当k=-时,ka+b与a-3b平行且反向.
【方法总结】　　用向量平行的条件处理求值问题的思路:(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解;(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、向量运算的综合
例4　(1)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则2sin αcos α=　　　　.
(2)如图所示,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标是　　　　.
【答案】　(1)-　(2)(3,3)
　　【解析】　(1)因为a∥b,所以cos α×1-(-2)×sin α=0,即cos α=-2sin α,tan α=-,所以2sin αcos α====-.
(2)设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=　　　　.
【答案】　(1)D　(2)-
【解析】　(1)非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,所以-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,所以m=.
(2)=-=(1-k,2k-2),=-=(1-2k,-3),
由题意可知,∥,所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=-(k=1舍去).
【随堂检测】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),则=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
【答案】　D
【解析】　=(-)=(-2,-2)=(-1,-1).故选D.
2.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量a+b=(　　).
A.(3,1) B.(3,3)
C.(0,-2) D.(2,2)
【答案】　A
【解析】　因为向量a=(3,2),b=(0,-1),所以a+b=(3,1).
3.在∠A=90°的等腰直角△ABC中,E为AB的中点,F为BC的中点,=λ+μ,则λ=(　　).
A.- B.-
C.- D.-1
【答案】　A
【解析】　
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),
则=(-2,2),λ+μ=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),
所以解得
故选A.
4.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　).
A.4 B.-4 C.- D.
【答案】　C
【解析】　因为A,B,C三点共线,所以∥,所以4k+1=0,即k=-.
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