资源简介

1.5 课时2 数量积的坐标表示及其计算
【学习目标】
1.理解掌握向量数量积的坐标表达式,会利用坐标进行数量积的运算.(数学抽象、数学运算)
2.掌握向量的模、夹角等公式,能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.平面向量的数量积(内积)的定义是什么
【答案】　a·b=|a||b|cos θ.
2.向量a与b垂直的条件是什么
【答案】　a·b=0.
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何计算a与b的数量积
【答案】　a·b=x1x2+y1y2.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1y2-x2y1=0. (　　)
(2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两个向量的夹角θ一定是锐角. (　　)
(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. (　　)
(4)若向量a=(1,0),b=,,则|a|=|b|. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.5 C.-14 D.10
【答案】　A
【解析】　由题意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故选A.
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则cos=　　　　,|a-b|=　　　　.
【答案】　-　
【解析】　由已知得a·b=1×2+2×(-2)=-2,所以cos==-.
又a-b=(-1,4),所以|a-b|==.
【合作探究】
探究1 平面向量数量积的坐标表示
　　已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示.
问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示
【答案】　a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题2:能否用a,b的坐标表示a·b 怎样表示
【答案】　能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
问题3:向量垂直与向量的数量积的关系是什么 能用坐标表示向量垂直吗
【答案】　a⊥b a·b=0,能.
新知生成
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
新知运用
一、给出坐标求数量积
例1　已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
方法指导　根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
【解析】　(1)(法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0),∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
　　=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
【方法总结】　　进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两种方法:一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求:
(1)向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(a·c)b.
【解析】　(1)由题意可设a=λb=(λ,2λ)(λ>0).
∵a·b=10,∴λ+4λ=10,解得λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0,
∴(a·c)b=0.
二、向量垂直的坐标表示的应用
例2　已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:⊥.
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标.
【解析】　(1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3).
又∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥.
(2)∵⊥,若四边形ABCD为矩形,则=.
设点C的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y-4),
∴解得∴点C的坐标为(0,5).
【方法总结】　　涉及非零向量a,b的垂直问题时,一般需借助a⊥b a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
已知向量a=(m,2),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由a⊥b,得a·b=m+2(m+1)=0,解得m=-.
探究2　平面向量的模、夹角
问题1:若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐标 |a|怎么用坐标表示
【答案】　a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
问题2:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角,则cos θ如何用坐标表示
【答案】　cos θ==.
问题3:已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么 与a垂直的单位向量的坐标是什么
【答案】　设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±=±,其中正号、负号分别表示与a同向、反向.
易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±,.
新知生成
1.向量的长度
设a=(x,y),则|a|==.
2.夹角的余弦值
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则两向量夹角余弦值的公式为cos==.
新知运用
例3　设平面内的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),点P在直线OM上,且·=-16.
(1)求的坐标;
(2)求∠APB的余弦值;
(3)设t∈R,求|+t|的最小值.
方法指导　(1)根据P,O,M三点共线可设=λ,利用数量积公式列方程求解;(2)计算||,||,代入向量夹角公式计算;(3)计算|+t|2得到关于t的二次函数,求出函数的最小值即可.
【解析】　(1)∵点P在直线OM上,设=λ=(2λ,2λ),
∴=-=(-1-2λ,-3-2λ),=-=(5-2λ,3-2λ),
∴·=(-1-2λ)(5-2λ)+(-3-2λ)(3-2λ)=-16,解得λ=,
∴=(1,1).
(2)由(1)可得=(-2,-4),=(4,2),
∴cos∠APB===-.
(3)∵+t=(t-1,t-3),
∴(+t)2=(t-1)2+(t-3)2=2t2-8t+10=2(t-2)2+2.
当t=2时,(+t)2取得最小值,最小值为2,
∴|+t|的最小值为.
【方法总结】　　1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
2.解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角的求解方法:由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事项:利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时,要注意当cos θ<0时,有两种情况:一是θ为钝角,二是θ为180°;当cos θ>0时,也有两种情况:一是θ为锐角,二是θ为0°.
　　在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,-1),B(1,0),C(k,2).
(1)当k=3时,求|+|的值.
(2)是否存在实数k,使与的夹角为45° 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【解析】　由题意得=(-1,1),=(k-2,3).
(1)当k=3时,=(1,3),+=(0,4),
所以|+|==4.
(2)假设存在实数k,使与的夹角为45°.
因为·=(-1)×(k-2)+1×3=5-k,
又||=,||==,
所以cos 45°===,解得k=2.
所以存在实数k=2,使与的夹角为45°.
【随堂检测】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5 C.1 D.-6
【答案】　A
【解析】　由题意知2a+b=(3,0),则(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=6,故选A.
2.已知向量a=(2,0),a-b=(3,1),则下列结论正确的是(　　).
A.a·b=2 B.a∥b
C.b⊥(a+b) D.|a|=|b|
【答案】　C
【解析】　因为向量a=(2,0),a-b=(3,1),设b=(x,y),则解得所以b=(-1,-1),a+b=(1,-1),b·(a+b)=-1×1+(-1)×(-1)=0,所以b⊥(a+b).
3.已知向量a=(2,1),b=(1,3),则向量2a-b与a的夹角为(　　).
A.135° B.60° C.45° D.30°
【答案】　C
【解析】　由题意可得2a-b=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),
则|2a-b|==,
|a|==,
且(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=6-1=5.
设所求向量的夹角为θ,由题意可得
cos θ===.
又θ∈[0°,180°],
所以向量2a-b与a的夹角为45°.
4.已知向量a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
【解析】　(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
∴cos===.
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
解得λ=.
21.5 课时2 数量积的坐标表示及其计算
【学习目标】
1.理解掌握向量数量积的坐标表达式,会利用坐标进行数量积的运算.(数学抽象、数学运算)
2.掌握向量的模、夹角等公式,能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.平面向量的数量积(内积)的定义是什么
2.向量a与b垂直的条件是什么
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何计算a与b的数量积
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1y2-x2y1=0. (　　)
(2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两个向量的夹角θ一定是锐角. (　　)
(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. (　　)
(4)若向量a=(1,0),b=,,则|a|=|b|. (　　)
2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则cos=　　　　,|a-b|=　　　　.
.
【合作探究】
探究1 平面向量数量积的坐标表示
　　已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示.
问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示
问题2:能否用a,b的坐标表示a·b 怎样表示
问题3:向量垂直与向量的数量积的关系是什么 能用坐标表示向量垂直吗
新知生成
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
新知运用
一、给出坐标求数量积
例1　已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
方法指导　根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
【方法总结】　　进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两种方法:一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求:
(1)向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(a·c)b.
二、向量垂直的坐标表示的应用
例2　已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:⊥.
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标.
【方法总结】　　涉及非零向量a,b的垂直问题时,一般需借助a⊥b a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
已知向量a=(m,2),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.
探究2　平面向量的模、夹角
问题1:若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐标 |a|怎么用坐标表示
问题2:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角,则cos θ如何用坐标表示
问题3:已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么 与a垂直的单位向量的坐标是什么
新知生成
1.向量的长度
设a=(x,y),则|a|==.
2.夹角的余弦值
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则两向量夹角余弦值的公式为cos==.
新知运用
例3　设平面内的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),点P在直线OM上,且·=-16.
(1)求的坐标;
(2)求∠APB的余弦值;
(3)设t∈R,求|+t|的最小值.
方法指导　(1)根据P,O,M三点共线可设=λ,利用数量积公式列方程求解;(2)计算||,||,代入向量夹角公式计算;(3)计算|+t|2得到关于t的二次函数,求出函数的最小值即可.
【方法总结】　　1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
2.解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角的求解方法:由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事项:利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时,要注意当cos θ<0时,有两种情况:一是θ为钝角,二是θ为180°;当cos θ>0时,也有两种情况:一是θ为锐角,二是θ为0°.
　　在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,-1),B(1,0),C(k,2).
(1)当k=3时,求|+|的值.
(2)是否存在实数k,使与的夹角为45° 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【随堂检测】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5 C.1 D.-6
2.已知向量a=(2,0),a-b=(3,1),则下列结论正确的是(　　).
A.a·b=2 B.a∥b
C.b⊥(a+b) D.|a|=|b|
3.已知向量a=(2,1),b=(1,3),则向量2a-b与a的夹角为(　　).
A.135° B.60° C.45° D.30°
4.已知向量a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
2

展开更多......

收起↑