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1.6 课时1 余弦定理
【学习目标】
1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握余弦定理及其推论,并能用其解决一些简单的三角形度量问题.(逻辑推理、数学运算)
3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式会变成什么
【答案】　公式会变成a2=b2+c2,即勾股定理.
2.在△ABC中,“A>90°” “a2【答案】　不成立,应是b2+c23.在三角形中,大边对大角,小边对小角,正确吗
【答案】　正确.
4.利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题
【答案】　(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中,三边一角任意给出三个,可求其余一个. (　　)
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角. (　　)
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.8 C.10 D.7
【答案】　D
【解析】　由余弦定理得c===7.故选D.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=(　　).
A. B. C.2 D.3
【答案】　D
【解析】　由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去).故选D.
【合作探究】
探究1 余弦定理
　　问题1:给定两边及其夹角的三角形是唯一的吗 为什么 你能用数学知识解释一下吗
【答案】　因为两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS),所以给定两边及其夹角的三角形是唯一的.
问题2:已知三角形的两边b,c及它们的夹角A,如何求第三边a
【答案】　因为涉及三角形的两边长和它们的夹角,所以可以考虑用向量的数量积来求,即a2=||2=(-)2=+-2·=b2+c2-2bccos A.
问题3:余弦定理的适用范围、结构特征是什么
【答案】　适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
新知生成
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2=　b2+c2-2bccos A　,b2=　a2+c2-2accos B　,c2=　a2+b2-2abcos C　.
2.余弦定理的推论
cos A= 　,cos B= 　,cos C= 　.
3.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作　解三角形　.
新知运用
例1　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则角B的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.或 D.或
方法指导　由a2+c2-b2及ac可联想到余弦定理的推论,即利用cos B=来解答.
【答案】　D
【解析】　将(a2+c2-b2)·tan B=ac化为·tan B=.由余弦定理得cos B·tan B=,∴sin B=.又∵0【方法总结】　　对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:实现三角形中边角关系的互化.
　　在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c的长分别为3,4,6,则bccos A+accos B+abcos C的值为　　　　.
【答案】　
【解析】　原式=bc·+ac·+ab·==.
探究2　余弦定理及其推论的应用
　　问题:已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定 利用余弦定理可解决哪几类三角形问题
【答案】　由余弦定理可知,不妨设a,b边和其夹角C已知,则c2=a2+b2-2abcos C,c唯一,cos B=,因为0新知生成
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题:一类是已知　两边及其夹角　解三角形,另一类是已知　三边　解三角形.
新知运用
例2　在△ABC中,已知a=2,b=,c=3+,解此三角形.
方法指导　代入余弦定理的推论进行解答.
【解析】　由余弦定理的推论得
cos A===,
∴A=45°.
同理可求得B=30°,故C=180°-A-B=105°.
【方法总结】　　△ABC中常用的结论
(1)A+B=π-C,=-.
(2)大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)三角形的诱导公式:
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin =cos ,cos =sin .
1.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　.
【答案】　4或5
【解析】　由余弦定理得()2=52+BC2-2×5×BC×,
所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.
2.在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c=　　　　,sin A=　　　　.
【答案】　2　
【解析】　根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cos A==,所以sin A==.
3.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各角的大小.
【解析】　设a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),
利用余弦定理,有
cos A===,
∴A=45°.同理可得cos B=,B=60°.
∴C=180°-A-B=75°.
探究3　利用余弦定理判断三角形的形状
例3　在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
【解析】　由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理,
得a·+a·=b+c,
即+=b+c,
整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.
因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
【方法总结】　　由余弦定理cos A=可以看出,若①a2=b2+c2,则cos A=0,A=90°;若②a20,A<90°;若③a2>b2+c2,则cos A<0,A>90°.故余弦定理可以视为勾股定理的推广形式,从①和③式可判断三角形是直角或钝角三角形,由②式判断不出三角形的形状,还要考虑B或C的大小.利用余弦定理判断三角形的形状,是利用余弦定理及其推论(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化,通过因式分解、配方等方法得出边或角的相应关系,从而判断出三角形的形状.利用余弦定理判断三角形形状的过程,也体现了逻辑推理的素养.
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
【解析】　将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C.
由余弦定理得
b2+c2-b2-c2=2bc××,
∴b2+c2===a2.
∴A=90°,∴△ABC是直角三角形.
【随堂检测】
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的大小为(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60° B.90° C.120° D.150°
【答案】　C
【解析】　由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C,∴cos C=-,∴C=120°.
2.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　由三角形的边角关系可知,因为a>b>c,所以角C为△ABC的最小角,则cos C===,所以C=.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC(　　).
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是直角三角形
【答案】　C
【解析】　由>0得cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.
4.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=　　　　.
【答案】　0
【解析】　∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.
21.6 课时1 余弦定理
【学习目标】
1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握余弦定理及其推论,并能用其解决一些简单的三角形度量问题.(逻辑推理、数学运算)
3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式会变成什么
2.在△ABC中,“A>90°” “a23.在三角形中,大边对大角,小边对小角,正确吗
4.利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中,三边一角任意给出三个,可求其余一个. (　　)
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角. (　　)
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角. (　　)
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=(　　).
A. B. C.2 D.3
【合作探究】
探究1 余弦定理
　　问题1:给定两边及其夹角的三角形是唯一的吗 为什么 你能用数学知识解释一下吗
问题2:已知三角形的两边b,c及它们的夹角A,如何求第三边a
问题3:余弦定理的适用范围、结构特征是什么
新知生成
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2=　b2+c2-2bccos A　,b2=　a2+c2-2accos B　,c2=　a2+b2-2abcos C　.
2.余弦定理的推论
cos A= 　,cos B= 　,cos C= 　.
3.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作　解三角形　.
新知运用
例1　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则角B的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.或 D.或
方法指导　由a2+c2-b2及ac可联想到余弦定理的推论,即利用cos B=来解答.
【方法总结】　　对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:实现三角形中边角关系的互化.
　　在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c的长分别为3,4,6,则bccos A+accos B+abcos C的值为　　　　.
探究2　余弦定理及其推论的应用
　　问题:已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定 利用余弦定理可解决哪几类三角形问题
新知生成
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题:一类是已知　两边及其夹角　解三角形,另一类是已知　三边　解三角形.
新知运用
例2　在△ABC中,已知a=2,b=,c=3+,解此三角形.
方法指导　代入余弦定理的推论进行解答.
【方法总结】　　△ABC中常用的结论
(1)A+B=π-C,=-.
(2)大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)三角形的诱导公式:
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin =cos ,cos =sin .
1.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　.
2.在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c=　　　　,sin A=　　　　.
3.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各角的大小.
探究3　利用余弦定理判断三角形的形状
例3　在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
【方法总结】　　由余弦定理cos A=可以看出,若①a2=b2+c2,则cos A=0,A=90°;若②a20,A<90°;若③a2>b2+c2,则cos A<0,A>90°.故余弦定理可以视为勾股定理的推广形式,从①和③式可判断三角形是直角或钝角三角形,由②式判断不出三角形的形状,还要考虑B或C的大小.利用余弦定理判断三角形的形状,是利用余弦定理及其推论(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化,通过因式分解、配方等方法得出边或角的相应关系,从而判断出三角形的形状.利用余弦定理判断三角形形状的过程,也体现了逻辑推理的素养.
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
【随堂检测】
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的大小为(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60° B.90° C.120° D.150°
.
2.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC(　　).
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是直角三角形
4.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=　　　　.
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