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2.1 课时2 两角和与差的正弦公式
【学习目标】
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.(逻辑推理)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(数学运算)
【自主预习】
1.怎样借助30°,45°的三角函数值求出sin 75°,sin 15°的值
2.怎样根据α,β的三角函数值求出sin(α+β),sin(α-β)的值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　　)
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　　)
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (　　)
(4)sin(α+β)=sin βcos α-sin αcos β. (　　)
2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为(　　).
A. B. C. D.以上都不对
3.已知α是锐角,sin α=,则cos+α=　　　　.
【合作探究】
探究1 两角差的正弦公式
问题1:能否用两角和与差的余弦公式求sin 15°的值呢
问题2:如何利用所学的余弦公式推导sin(α-β)
问题3: 两角差的正弦公式的适用条件是什么
新知生成
两角差的正弦公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
新知运用
例1　已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,求sin(α-β)的值.
【方法总结】　　在进行求值变换的过程中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那么整体变形,否则进行各局部的变换.
若锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.0
探究2　两角和的正弦公式
　　问题1:如何利用所学的余弦公式推导sin(α+β)
问题2:根据公式C(α±β)的识记规律,你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗
新知生成
两角和的正弦公式:S(α+β):sin(α+β)=　sin αcos β+cos αsin β　.
新知运用
例2　(1)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
(2)已知α为锐角,sin=,求sin α的值.
方法指导　(1)由两角差的正弦公式、诱导公式得sin β,由平方关系得cos β,再利用两角和的正弦公式计算.(2)观察已知与待求,发现α=+,然后根据两角和的正弦公式求解.
【方法总结】　　(1)当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
1.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=　　　　.
2.设α∈,β∈,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
探究3　两角和与差的正弦公式的应用
例3　已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tan A=2tan B.
(2)求sin 2A的值.
【方法总结】　　两角和与差的正弦公式在解三角形中应用广泛,对公式的要求不仅要会正用,还要能够逆用.
在△ABC中,已知tan A=-2,B=.求:
(1)cos A的值;
(2)sin C的值.
【随堂检测】
1.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.-
2.化简sin+sin=(　　).
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
3.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为　　　 　.
4.在△ABC中,已知cos A=,cos B=,求sin C的值.
22.1 课时2 两角和与差的正弦公式
【学习目标】
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.(逻辑推理)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(数学运算)
【自主预习】
1.怎样借助30°,45°的三角函数值求出sin 75°,sin 15°的值
【答案】　让学生计算sin 30°+sin 45°,sin 45°-sin 30°的值,思考与sin 75°,sin 15°的关系.利用sin 75°=cos 15°=cos(45°-30°),尝试求sin(30°+45°)的值.同理可求sin(45°-30°)的值.
2.怎样根据α,β的三角函数值求出sin(α+β),sin(α-β)的值
【答案】　根据两角和与差的余弦公式以及诱导公式sin α=cos可推导出sin(α+β),sin(α-β)的公式.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　　)
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　　)
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (　　)
(4)sin(α+β)=sin βcos α-sin αcos β. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为(　　).
A. B. C. D.以上都不对
【答案】　A
【解析】　原式=sin(13°+17°)=sin 30°=.
3.已知α是锐角,sin α=,则cos+α=　　　　.
【答案】　
【解析】　因为α是锐角,sin α=,所以cos α=,
所以cos+α=coscos α-sinsin α=×-×=.
【合作探究】
探究1 两角差的正弦公式
问题1:能否用两角和与差的余弦公式求sin 15°的值呢
【答案】　将sin 15°通过诱导公式转化为求cos 75°的值进行求解,即sin 15°=cos 75°=cos(30°+45°).
问题2:如何利用所学的余弦公式推导sin(α-β)
【答案】　由诱导公式及两角和的余弦公式可知,
sin(α-β)=cos=cos
=coscos β-sinsin β
=sin αcos β-cos αsin β.
问题3: 两角差的正弦公式的适用条件是什么
【答案】　公式中的α、β是任意角,可以是具体的角,也可以是表示角的代数式.
新知生成
两角差的正弦公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
新知运用
例1　已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,求sin(α-β)的值.
【解析】　因为α为锐角,tan α=,
所以sin α=,cos α=.
因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),
因为cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)===,
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×
=.
所以cos β===,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×
=-.
【方法总结】　　在进行求值变换的过程中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那么整体变形,否则进行各局部的变换.
若锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.0
【答案】　C
【解析】　∵cos α=,cos(α+β)=,α,β∈,
∴0<α+β<,sin α==,∴sin(α+β)==,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=.
探究2　两角和的正弦公式
　　问题1:如何利用所学的余弦公式推导sin(α+β)
【答案】　由诱导公式及两角和的余弦公式可知,
sin(α+β)=cos=cos
=coscos β+sinsin β
=sin αcos β+cos αsin β.
问题2:根据公式C(α±β)的识记规律,你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗
【答案】　对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正,加减相反”,可得公式S(α±β)的记忆规律为“正余余正,加减相同”.
新知生成
两角和的正弦公式:S(α+β):sin(α+β)=　sin αcos β+cos αsin β　.
新知运用
例2　(1)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
(2)已知α为锐角,sin=,求sin α的值.
方法指导　(1)由两角差的正弦公式、诱导公式得sin β,由平方关系得cos β,再利用两角和的正弦公式计算.(2)观察已知与待求,发现α=+,然后根据两角和的正弦公式求解.
【解析】　(1)∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-,又β是第三象限角,
∴cos β=-=-,
∴sin=sin βcos+cos βsin=×+×=-.
(2)∵α为锐角,∴0<α<,∴-<α-<,
又sin=,∴cos=,
∴sin α=sin
=sincos+cossin
=×=.
【方法总结】　　(1)当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
1.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=　　　　.
　　【答案】　-
【解析】　因为cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-,由两角和的正弦公式可得sin=sin αcos+cos αsin=×+×=-.
2.设α∈,β∈,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
【解析】　因为α∈,cos α=-,所以sin α=,
因为β∈,sin β=-,所以cos β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
探究3　两角和与差的正弦公式的应用
例3　已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tan A=2tan B.
(2)求sin 2A的值.
【解析】　(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,
∴即 得=2,
∴tan A=2tan B.
(2)∵△ABC是锐角三角形,∴∴cos(A+B)=-,∵A,B为锐角,∴-∴cos(A-B)=,
∴sin 2A=sin[(A+B)+(A-B)]
=sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)
=×-×=.
【方法总结】　　两角和与差的正弦公式在解三角形中应用广泛,对公式的要求不仅要会正用,还要能够逆用.
在△ABC中,已知tan A=-2,B=.求:
(1)cos A的值;
(2)sin C的值.
【解析】　(1)∵tan A=-2,∴=-2,∴sin A=-2cos A,
∵sin2A+cos2A=1,∴4cos2A+cos2A=1,
∴cos2A=,
∵tan A<0,∴A∈,∴cos A=-.
(2)∵cos A=-,A∈,∴sin A=,
又∵B=,
∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=sin Acos +cos Asin
=×+×=.
【随堂检测】
1.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.-
【答案】　B
【解析】　sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°sin 23°=sin(7°+23°)=sin 30°=.
2.化简sin+sin=(　　).
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
【答案】　B
【解析】　原式=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x.
3.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为　　　 　.
【答案】　
【解析】　因为角α的终边经过点(-3,4),所以sin α=,cos α=-,所以sin=sin αcos+cos αsin=×-×=.
4.在△ABC中,已知cos A=,cos B=,求sin C的值.
【解析】　由cos A=,A∈(0,π),得sin A===.
由cos B=,B∈(0,π),得sin B===.
在△ABC中,由A+B+C=π知,C=π-(A+B),
所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.
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