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1.5 课时1 数量积的定义及计算
【学习目标】
1.掌握向量数量积的定义、公式及性质.(数学抽象)
2.理解向量的投影、向量的数量积的几何意义.(数学抽象、直观想象)
3.理解向量数量积的含义及其物理意义,体会向量数量积与向量投影的关系.(数学抽象)
4.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　小明在雪地里,用雪橇拉着妹妹玩耍,在他的拉力F的作用下,雪橇产生了一段位移s.
1.如何计算这个力所做的功
2.力做功的大小与哪些量有关
3.向量数量积的运算结果是什么
4.向量a在向量b上的投影向量与向量b是平行向量吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　)
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (　　)
(3)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　)
(4)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c. (　　)
2.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　).
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θ·e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
【合作探究】
探究1 数量积的定义
　　小明用纸片制作了一个边长为2的正△ABC,如图所示.
问题1:图中与的夹角是多少
问题2:仿照力做功的公式,如何计算·
问题3:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同
新知生成
1.数量积的定义
设a,b是任意两个向量,是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos为a与b的数量积.
2.数量积定义的理解
设=α(α∈[0,π]),由数量积的定义得a·b=0 |a|=0或|b|=0或cos α=0,即a·b=0 a⊥b.
新知运用
例1　已知正△ABC的边长为1,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
方法指导　找准向量的夹角,根据数量积的定义计算.
【方法总结】　　用定义法求平面向量的数量积,已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
设正△ABC的边长为,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a.
.
探究2　投影
　　如图,一束平行光线照射在线段AB上,在直线l上的投影如下.
问题1:图中的线段A1B1叫作什么
.
问题2:设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系
新知生成
1.投影向量
作向量=a,=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,则=+,其中与共线.我们把称为在方向上的投影向量,投影向量的长度||=||·|cos α|称为投影长.
2.数量积的几何意义
一般地,a与b的数量积等于a的长度　|a|　与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,或b的长度　|b|　与a在b方向上的投影　|a|cos α　的乘积.
3.向量b在a方向上的投影公式为|b|cos α=.
新知运用
例2　如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求在方向上的投影向量;
(3)求在方向上的投影长.
方法指导　根据数量积和投影向量的定义求解.
【方法总结】　　求一个向量在另一个向量上的投影向量时,关键是作出恰当的垂线,根据题意确定向量的模及两向量的夹角.
如图,A,B是☉C上的两点,若弦AB的长度为2,则·=　　　　;若向量在向量方向上的投影向量为,则与的夹角为　　　　.
探究3　数量积的运算律
　　小明学习了向量数量积的运算后,根据实数的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表:
运算律 实数乘法 平面向量数量积
交换律 ab=ba a·b=b·a
结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c)
(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)
分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c
　　问题1:表中这些结果正确吗
问题2:如何证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
新知生成
设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则下列运算律成立.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)与数乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
注意:多项式乘法的乘法公式在向量中也成立.
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
新知运用
一、数量积的运算
例3　(1)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+b)·(a-b).
(2)在△ABC中,已知AC=6,=2,·=4,求·.
方法指导　(1)根据向量数量积的定义、性质、运算律进行解答;(2)先由向量的线性运算求得,再结合向量数量积运算即可得解.
【方法总结】　　向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;(2)·.
二、向量的夹角与模
例4　已知|a|=2,|b|=1,a·b=.
(1)求(2a+b)·(a-b)的值;
(2)求2a+b与a-b夹角的余弦值.
【方法总结】　　(1)求模问题一般转化为求模的平方问题,常与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2求解.注意a·a=a2=|a|2或|a|=可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.
已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值;
(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.
【随堂检测】
1.已知单位向量a,b的夹角为60°,则a·b=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.-
2.若|a|=4,|b|=2,向量a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影长为(　　).
A.2 B. C.2 D.4
3.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影向量是4e(e是b方向上的单位向量),则a·b=　　　　.
4.已知向量a与b的夹角θ=,且|a|=3,|b|=2.
(1)求|a+b|;
(2)求向量a与a+b夹角的余弦值.
21.5 课时1 数量积的定义及计算
【学习目标】
1.掌握向量数量积的定义、公式及性质.(数学抽象)
2.理解向量的投影、向量的数量积的几何意义.(数学抽象、直观想象)
3.理解向量数量积的含义及其物理意义,体会向量数量积与向量投影的关系.(数学抽象)
4.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　小明在雪地里,用雪橇拉着妹妹玩耍,在他的拉力F的作用下,雪橇产生了一段位移s.
1.如何计算这个力所做的功
【答案】　W=|F||s|cos θ.
2.力做功的大小与哪些量有关
【答案】　与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
3.向量数量积的运算结果是什么
【答案】　向量数量积的运算结果是实数.
4.向量a在向量b上的投影向量与向量b是平行向量吗
【答案】　是.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　)
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (　　)
(3)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　)
(4)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】　B
【解析】　因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.
3.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　).
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θ·e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
【答案】　ABC
【解析】　因为两个单位向量e1,e2的夹角为θ,
所以|e1|=|e2|=1,则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θ·e2=cos θ·e2,故A正确;
==1,故B正确;
(e1+e2)·(e1-e2)=-=0,
故(e1+e2)⊥(e1-e2),故C正确;
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故D错误.
【合作探究】
探究1 数量积的定义
　　小明用纸片制作了一个边长为2的正△ABC,如图所示.
问题1:图中与的夹角是多少
【答案】　与的夹角是∠ABC的补角,而∠ABC=60°,故与的夹角为120°.
问题2:仿照力做功的公式,如何计算·
【答案】　根据力做功的公式,得·=||·||·cos∠BAC=2×2×cos 60°=2.
问题3:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同
【答案】　数量积的运算结果是实数,线性运算的结果是向量.
新知生成
1.数量积的定义
设a,b是任意两个向量,是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos为a与b的数量积.
2.数量积定义的理解
设=α(α∈[0,π]),由数量积的定义得a·b=0 |a|=0或|b|=0或cos α=0,即a·b=0 a⊥b.
新知运用
例1　已知正△ABC的边长为1,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
方法指导　找准向量的夹角,根据数量积的定义计算.
【解析】　(1)∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)∵与的夹角为120°,
∴·=||||cos 120°=1×1×=-.
(3)∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
【方法总结】　　用定义法求平面向量的数量积,已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
设正△ABC的边长为,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a.
【解析】　∵|a|=|b|=|c|=,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,
∴a·b+b·c+c·a=××cos 120°×3=-3.
探究2　投影
　　如图,一束平行光线照射在线段AB上,在直线l上的投影如下.
问题1:图中的线段A1B1叫作什么
【答案】　线段A1B1叫作线段AB在直线l上的投影线段.
问题2:设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系
【答案】　|A1B1|=|AB|cos θ.
新知生成
1.投影向量
作向量=a,=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,则=+,其中与共线.我们把称为在方向上的投影向量,投影向量的长度||=||·|cos α|称为投影长.
2.数量积的几何意义
一般地,a与b的数量积等于a的长度　|a|　与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,或b的长度　|b|　与a在b方向上的投影　|a|cos α　的乘积.
3.向量b在a方向上的投影公式为|b|cos α=.
新知运用
例2　如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求在方向上的投影向量;
(3)求在方向上的投影长.
方法指导　根据数量积和投影向量的定义求解.
【解析】　(1)如图,连接AD.
∵D为BC的中点,AB=AC,
∴AD⊥BC.
设与同方向的单位向量为e.
又BD=DC=,且与的夹角为150°,
∴在方向上的投影向量为||cos 150°·e=-e=-=-=.
(2)如图,延长CB至点M,使BM=CD,过点M作AB延长线的垂线MN,并交AB的延长线于点N.
∵=,||=,
∴在方向上的投影向量即为在上的投影向量.
又MN⊥BN,||=,与的夹角为150°,
∴在方向上的投影向量为=-,
即在方向上的投影向量为-.
(3)由(1)和已知可得AC=2,BC=2,
∴在方向上的投影长为=||·cos 150°=-3.
【方法总结】　　求一个向量在另一个向量上的投影向量时,关键是作出恰当的垂线,根据题意确定向量的模及两向量的夹角.
如图,A,B是☉C上的两点,若弦AB的长度为2,则·=　　　　;若向量在向量方向上的投影向量为,则与的夹角为　　　　.
【答案】　2　30°
【解析】　·=||·||cos∠CAB=||×||=||2=2.
由题意知·=,故||·cos∠CAB=||,故cos∠CAB=||,又·=2,所以||·||cos∠CAB=2,即2·||·||=2,解得||=,故cos∠CAB=×=,所以∠CAB=30°.
探究3　数量积的运算律
　　小明学习了向量数量积的运算后,根据实数的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表:
运算律 实数乘法 平面向量数量积
交换律 ab=ba a·b=b·a
结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c)
(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)
分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c
　　问题1:表中这些结果正确吗
【答案】　除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的,其他都是正确的.(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
问题2:如何证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
【答案】　当λ>0时,λa与b的夹角和a与λb的夹角相同.
(λa)·b=|λa||b|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b),
a·(λb)=|a||λb|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b).
同理,当λ<0时,(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)也成立.
所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
新知生成
设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则下列运算律成立.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)与数乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
注意:多项式乘法的乘法公式在向量中也成立.
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
新知运用
一、数量积的运算
例3　(1)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+b)·(a-b).
(2)在△ABC中,已知AC=6,=2,·=4,求·.
方法指导　(1)根据向量数量积的定义、性质、运算律进行解答;(2)先由向量的线性运算求得,再结合向量数量积运算即可得解.
【解析】　(1)因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,所以a·b=10×3×cos 120°=-15,
所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2
=200+15-9=206.
(2)由=2,
则=+=+=+,
又·=4,所以·=4,
又AC=6,所以·=4-=4-×62=-8,
即·=-12.
【方法总结】　　向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;(2)·.
【解析】　(1)由题意得AD BC,且与方向相同,
所以与的夹角是0°,
所以·=||||·cos 0°=3×3×1=9.
(2)因为∠DAB=60°,所以与的夹角为60°,
所以与的夹角为120°,
又||=4,||=3,
所以·=||||·cos 120°
=4×3×=-6.
二、向量的夹角与模
例4　已知|a|=2,|b|=1,a·b=.
(1)求(2a+b)·(a-b)的值;
(2)求2a+b与a-b夹角的余弦值.
【解析】　(1)∵|a|=2,|b|=1,a·b=,
∴(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=2×22--1=.
(2)∵|2a+b|====,
|a-b|====2,
　　∴cos<2a+b,a-b>===.
【方法总结】　　(1)求模问题一般转化为求模的平方问题,常与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2求解.注意a·a=a2=|a|2或|a|=可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.
已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值;
(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.
【解析】　(1)因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-|b|2=,所以|b|=.
(2)因为|a-b|====,
|a+b|====,
所以cos===,
即向量a-b与a+b夹角的余弦值为.
【随堂检测】
1.已知单位向量a,b的夹角为60°,则a·b=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.-
【答案】　A
【解析】　a·b=1×1×cos 60°=.
2.若|a|=4,|b|=2,向量a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影长为(　　).
A.2 B. C.2 D.4
【答案】　C
【解析】　向量a在b方向上的投影长为|a|cos=4×cos 30°=2,故选C.
3.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影向量是4e(e是b方向上的单位向量),则a·b=　　　　.
【答案】　12
【解析】　∵a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·e=4e,
∴|a|cos θ=4,∴a·b=|a||b|cos θ=4×3=12.
4.已知向量a与b的夹角θ=,且|a|=3,|b|=2.
(1)求|a+b|;
(2)求向量a与a+b夹角的余弦值.
【解析】　(1)因为a·b=3×2×-=-3,
|a+b|2=a2+b2+2a·b=9+4-6=7,所以|a+b|=.
(2)由于a·(a+b)=a2+a·b=9-3=6,则cos===,
即向量a与a+b夹角的余弦值为.
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