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2.1 课时1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.(逻辑推理)
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.(数学运算)
【自主预习】
1.式子cos2π-=cos 2π-cos=是否正确
2.等式cos(α-β)=cos α-cos β正确吗 你能举例吗
3.如何用向量法推导两角差的余弦公式
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. (　　)
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. (　　)
(3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. (　　)
2.cos 47°cos 137°+sin 47°sin 137°=(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.-1 D.
3.已知cos α=,α∈,2π,则cosα-的值为(　　).
A. B. C. D.
4.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=　　　　.
【合作探究】
探究1 两角差的余弦公式
　　如图,已知在平面直角坐标系内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
问题1:如何求P1P2的长度
问题2:如图所示,求解各点的坐标.
问题3:AP与A1P1有什么关系
问题4:如何表示AP,A1P1的长度 可以得到什么结论
新知生成
两角差的余弦公式C(α-β):cos(α-β)=　cos αcos β+sin αsin β　.
新知运用
一、给角求值
例1　计算:(1)cos(-15°);
(2)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°.
方法指导　 (1)将-15°用两个特殊角之差表示,再正用公式求值;(2)逆用公式求解.
【方法总结】　　利用公式C(α-β)求值的思路
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.
(2)如果函数名称不满足公式特点,可利用诱导公式调整角和函数名称,构造公式的结构形式然后逆用公式求值.
二、给值求值
例2　已知cos α=,α∈,则cosα-=　　　　.
方法指导　根据两角差的余弦公式求解.
【方法总结】　　公式应用的两个关注点
(1)公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧.
(2)公式的逆用需要学生逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算能力.
1.计算:cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°=　　　　.
2.cos 255°cos 195°-sin 75°sin 195°=　　　　.
3.(1)已知tan θ=,θ∈,求cos的值;
(2)已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β 的值.
探究2　两角和的余弦公式
问题1:已知两个角α,β的正弦、余弦sin α,sin β,cos α,cos β,如何求α+β的余弦值
问题2:观察两角和与差的余弦公式,如何准确地记忆它们
新知生成
两角和的余弦公式:C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
新知运用
例3　已知锐角α,β满足cos α=,sin β=,求α+β的值.
方法指导　首先利用同角三角函数求sin α,cos β的值,再求cos(α+β)的值,最后利用角的范围求α+β的值.
【方法总结】　　(1)这类问题的求解,关键环节有两点:①求出所求角的某种三角函数值;②确定角的范围,一旦做好这两个环节,结合三角函数的性质与图象即可求解.
(2)确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定.
已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值.
【随堂检测】
1.coscos-sinsin的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.1
2.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　).
A.- B.- C. D.
3.在△ABC中,若sin Asin BA.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,0<α<β<π,求α-β的值.
22.1 课时1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.(逻辑推理)
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.(数学运算)
【自主预习】
1.式子cos2π-=cos 2π-cos=是否正确
【答案】　等式正确.
2.等式cos(α-β)=cos α-cos β正确吗 你能举例吗
【答案】　不正确,如cos(60°-30°)=cos 30°=≠-=cos 60°-cos 30°.
3.如何用向量法推导两角差的余弦公式
【答案】　在平面直角坐标系中,取角α,β,在这两个角的终边上分别取两个单位向量=a,=b,则∠AOB=α-β就是a与b的夹角.
a与b的数量积为a·b=|a||b|cos ,
a·b=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β,
当α-β∈[0,π]时,cos =cos(α-β),
所以cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. (　　)
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. (　　)
(3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.cos 47°cos 137°+sin 47°sin 137°=(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.-1 D.
【答案】　A
【解析】　原式=cos(47°-137°)=cos(-90°)=0.
3.已知cos α=,α∈,2π,则cosα-的值为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　因为cos α=,α∈,2π,所以sin α=-,
所以cosα-=cos αcos +sin αsin =×+-×=.
4.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=　　　　.
【答案】　
【解析】　原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-60°)=cos 60°=.
【合作探究】
探究1 两角差的余弦公式
　　如图,已知在平面直角坐标系内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
问题1:如何求P1P2的长度
【答案】　|P1Q|=|M1M2|=|x1-x2|,|QP2|=|N1N2|=|y1-y2|,
由勾股定理可得|P1P2|==.
问题2:如图所示,求解各点的坐标.
【答案】　A1(cos β,sin β),P(cos(α-β),sin(α-β)),P1(cos α,sin α).
问题3:AP与A1P1有什么关系
【答案】　连接AP,A1P1(图略).若把扇形OAP绕着点O旋转β角,则点A,P分别与点A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知,与重合,从而=,所以AP=A1P1.
问题4:如何表示AP,A1P1的长度 可以得到什么结论
【答案】　由两点间的距离公式得,
|AP|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,
|A1P1|2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β),
因为|AP|2=|A1P1|2,所以2-2cos(α-β)=2-2(cos αcos β+sin αsin β),
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
当α=2kπ+β(k∈Z)时,容易证明上式仍然成立,
所以对于任意角α,β都有cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β成立.
新知生成
两角差的余弦公式C(α-β):cos(α-β)=　cos αcos β+sin αsin β　.
新知运用
一、给角求值
例1　计算:(1)cos(-15°);
(2)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°.
方法指导　 (1)将-15°用两个特殊角之差表示,再正用公式求值;(2)逆用公式求解.
【解析】　(1)(法一)原式=cos(30°-45°)
=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°
=×+×=.
(法二)原式=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=×+×=.
(2)原式=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°)
=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
=cos(44°-14°)=cos 30°=.
【方法总结】　　利用公式C(α-β)求值的思路
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.
(2)如果函数名称不满足公式特点,可利用诱导公式调整角和函数名称,构造公式的结构形式然后逆用公式求值.
二、给值求值
例2　已知cos α=,α∈,则cosα-=　　　　.
方法指导　根据两角差的余弦公式求解.
【答案】　
【解析】　∵α∈,
∴sin α=-=-,
∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.
【方法总结】　　公式应用的两个关注点
(1)公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧.
(2)公式的逆用需要学生逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算能力.
1.计算:cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°=　　　　.
【答案】　
【解析】　cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°=cos(56°-26°)=cos 30°=.
2.cos 255°cos 195°-sin 75°sin 195°=　　　　.
【答案】　
【解析】　cos 255°cos 195°-sin 75°sin 195°
=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
=cos(75°-15°)=cos 60°=.
3.(1)已知tan θ=,θ∈,求cos的值;
(2)已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β 的值.
【解析】　(1)∵tan θ==,且sin2θ+cos2θ=1,
又θ∈,sin θ>0,cos θ>0,
∴sin θ=,cos θ=,
∴cos=coscos θ+sinsin θ=×+×=.
(2)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,
由cos(α+β)=-,得sin(α+β)=,
又∵cos α=,∴sin α=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
探究2　两角和的余弦公式
问题1:已知两个角α,β的正弦、余弦sin α,sin β,cos α,cos β,如何求α+β的余弦值
【答案】　用-β代替β,可得到两角和的余弦公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
问题2:观察两角和与差的余弦公式,如何准确地记忆它们
【答案】　可用口诀“余余正正,加减相反”记忆公式.
新知生成
两角和的余弦公式:C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
新知运用
例3　已知锐角α,β满足cos α=,sin β=,求α+β的值.
方法指导　首先利用同角三角函数求sin α,cos β的值,再求cos(α+β)的值,最后利用角的范围求α+β的值.
【解析】　∵α,β为锐角且cos α=,sin β=,
∴sin α===,cos β===,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
由0<α<,0<β<得0<α+β<π,
又cos(α+β)>0,∴α+β为锐角,∴α+β=.
【方法总结】　　(1)这类问题的求解,关键环节有两点:①求出所求角的某种三角函数值;②确定角的范围,一旦做好这两个环节,结合三角函数的性质与图象即可求解.
(2)确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定.
已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值.
【解析】　∵<α-β<π,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=.
∵<α+β<2π,sin(α+β)=-,∴cos(α+β)=,
∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.
　　∵<α-β<π,<α+β<2π,
∴<2β<,∴2β=π,∴β=.
【随堂检测】
1.coscos-sinsin的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.1
【答案】　B
【解析】　原式=cos=cos=.
2.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　).
A.- B.- C. D.
【答案】　A
【解析】　∵α为锐角,cos α=,
∴sin α==.
∵β为第三象限角,sin β=-,
∴cos β=-=-,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
3.在△ABC中,若sin Asin BA.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】　D
【解析】　因为sin Asin B所以cos Acos B-sin Asin B>0,
即cos(A+B)>0,所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)<0,所以角C为钝角,
所以△ABC一定为钝角三角形.
4.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,0<α<β<π,求α-β的值.
【解析】　因为(sin α+sin β)2=2,(cos α+cos β)2=2,
两式相加得2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-.
因为0<α<β<π,所以-π<α-β<0,所以α-β=-.
2

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