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1.6 课时2 正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.(逻辑推理、数学运算)
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.正弦定理的内容是什么
【答案】　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即==.
2.在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比值都相等,那么这个比值等于多少 与该三角形外接圆的直径有什么关系
【答案】　等于2R(R为该三角形外接圆的半径),与该三角形外接圆的直径相等.
3.已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数
【答案】　三角形的两边及其夹角确定时,三角形的六个元素即可完全确定,故不必考虑解的个数的问题.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B总能成立. (　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由于=,故=,解得sin B=.故选A.
3.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有(　　).
A.一解 B.两解
C.无解 D.无法确定
【答案】　A
【解析】　∵b【合作探究】
探究1 正弦定理
　　
如图,在Rt△ABC中,A=30°,斜边c=2.
问题1:试求△ABC其他的边和角,计算,,的值,从中你能发现什么结论吗
【答案】　B=60°,C=90°,a=1,b=;=2,=2,=2,三者的值相等.
问题2:对于其他的直角三角形,此结论是否成立呢 是否能够猜测,此结论对于锐角和钝角三角形都成立呢
【答案】　
对于其他的直角三角形结论成立.如图,Rt△ABC中,sin A=,sin B=,∴=c,=c.
∵sin C=1,∴==.
可以猜测,此结论对于锐角和钝角三角形都成立.
新知生成
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==.
新知运用
例1　在△ABC中,AC=3,BC=2,cos A=,B是钝角.
(1)求角B;
(2)求AB.
方法指导　(1)先求得sin A,然后利用正弦定理求得sin B,从而求得角B.(2)利用余弦定理求得AB.
【解析】　(1)∵cos A=,0∴sin A===.
∵=,∴=,∴sin B=.
∵B是钝角,∴B=.
(2)由余弦定理得24=27+AB2-6AB,解得AB=3±,
∵3+>2,舍去,∴AB=3-.
【方法总结】　　已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求出另一个角所对的边,由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
若△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,sin A·sin C=,b2=ac,则B=　　　　 　.
【答案】　或
【解析】　由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C,又因为sin Asin C=,
所以sin2B=,所以sin B=.
又B∈(0,π),所以B=或B=.
探究2　利用正弦定理解三角形
　
木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了,只剩下如图所示的部分,A=47°,B=53°,AB长为1 m,张师傅想修好这个零件,但他不知道AC和BC的长度是多少,你能帮张师傅这个忙吗
问题:解答情境中的问题.
【答案】　C=180°-A-B=80°,利用正弦定理==可得BC==,AC==,利用计算器计算相关三角函数值可求出BC,AC的长度.
新知生成
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
新知运用
例2　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.
方法指导　本例是已知三角形的两角和一边解三角形,其基本解题思路:先由三角形的内角和定理求出角A,再由正弦定理公式的变形,求另外的两条边b,c.
【解析】　A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=得,b===4,
由=得,c====4+4.
∴A=45°,b=4,c=4+4.
【方法总结】　　解三角形中的常用结论
(1)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,a+c>b,即任意两边之和大于第三边.
(2)在△ABC中,①sin A=sin B A=B a=b,②cos A=cos B A=B a=b,③cos A>cos B A(3)在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B,即大角对大边,大边对大角.
(4)在△ABC中,三角形内角和定理及相关结论:A+B+C=π,A+B=π-C,=-,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin .
(5)在锐角△ABC中,A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　.
【答案】　75°
【解析】　由题意得=,所以sin B===.因为b2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a=　　　　.
【答案】　
【解析】　在△ABC中,由正弦定理,有=,所以sin C==,所以C=30°或C=150°(舍去),所以A=30°,所以a=c=.
探究3　判断三角形解的个数
　　在△ABC中,a=9,b=10,A=60°.
问题:你能判断三角形解的个数吗
【答案】　因为sin B=sin A=×=,而<<1,所以60°新知生成
已知三角形的两角和任意一边,求其他两边和第三个角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.以已知a,b和A解三角形为例说明:
图形 关系式 解的个数
A 为 锐 角 ①a=bsin A; ②a≥b 　一解　
bsin A　a新知运用
例3　(1)已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一解 B.两解
C.无解 D.解的个数不确定
(2)在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B=　　　　.
方法指导　本例已知两边及其中一边的对角,由正弦定理求出另一角的正弦值,然后进行判断求解.
【答案】　 (1)C　 (2)105°或15°
【解析】　(1)∵c=2,bsin C=2,∴c(2)根据正弦定理=,得sin C===,∴C=45°或C=135°.当C=45°时,B=105°;当C=135°时,B=15°.
【方法总结】　　1.已知三角形的两角与其中一边,可用正弦定理求出三角形的其他元素,此类题有唯一解.
2.已知三角形的两边和其中一边所对的角,三角形的形状一般不确定.用正弦定理求解时需判断是否有解,有一个解,还是两个解,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题.
　　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
【解析】　(1)∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10,∴a(2)∵bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,∴bsin A∴本题有两解.
由正弦定理,得sin B===.又∵0°当B=60°时,C=90°,c==4;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
【随堂检测】
1.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.+1 B.2+1
C.2 D.2+2
【答案】　C
【解析】　由已知及正弦定理,得=,∴b===2.
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上【答案】都不对
【答案】　C
【解析】　∵sin B===,∴B=45°或135°.∵a>b,∴A>B,B=135°不符合题意,∴B=45°.
3.在△ABC中,a=3,b=2,A=30°,则cos B=　　　　.
【答案】　
【解析】　由正弦定理可得sin B===,
∵a=3>b=2,∴B21.6 课时2 正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.(逻辑推理、数学运算)
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.正弦定理的内容是什么
2.在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比值都相等,那么这个比值等于多少 与该三角形外接圆的直径有什么关系
3.已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B总能成立. (　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. (　　)
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有(　　).
A.一解 B.两解
C.无解 D.无法确定
【合作探究】
探究1 正弦定理
　　
如图,在Rt△ABC中,A=30°,斜边c=2.
问题1:试求△ABC其他的边和角,计算,,的值,从中你能发现什么结论吗
问题2:对于其他的直角三角形,此结论是否成立呢 是否能够猜测,此结论对于锐角和钝角三角形都成立呢
新知生成
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==.
新知运用
例1　在△ABC中,AC=3,BC=2,cos A=,B是钝角.
(1)求角B;
(2)求AB.
方法指导　(1)先求得sin A,然后利用正弦定理求得sin B,从而求得角B.(2)利用余弦定理求得AB.
【方法总结】　　已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求出另一个角所对的边,由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
若△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,sin A·sin C=,b2=ac,则B=　　　　 　.
探究2　利用正弦定理解三角形
　
木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了,只剩下如图所示的部分,A=47°,B=53°,AB长为1 m,张师傅想修好这个零件,但他不知道AC和BC的长度是多少,你能帮张师傅这个忙吗
问题:解答情境中的问题.
新知生成
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
新知运用
例2　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.
方法指导　本例是已知三角形的两角和一边解三角形,其基本解题思路:先由三角形的内角和定理求出角A,再由正弦定理公式的变形,求另外的两条边b,c.
【方法总结】　　解三角形中的常用结论
(1)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,a+c>b,即任意两边之和大于第三边.
(2)在△ABC中,①sin A=sin B A=B a=b,②cos A=cos B A=B a=b,③cos A>cos B A(3)在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B,即大角对大边,大边对大角.
(4)在△ABC中,三角形内角和定理及相关结论:A+B+C=π,A+B=π-C,=-,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin .
(5)在锐角△ABC中,A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a=　　　　.
探究3　判断三角形解的个数
　　在△ABC中,a=9,b=10,A=60°.
问题:你能判断三角形解的个数吗
新知生成
已知三角形的两角和任意一边,求其他两边和第三个角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.以已知a,b和A解三角形为例说明:
图形 关系式 解的个数
A 为 锐 角 ①a=bsin A; ②a≥b 　一解　
bsin A　a新知运用
例3　(1)已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一解 B.两解
C.无解 D.解的个数不确定
(2)在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B=　　　　.
方法指导　本例已知两边及其中一边的对角,由正弦定理求出另一角的正弦值,然后进行判断求解.
【方法总结】　　1.已知三角形的两角与其中一边,可用正弦定理求出三角形的其他元素,此类题有唯一解.
2.已知三角形的两边和其中一边所对的角,三角形的形状一般不确定.用正弦定理求解时需判断是否有解,有一个解,还是两个解,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题.
　　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
【随堂检测】
1.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.+1 B.2+1
C.2 D.2+2
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上【答案】都不对
3.在△ABC中,a=3,b=2,A=30°,则cos B=　　　　.
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