资源简介

1.6 课时4 解三角形的应用举例
【学习目标】
1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.(数学建模、数学运算)
2.会利用数学建模的思想,结合解三角形的知识,解决距离、高度、角度有关的实际应用问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点的距离为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
【答案】　A
【解析】　在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°,
由=,得AB=100×=50(m).
2.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为(　　).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
【答案】　B
【解析】　由题图可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC===30(m).
3.一船以15 km/h的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为　　　　km.
【答案】　30
【解析】　如图所示,AC=15×4=60,
∠BAC=30°,∠B=45°,
在△ABC中,=,
∴BC=30.
故船与灯塔的距离为30 km.
【合作探究】
探究1 测量距离问题
问题1:如图所示,A,B两点在河的两岸,在点A的一侧,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
【答案】　测量者在点A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离,∠BAC的大小,∠ACB的大小三个量.
问题2:如图所示,A,B两点都在河的对岸(不可到达),结合图形,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
　　
【答案】　结合图形,需要测出CD的长,∠BCD的大小,∠BDC的大小,就可以计算出BC的长,同理可以计算出AC的长,再算出AB的长.故只需测量出图中CD的长,角α,β,γ,δ的大小.
新知生成
1.基线的概念与选择原则
(1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的　线段　叫作基线.
(2)性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的　基线长度　,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越　高　.
2.测量不可到达的两点间的距离,若是其中一点可以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正弦定理;若两点均不可到达,则需用三个三角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到.
新知运用
例1　
已知A,B两地之间隔着一个山冈,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为　　　　km.
【答案】　
【解析】　由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2×7×5×=39,∴AB=(km).
【方法总结】　　三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,
则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,则要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.
学校体育馆的人字屋架的形状为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
【答案】　D
【解析】　由题意知,A=B=30°,
所以C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得=,
即AB===4(m).
探究2　测量高度问题
问题:小明要测量底部不能到达的某塔的高度.他选定了离地面高度为15 m的一个地点,他测得塔底的俯角为30°,塔顶的仰角为62°,由此估测该塔的高约为多少 (精确到0.1 m)
【答案】　设人的位置为A,塔底为B,塔顶为C,过A作BC的垂线,垂足为D(图略),
则∠DAB=30°,∠DAC=62°,BD=15 m,AB===30 m,
所以BC=·sin∠CAB=·sin 92°≈63.9 m,故该塔的高约为63.9 m.
新知生成
1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫　仰角　,目标视线在水平视线下方时叫　俯角　(如图所示).
2.视角:从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的　夹角　,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.
新知运用
例2　
如图所示,为了测量某竖直建筑物CO的高度,在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上,有相距60 m的A,B两个观测点,并在A,B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°,且cos∠CAB=-,求此建筑物的高度.
方法指导　由题意分析可得AC=CO,BC=2CO,在△ABC中利用余弦定理运算求解.
【解析】　由题意可得AB=60,在Rt△OAC中,由∠CAO=45°,可得AC=CO.
在Rt△OBC中,由∠CBO=30°,可得BC=2CO.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,
即4CO2=2CO2+602-2×CO×60×-,整理得CO2-30CO-1800=0,
解得CO=60或CO=-30(舍去),
所以此建筑物的高度为60 m.
【方法总结】　　解决测量高度问题的一般步骤:(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析:分析与问题有关的三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,解相关的三角形,经检验后得到实际问题的解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
　　在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.20 m B.20(1+) m
C.10(+) m D.20(+) m
【答案】　B
【解析】　
如图,由条件知四边形ABCD为正方形,∴AB=CD=BC=AD=20 m.
在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m,∴EC=CD·tan 60°=20 m,
∴BE=BC+CE=(20+20)m.
探究3　测量角度问题
　　请结合下图,探究下面的问题.
问题:你能用方向角表述图中的角吗
【答案】　情境图中AB的方向角是北偏东75°,BC的方向角是北偏东32°.
新知生成
1.方向角
从指定方向线到　目标　方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图所示).
2.方位角
从正北方向　顺时针　转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围:　[0°,360°)　.
新知运用
例3　 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇
方法指导　这个问题就是在△ABC中,已知BC,AC及∠B,求∠CAB,从而得解,所以可根据正弦定理求解.
【解析】　如图所示.
设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,BC=at,AC=at,B=180°-60°=120°.由=得sin∠CAB====.
∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,
∴甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇.
【方法总结】　　测量角度问题的基本思路:(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,再在图形中标出相关的角和距离;(2)根据已知条件选择正弦定理或余弦定理解三角形,然后将解得的结果转化为实际问题的解.
　　无人机在农业、地质、气象、电力、交通运输等行业应用广泛.如图,在一次城市宣传的取景拍摄中,一架无人机从A处出发,沿北偏东70°的方向航行(-1)km后到达B处,然后从B处出发,沿北偏东10°的方向航行2 km后到达C处.
(1)求A处与C处之间的距离;
(2)如果下次航行直接从A处出发到达C处,应沿什么方向航行
【解析】　(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=-1,BC=2,
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(-1)2+4+2(-1)=6,
所以AC= km.
(2)根据正弦定理可得=,
即sin∠CAB=·sin∠ABC=,
又BC所以应沿北偏东25°的方向航行即可到达C处.
【随堂检测】
1.某次测量中,点A在点B的北偏东55°方向上,则点B在点A的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.北偏西35°方向上 B.北偏东55°方向上
C.南偏西35°方向上　 D.南偏西55°方向上
【答案】　D
【解析】　
根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示.
已知α=55°,则β=α=55°,所以点B在点A的南偏西55°方向上.
2.身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测比两人高20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(　　).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
【答案】　B
【解析】　如图,d1=,d2=,因为tan 50°>1>tan 40°,所以d120 m,故选B.
3.
如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　.
【答案】　150 m
【解析】　由题意可知AB=BC=100 m,所以AC=100 m,在△ACM中,由正弦定理得AM=·sin 60°=100 m,所以MN=AMsin 60°=100×=150 m.
4.在高出海平面200 m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为　　　　m.
【答案】　200(+1)
【解析】　如图,过点A作AH⊥BC于点H,
由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200 m,则BH=AH=200 m,CH=AH·tan 60°=200(m).故两船距离BC=BH+CH=200(+1)m.
21.6 课时4 解三角形的应用举例
【学习目标】
1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.(数学建模、数学运算)
2.会利用数学建模的思想,结合解三角形的知识,解决距离、高度、角度有关的实际应用问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点的距离为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
2.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为(　　).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
3.一船以15 km/h的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为　　　　km.
【合作探究】
探究1 测量距离问题
问题1:如图所示,A,B两点在河的两岸,在点A的一侧,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
问题2:如图所示,A,B两点都在河的对岸(不可到达),结合图形,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离
　　
新知生成
1.基线的概念与选择原则
(1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的　线段　叫作基线.
(2)性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的　基线长度　,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越　高　.
2.测量不可到达的两点间的距离,若是其中一点可以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正弦定理;若两点均不可到达,则需用三个三角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到.
新知运用
例1　
已知A,B两地之间隔着一个山冈,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为　　　　km.
【方法总结】　　三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,
则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,则要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.
学校体育馆的人字屋架的形状为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
探究2　测量高度问题
问题:小明要测量底部不能到达的某塔的高度.他选定了离地面高度为15 m的一个地点,他测得塔底的俯角为30°,塔顶的仰角为62°,由此估测该塔的高约为多少 (精确到0.1 m)
新知生成
1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫　仰角　,目标视线在水平视线下方时叫　俯角　(如图所示).
2.视角:从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的　夹角　,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.
新知运用
例2　
如图所示,为了测量某竖直建筑物CO的高度,在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上,有相距60 m的A,B两个观测点,并在A,B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°,且cos∠CAB=-,求此建筑物的高度.
方法指导　由题意分析可得AC=CO,BC=2CO,在△ABC中利用余弦定理运算求解.
【方法总结】　　解决测量高度问题的一般步骤:(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析:分析与问题有关的三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,解相关的三角形,经检验后得到实际问题的解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
　　在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.20 m B.20(1+) m
C.10(+) m D.20(+) m
探究3　测量角度问题
　　请结合下图,探究下面的问题.
问题:你能用方向角表述图中的角吗
新知生成
1.方向角
从指定方向线到　目标　方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图所示).
2.方位角
从正北方向　顺时针　转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围:　[0°,360°)　.
新知运用
例3　 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇
方法指导　这个问题就是在△ABC中,已知BC,AC及∠B,求∠CAB,从而得解,所以可根据正弦定理求解.
【方法总结】　　测量角度问题的基本思路:(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,再在图形中标出相关的角和距离;(2)根据已知条件选择正弦定理或余弦定理解三角形,然后将解得的结果转化为实际问题的解.
　　无人机在农业、地质、气象、电力、交通运输等行业应用广泛.如图,在一次城市宣传的取景拍摄中,一架无人机从A处出发,沿北偏东70°的方向航行(-1)km后到达B处,然后从B处出发,沿北偏东10°的方向航行2 km后到达C处.
(1)求A处与C处之间的距离;
(2)如果下次航行直接从A处出发到达C处,应沿什么方向航行
【随堂检测】
1.某次测量中,点A在点B的北偏东55°方向上,则点B在点A的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.北偏西35°方向上 B.北偏东55°方向上
C.南偏西35°方向上　 D.南偏西55°方向上
2.身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测比两人高20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(　　).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.
如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　.
4.在高出海平面200 m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为　　　　m.
2

展开更多......

收起↑