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1.6 课时3 正弦定理的应用
【学习目标】
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.(逻辑推理、数学运算)
2.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.± C.- D.±
2.在△ABC中,若A=60°,b=2,其面积为,则=(　　).
A.3 B. C. D.
3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于　　　　.
4.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的面积为　　　　.
【合作探究】
探究1 扩充的正弦定理　
问题1:任意三角形都有外接圆吗 外接圆的半径与正弦定理的比值有关系吗
问题2:教材中是如何推导外接圆的半径与正弦定理的比值关系的 它们的关系是什么
新知生成
扩充的正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值为一个常数,这个常数等于该三角形外接圆的直径,即===2R(R为外接圆的半径).
新知运用
例1　在△ABC中,AB=,BC=,CA=2,则△ABC外接圆的面积为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
方法指导　首先根据余弦定理求cos B,再求sin B,再根据正弦定理求△ABC外接圆的半径,即可求得圆的面积.
【方法总结】　　求三角形外接圆的面积的基本思路是求三角形外接圆的半径.三角形各边与它所对角的正弦值的比值为一个常数,这个常数等于该三角形的外接圆的直径.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积S满足2S=a2+b2-20,c=2,则△ABC的外接圆的周长等于(　　).
A.5π B.2π C.2π D.2π
探究2　正弦定理的变形及应用
问题1:在△ABC中,sin A=sin B,则A=B成立吗
问题2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c成立吗
问题3:在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B 反之,是否成立
新知生成
正弦定理的常见变形:
(1)(边化角)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)(角化边)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
新知运用
例2　△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C,则该三角形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【方法总结】　　(1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行转化,既可以转化为边与边的关系,也可以转化为角与角的关系.(2)在边角互化的过程中,注意正弦定理的变形使用,如=等.
在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　.
探究3　三角形的面积
问题1:在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记作ha,hb,hc,那么它们如何用已知边和角表示
问题2:对比以前所学的三角形面积公式,如何用语言叙述它们
问题3:你能用坐标法证明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B吗
新知生成
任意三角形的面积公式
(1)S△ABC=bcsin A= acsin B　= absin C　,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
(2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长.
(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
新知运用
例3　在△ABC中,已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.
【方法总结】　　已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积,三角形的面积公式为S=absin C=acsin B=bcsin A.
　　(1)在△ABC中,若a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=　　　　　.
(2)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于　　　　　.
【随堂检测】
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A>B B.AC.A≥B D.A,B的大小关系不能确定
2.在△ABC中,已知A=150°,a=3,则其外接圆的半径R的值为(　　).
A.3 B. C.2 D.不确定
3.在△ABC中,若==,则△ABC是(　　).
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
4.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,求的值.
21.6 课时3 正弦定理的应用
【学习目标】
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.(逻辑推理、数学运算)
2.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.± C.- D.±
【答案】　B
【解析】　由S=AB·BCsin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,所以cos∠ABC=±.
2.在△ABC中,若A=60°,b=2,其面积为,则=(　　).
A.3 B. C. D.
【答案】　C
【解析】　由S△ABC=bcsin A=,得×2c×sin 60°=,解得c=2,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+22-4=4,解得a=2,
由正弦定理得===.
3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于　　　　.
【答案】　
【解析】　由三角形内角和定理得A=75°.由三角形的边角关系得角B所对的边b为最短边.由正弦定理=得b===.
4.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的面积为　　　　.
【答案】　
【解析】　△ABC的外接圆直径2R===.故半径R=,即外接圆的面积为.
【合作探究】
探究1 扩充的正弦定理　
问题1:任意三角形都有外接圆吗 外接圆的半径与正弦定理的比值有关系吗
【答案】　都有外接圆.有关系.
问题2:教材中是如何推导外接圆的半径与正弦定理的比值关系的 它们的关系是什么
【答案】　教材中分了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情形来探究,它们的关系是===2R(R为外接圆的半径).
新知生成
扩充的正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值为一个常数,这个常数等于该三角形外接圆的直径,即===2R(R为外接圆的半径).
新知运用
例1　在△ABC中,AB=,BC=,CA=2,则△ABC外接圆的面积为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
方法指导　首先根据余弦定理求cos B,再求sin B,再根据正弦定理求△ABC外接圆的半径,即可求得圆的面积.
【答案】　C
【解析】　由余弦定理可知cos B===,
所以sin B==,
由正弦定理得===2R,即R=,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=.
【方法总结】　　求三角形外接圆的面积的基本思路是求三角形外接圆的半径.三角形各边与它所对角的正弦值的比值为一个常数,这个常数等于该三角形的外接圆的直径.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积S满足2S=a2+b2-20,c=2,则△ABC的外接圆的周长等于(　　).
A.5π B.2π C.2π D.2π
【答案】　A
【解析】　因为c2=20,所以2S=a2+b2-20=a2+b2-c2.
又S=absin C,所以a2+b2-c2=absin C.
由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,所以absin C=2abcos C,显然cos C≠0,所以=2,即tan C=2,所以sin C=,所以△ABC的外接圆半径R==,则外接圆的周长为2πR=5π.
探究2　正弦定理的变形及应用
问题1:在△ABC中,sin A=sin B,则A=B成立吗
【答案】　成立,由于在△ABC中,sin A=sin B,有a=b,则A=B.
问题2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c成立吗
【答案】　成立,由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c正确.
问题3:在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B 反之,是否成立
【答案】　∵A>B,∴a>b.又∵=,∴sin A>sin B.
反之,若sin A>sin B,则a>b,即A>B.故A>B sin A>sin B.
新知生成
正弦定理的常见变形:
(1)(边化角)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)(角化边)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
新知运用
例2　△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C,则该三角形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】　A
【解析】　因为bsin B=csin C,所以b2=c2,即b=c.又sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,即△ABC为直角三角形,而b=c,所以△ABC为等腰直角三角形.
【方法总结】　　(1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行转化,既可以转化为边与边的关系,也可以转化为角与角的关系.(2)在边角互化的过程中,注意正弦定理的变形使用,如=等.
在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　.
【答案】　直角三角形
【解析】　由已知得sin2A-sin2B=sin2C,由正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,所以2-2=2,即a2-b2=c2,所以b2+c2=a2.故△ABC是直角三角形.
探究3　三角形的面积
问题1:在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记作ha,hb,hc,那么它们如何用已知边和角表示
【答案】　ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.
问题2:对比以前所学的三角形面积公式,如何用语言叙述它们
【答案】　三角形的面积是三角形任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
问题3:你能用坐标法证明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B吗
【答案】　(以已知a,b,C为例)以△ABC的顶点C为原点,射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则顶点A的坐标为(bcos C,bsin C).
过点A作BC边上的高AE,则根据三角函数的定义可得AE=bsin C,所以△ABC的面积S=·BC·AE=·a·bsin C=absin C.
同理可得S=bcsin A,S=acsin B.
故S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
新知生成
任意三角形的面积公式
(1)S△ABC=bcsin A= acsin B　= absin C　,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
(2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长.
(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
新知运用
例3　在△ABC中,已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.
【解析】　(1)在△ABC中,因为A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
【方法总结】　　已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积,三角形的面积公式为S=absin C=acsin B=bcsin A.
　　(1)在△ABC中,若a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=　　　　　.
(2)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于　　　　　.
【答案】　(1)2　(2)或
【解析】　(1)∵cos C=,
∴C∈(0°,90°),
∴sin C==.
又S△ABC=absin C=·3·b·=4,
∴b=2.
(2)由正弦定理得sin C===,
又C∈(0°,180°),∴C=60°或120°,
∴A=90°或A=30°,
当A=90°时,S△ABC=AB·AC·sin A=;
当A=30°时,S△ABC=AB·AC·sin A=.
【随堂检测】
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A>B B.AC.A≥B D.A,B的大小关系不能确定
【答案】　A
【解析】　sin A>sin B 2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径) a>b A>B.
2.在△ABC中,已知A=150°,a=3,则其外接圆的半径R的值为(　　).
A.3 B. C.2 D.不确定
【答案】　A
【解析】　在△ABC中,由正弦定理得==6=2R,∴R=3.
3.在△ABC中,若==,则△ABC是(　　).
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】　B
【解析】　由正弦定理可得==,
∴tan A=tan B=tan C,∴A=B=C,∴△ABC是等边三角形.
4.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,求的值.
【解析】　由条件得==,∴sin A=sin C.
同理可得sin B=sin C.
∴==-.
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