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1.7 平面向量的应用举例
【学习目标】
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算)
2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建坐标系法.(直观想象、数学运算)
3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题
【答案】　可以解决平行、垂直、长度以及夹角问题.
2.向量在物理问题中的应用有哪些
【答案】　(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的减法和加法相似,故可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.
C.3 D.
【答案】　B
【解析】　由题意得BC的中点为D,6,=-,5,所以||=.
2.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　D
【解析】　作=F1,=F2,=-G(图略),
则=+,
当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,
所以∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.
3.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=　　　　J.
【答案】　300
【解析】　W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
【合作探究】
探究1 平面向量在几何中的应用
　　如图所示,水渠横断面是四边形ABCD,=,且||=||.
问题1:如何判断这个四边形的形状
【答案】　利用向量共线和向量模的定义,证明该四边形是等腰梯形.
问题2:向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会
【答案】　全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.例如,向量的模对应着几何中的长度.
问题3:把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗
【答案】　矩形两对角线的平方和等于四边的平方和.
新知生成
用向量方法解决平面几何问题的步骤:
(1)用基向量表示待证或待求问题,然后利用数量的运算解决问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等.
(3)再把运算结果“翻译”成几何关系.
新知运用
一、证明平行、垂直问题
例1　在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
方法指导　可以选用基向量,利用向量运算证明,也可以建系,利用坐标运算解决.
【解析】　(法一)由题意可设=e1,=e2,|e1|=|e2|,则=2e2,
∴=+=e1+e2,
=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2.
∵·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC.
(法二)如图,建立平面直角坐标系,设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(-1,1),=(1,1),
∴·=(1,1)·(-1,1)=-1+1=0,∴⊥,
即AC⊥BC.
【方法总结】　　用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法:选取适当的基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.
【解析】　∵·=+·+=--·,而AD⊥AB,AD=AB,∴·=0,
∴⊥,即DE⊥AF.
二、解决向量中的最值问题
例2　如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,求·的最大值.
方法指导　先根据条件求得点C到BD的距离d,再把所求转化为·=·+·,即可求得【答案】.
【解析】　在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,
连接AC,CM,所以||=||=2,如图所示,设点C到BD的距离为d,则d==,
则·=(+)·=·+·,
其中·=(+)·(+)=-12,·≤||·||=8,
当且仅当与同向时,等号成立,
所以·=·+·≤-12+8=-4,
即·的最大值为-4.
已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,点P在线段CD上(不包含端点),求·的取值范围.
【解析】　∵AB=4,AD=2,·=4,∴||||·cos A=4,即cos A=,解得A=.
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
∴A(0,0),B(4,0),D(1,),C(5,).
设P(x,)(1∴·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1.
设f(x)=(x-2)2-1,∴f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,5)上单调递增,
∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)探究2　平面向量在物理中的应用
　　这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片.
问题1:小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么
【答案】　如图,可知F=G,|F|=|F1|cos |F1|=,故夹角越大越费力.
问题2:向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系
【答案】　速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.
新知生成
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有　力、速度、加速度、位移　等.
(2)向量的加、减法运算体现在　力、速度、加速度、位移的合成与分解　.
(3)动量mv是向量的　数乘　运算.
(4)功是　力F　与　所产生的位移s　的数量积.
新知运用
一、向量在力学中的应用
例3　
设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,如图所示.
(1)求F3的大小;
(2)求F2与F3的夹角.
方法指导　(1)由三个力处于平衡状态用F1,F2表示F3→用向量模的计算公式求F3的大小(2)用F1,F2表示F3→构造F2·F3→利用夹角公式求解
【解析】　(1)由题意知|F3|=|F1+F2|,
因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,
所以|F3|=|F1+F2|==.
(2)设F2与F3的夹角为θ,
因为F3=-(F1+F2),
所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,
即×2×cos θ=-1×2×-4,
解得cos θ=-,
所以θ=.
【方法总结】　　(1)力、速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减法运算.(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).
　　物体W的质量为50千克(所受重力为490 N),用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10米(AB为水平线),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小.
【解析】　
如图,建立直角坐标系,设|f1|=a,|f2|=b,
则f1=,f2=-b,b,又f1+f2=(0,490),
所以解得
所以AC,BC上所受的力的大小分别为392 N,294 N.
二、向量在运动学中的应用
例4　一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在静水中最大航速为4 km/h.问怎样安排航行速度,可使该船从A码头最快到达彼岸B码头 用时多少
方法指导　画出示意图,解三角形即可.
【解析】　
如图所示,设为水流速度,为船在静水中的速度,以AC和AD为邻边作 ACED,当与共线时最快到达彼岸.
根据题意知AC⊥AE,
在Rt△ADE和 ACED中,
||=||=2,||=4,∠AED=90°,
∴||==2,
t=÷2=0.5(h),sin∠EAD=,∴∠EAD=30°.
故当船在静水中的航行速度大小为4 km/h,且与水流方向成120°角时能最快到达B码头,用时0.5 h.
【方法总结】　　向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题.
　　在风速为75(-) km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
【解析】　
设w表示风速,va表示有风时飞机的航行速度,vb表示无风时飞机的航行速度,则vb=va-w,如图所示.
设||=|va|,||=|w|,||=|vb|,作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(-),
∴||=||=||=75,||=75,
从而|vb|=||=150,∠CAD=30°.
故没有风时飞机的航速为150 km/h,方向为北偏西60°.
【随堂检测】
1.已知平面内四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
【答案】　D
【解析】　由条件知+=+,则-=-,即=,∴四边形ABCD为平行四边形.
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
【答案】　B
【解析】　由题意得|F1|=10×cos 60°=5(N).
3.如图,半圆的直径AB=8,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值等于(　　).
A.-16 B.-8 C.-4 D.-2
【答案】　B
【解析】　设|PO|=x(0≤x≤4),则|PC|=4-x,
∵O是AB的中点,∴(+)·=2·=-2x(4-x)=2x2-8x=2(x-2)2-8,
∴当x=2时,(+)·取得最小值,最小值为-8.
4.一条河宽为0.8 km,一条船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处, 已知船在静水中的速度为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需的时间为　　　　min.
【答案】　3
【解析】　
如图,∵v实际=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20,|v2|=12,
∴|v实际|===16(km/h).
∴所需时间t==0.05(h)=3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
21.7 平面向量的应用举例
【学习目标】
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算)
2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建坐标系法.(直观想象、数学运算)
3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题
2.向量在物理问题中的应用有哪些
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.
C.3 D.
2.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=　　　　J.
【合作探究】
探究1 平面向量在几何中的应用
　　如图所示,水渠横断面是四边形ABCD,=,且||=||.
问题1:如何判断这个四边形的形状
问题2:向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会
问题3:把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗
新知生成
用向量方法解决平面几何问题的步骤:
(1)用基向量表示待证或待求问题,然后利用数量的运算解决问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等.
(3)再把运算结果“翻译”成几何关系.
新知运用
一、证明平行、垂直问题
例1　在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
方法指导　可以选用基向量,利用向量运算证明,也可以建系,利用坐标运算解决.
【方法总结】　　用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法:选取适当的基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.
二、解决向量中的最值问题
例2　如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,求·的最大值.
方法指导　先根据条件求得点C到BD的距离d,再把所求转化为·=·+·,即可求得
已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,点P在线段CD上(不包含端点),求·的取值范围.
探究2　平面向量在物理中的应用
　　这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片.
问题1:小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么
问题2:向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系
新知生成
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有　力、速度、加速度、位移　等.
(2)向量的加、减法运算体现在　力、速度、加速度、位移的合成与分解　.
(3)动量mv是向量的　数乘　运算.
(4)功是　力F　与　所产生的位移s　的数量积.
新知运用
一、向量在力学中的应用
例3　
设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,如图所示.
(1)求F3的大小;
(2)求F2与F3的夹角.
方法指导　(1)由三个力处于平衡状态用F1,F2表示F3→用向量模的计算公式求F3的大小(2)用F1,F2表示F3→构造F2·F3→利用夹角公式求解
【方法总结】　　(1)力、速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减法运算.(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).
　　物体W的质量为50千克(所受重力为490 N),用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10米(AB为水平线),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小.
二、向量在运动学中的应用
例4　一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在静水中最大航速为4 km/h.问怎样安排航行速度,可使该船从A码头最快到达彼岸B码头 用时多少
【方法总结】　　向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题.
　　在风速为75(-) km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
【随堂检测】
1.已知平面内四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
3.如图,半圆的直径AB=8,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值等于(　　).
A.-16 B.-8 C.-4 D.-2
4.一条河宽为0.8 km,一条船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处, 已知船在静水中的速度为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需的时间为　　　　min.
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