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2.1 课时3 两角和与差的正切公式
【学习目标】
1.会推导出两角和与差的正切公式.(逻辑推理)
2.熟记公式的形式及符号特征,掌握公式的变形形式.(逻辑推理)
3.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简.(数学运算)
【自主预习】
1.两角和的正弦、余弦公式是什么
2.两角差的正弦、余弦公式是什么
1.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=　　　　.
2.已知tan α=2,则tanα+=　　　　.
3.=　　　　.
4.已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为　　　　.
【合作探究】
探究1 两角和与差的正切公式
问题1:从两角和的正、余弦公式出发,你能推导出两角和的正切公式吗
问题2:两角差的正切公式又如何推导呢
问题3:两角和的正切公式中角α,β的取值范围是什么 为什么
新知生成
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记 条件
两角和的 正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α≠kπ+,k∈Z,β≠kπ+,k∈Z,α+β≠kπ+,k∈Z,α-β≠kπ+,k∈Z
两角差的 正切公式 tan(α-β)= T(α-β)
　　特别提醒:(1)在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z,这是由正切函数的定义域决定的.
(2)在应用两角和与差的正切公式时,只要tan α,tan β,tan(α+β)(或tan(α-β))中任一个的值不存在,就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题,应改用诱导公式或其他方法解题.如化简tan,因为tan的值不存在,所以不能利用公式T(α-β)进行化简,应改用诱导公式来化简,即tan==.
新知运用
一、正切公式的正用
例1　(1)求tan(-75°)的值;
(2)已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan β的值.
方法指导　(1)75°=45°+30°,利用两角和的正切公式求解;(2)由已知可求得sin α的值,则可求得tan α的值,因为β=α-(α-β),所以tan β=tan[α-(α-β)],再利用两角差的正切公式求解.
二、正切公式的逆用
例2　求值:(1);
(2).
方法指导　(1)逆用两角和的正切公式;(2)将换成tan 60°,再逆用两角差的正切公式.
【方法总结】　　(1)利用公式T(α+β),T(α-β)求角的步骤:①计算待求角的正切值;②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息;③根据角的范围及三角函数值确定角.
(2)注意用已知角来表示未知角.
1.(1)已知tan=,则tan α=　　　　.
(2)已知角α,β均为锐角,且cos α=,tan(α-β)=-,则tan β=　　　　.
2.=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.
3.=　　　　.
探究2　正切公式在实际问题中的应用
例3　某购物广场准备建造一座大型电子屏幕.已知大屏幕下端B处离地面3.5米,大屏幕高4米,若某位观众眼睛离地面1.5米.为获得观看的最佳视野(最佳视野是指看到屏幕上下端夹角的最大值),这位观众距离大屏幕所在的平面距离应为　　　　米.
方法指导　构造直角三角形,利用两角差的正切公式求得表达式,利用基本不等式求解即可.
【方法总结】　　应用两角和与差的正切公式解决问题,要熟记公式特征,选择合适的公式求解.切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那样会凭空增加计算量,而且容易出错,先整体观察题目的特点,再寻找最简单的解题方法.
如图,三个相同的正方形相接,则tan∠AEB的值是(　　).
　　　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.-1
探究3　和、差公式在三角形中的应用
问题1:根据两角和与差的正切公式,tan α+tan β,tan α-tan β的变形是什么
问题2:若α=20°,β=25°,则(1+tan α)(1+tan β)的值是多少
新知运用
例4　根据下列条件,判断△ABC的形状(其中A,B,C为△ABC的三个内角).
(1)tan Atan B=1;
(2)tan Atan B>1;
(3)tan A+tan B+=tan Atan B且sin Acos A=.
方法指导　(1)(2)切函数化为弦函数,通过三角函数值符号判断;(3)利用两角和的正切公式的变形,得到C的值,再利用同角三角函数的基本关系求角A,B的大小.
【方法总结】　　解答有关三角形的题目(求角、求某个角的三角函数值、判断三角形的形状等)时,常用两角和与差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公式)来处理.解答过程中探寻与三角形的内角和定理A+B+C=π结合应用的解题思路,渗透了数学运算的核心素养.
在非直角△ABC中,
(1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)若2B=A+C,且tan Atan C=2+,求△ABC的三个内角的大小.
【随堂检测】
1.若tan β=3,tan(α-β)=-2,则tan α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.- C.1 D.-1
2.若tan 28°tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=(　　).
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
3.tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=　　　　.
4.
赵爽是我国古代的数学家、天文学家.约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方程”,亦称“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,这是一张弦图,已知大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,若直角三角形较小的锐角为α,则tanα-的值为　　　　.
22.1 课时3 两角和与差的正切公式
【学习目标】
1.会推导出两角和与差的正切公式.(逻辑推理)
2.熟记公式的形式及符号特征,掌握公式的变形形式.(逻辑推理)
3.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简.(数学运算)
【自主预习】
1.两角和的正弦、余弦公式是什么
【答案】　 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
2.两角差的正弦、余弦公式是什么
【答案】　 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
1.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=　　　　.
【答案】　
【解析】　tan(α-β)===.
2.已知tan α=2,则tanα+=　　　　.
【答案】　-3
【解析】　tanα+===-3.
3.=　　　　.
【答案】　
【解析】　原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
4.已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为　　　　.
【答案】　
【解析】　因为sin α=,α是第一象限角,所以cos α==,所以tan α==,
所以tan β=tan[(α+β)-α]==.
【合作探究】
探究1 两角和与差的正切公式
问题1:从两角和的正、余弦公式出发,你能推导出两角和的正切公式吗
【答案】　当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)==.
若cos αcos β≠0时,将上式的分子、分母分别除以cos αcos β,得tan(α+β)=.
问题2:两角差的正切公式又如何推导呢
【答案】　类比问题1的推导方法或用-β代替β即可得到tan(α-β)=.
问题3:两角和的正切公式中角α,β的取值范围是什么 为什么
【答案】　公式中角α,β的取值范围是α+β≠+kπ,k∈Z,α≠+kπ,k∈Z,β≠+kπ,k∈Z.因为要得到两角和的正切公式,先是将cos(α+β)作分母,然后是分式分子、分母同时除以cos αcos β,得到tan(α+β)=.根据分母不能为零可得取值范围.
新知生成
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记 条件
两角和的 正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α≠kπ+,k∈Z,β≠kπ+,k∈Z,α+β≠kπ+,k∈Z,α-β≠kπ+,k∈Z
两角差的 正切公式 tan(α-β)= T(α-β)
　　特别提醒:(1)在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z,这是由正切函数的定义域决定的.
(2)在应用两角和与差的正切公式时,只要tan α,tan β,tan(α+β)(或tan(α-β))中任一个的值不存在,就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题,应改用诱导公式或其他方法解题.如化简tan,因为tan的值不存在,所以不能利用公式T(α-β)进行化简,应改用诱导公式来化简,即tan==.
新知运用
一、正切公式的正用
例1　(1)求tan(-75°)的值;
(2)已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan β的值.
方法指导　(1)75°=45°+30°,利用两角和的正切公式求解;(2)由已知可求得sin α的值,则可求得tan α的值,因为β=α-(α-β),所以tan β=tan[α-(α-β)],再利用两角差的正切公式求解.
【解析】　(1)∵tan 75°=tan(45°+30°)
===
==2+,
∴tan(-75°)=-tan 75°=-2-.
(2)∵cos α=>0,α∈(0,π),∴sin α>0,
∴sin α== =,
∴tan α===,
∴tan β=tan[α-(α-β)]=
==.
二、正切公式的逆用
例2　求值:(1);
(2).
方法指导　(1)逆用两角和的正切公式;(2)将换成tan 60°,再逆用两角差的正切公式.
【解析】　(1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)原式=
=tan(60°-15°)=tan 45°=1.
【方法总结】　　(1)利用公式T(α+β),T(α-β)求角的步骤:①计算待求角的正切值;②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息;③根据角的范围及三角函数值确定角.
(2)注意用已知角来表示未知角.
1.(1)已知tan=,则tan α=　　　　.
(2)已知角α,β均为锐角,且cos α=,tan(α-β)=-,则tan β=　　　　.
【答案】　(1)　(2)3
【解析】　(1)因为tan=,
所以tan α=tan===.
(2)因为cos α=,α为锐角,所以sin α=,tan α=,
所以tan β=tan[α-(α-β)]===3.
2.=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.
【答案】　A
【解析】　==tan 30°=.
3.=　　　　.
【答案】　
【解析】　原式===.
探究2　正切公式在实际问题中的应用
例3　某购物广场准备建造一座大型电子屏幕.已知大屏幕下端B处离地面3.5米,大屏幕高4米,若某位观众眼睛离地面1.5米.为获得观看的最佳视野(最佳视野是指看到屏幕上下端夹角的最大值),这位观众距离大屏幕所在的平面距离应为　　　　米.
方法指导　构造直角三角形,利用两角差的正切公式求得表达式,利用基本不等式求解即可.
【解析】　
如图,作CD⊥AB于D,AB=4,BD=3.5-1.5=2,
设CD=t,则tan∠BCD=,tan∠ACD=,∠ACB∈0,,
∴tan∠ACB=tan(∠ACD-∠BCD)=
===≤=,当且仅当t=,即t=2时取等号,
　　∴当CD=2,即这位观众距离大屏幕所在的平面为2米时,可以获得观看的最佳视野.
【方法总结】　　应用两角和与差的正切公式解决问题,要熟记公式特征,选择合适的公式求解.切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那样会凭空增加计算量,而且容易出错,先整体观察题目的特点,再寻找最简单的解题方法.
如图,三个相同的正方形相接,则tan∠AEB的值是(　　).
　　　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.-1
【答案】　B
【解析】　因为tan∠AED==3,tan∠BED==2,
所以tan∠AEB=tan(∠AED-∠BED)==.
探究3　和、差公式在三角形中的应用
问题1:根据两角和与差的正切公式,tan α+tan β,tan α-tan β的变形是什么
【答案】　tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
问题2:若α=20°,β=25°,则(1+tan α)(1+tan β)的值是多少
【答案】　∵tan 45°=tan(20°+25°)==1,
∴tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°,
∴(1+tan α)(1+tan β)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.
新知运用
例4　根据下列条件,判断△ABC的形状(其中A,B,C为△ABC的三个内角).
(1)tan Atan B=1;
(2)tan Atan B>1;
(3)tan A+tan B+=tan Atan B且sin Acos A=.
方法指导　(1)(2)切函数化为弦函数,通过三角函数值符号判断;(3)利用两角和的正切公式的变形,得到C的值,再利用同角三角函数的基本关系求角A,B的大小.
【解析】　(1)由tan Atan B==1,切化弦得cos(A+B)=0,所以cos C=-cos(A+B)=0,所以C=90°,故△ABC为直角三角形.
(2)切化弦得cos(A+B)<0,从而cos C=-cos(A+B)>0,
所以C为锐角,又tan Atan B>1,且tan A,tan B不能同时为负值,故A,B都是锐角,即△ABC为锐角三角形.
(3)由tan A+tan B+=tan Atan B得,
=-,即tan(A+B)=-,则tan C=-tan(A+B)=,又C∈(0°,180°),从而C=60°.
由sin Acos A=,得sin2Acos2A=,化为16cos4A-16cos2A+3=0,
得cos2A=或cos2A=,
解得cos A=±或cos A=±.
因为sin Acos A=,所以cos A>0,所以cos A=或cos A=.
又因为0°当A=30°时,C=60°,所以B=90°,与tan B有意义矛盾,舍去,
所以A=60°,B=60°,C=60°,即△ABC为正三角形.
【方法总结】　　解答有关三角形的题目(求角、求某个角的三角函数值、判断三角形的形状等)时,常用两角和与差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公式)来处理.解答过程中探寻与三角形的内角和定理A+B+C=π结合应用的解题思路,渗透了数学运算的核心素养.
在非直角△ABC中,
(1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)若2B=A+C,且tan Atan C=2+,求△ABC的三个内角的大小.
【解析】　(1)∵A+B+C=180°,
∴tan(A+B)=-tan C,
又tan A+tan B=(1-tan Atan B)tan(A+B),
∴tan A+tan B+tan C
=(1-tan Atan B)tan(A+B)+tan C
=(1-tan Atan B)(-tan C)+tan C=tan Atan Btan C.
(2)∵2B=A+C,A+B+C=180°,∴B=60°,∴A+C=120°.
则tan(A+C)==-,
tan A+tan C=-×(-1-)=3+.
∴tan A,tan C是方程x2-(3+)x+2+=0的两个根.
∴或
则B=60°,A=45°,C=75°或B=60°,C=45°,A=75°.
【随堂检测】
1.若tan β=3,tan(α-β)=-2,则tan α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.- C.1 D.-1
【答案】　A
【解析】　tan α=tan[(α-β)+β]
===.
2.若tan 28°tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=(　　).
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
【答案】　B
【解析】　tan(28°+32°)=tan 60°===,
所以tan 28°+tan 32°=(1-m).
3.tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=　　　　.
【答案】　1
【解析】　因为tan 45°=tan(19°+26°)==1,
　　所以tan 19°+tan 26°=1-tan 19°tan 26°,
则tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=1.
4.
赵爽是我国古代的数学家、天文学家.约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方程”,亦称“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,这是一张弦图,已知大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,若直角三角形较小的锐角为α,则tanα-的值为　　　　.
【答案】　7
【解析】　设直角三角形较小的直角边为x,则较大的直角边为x+1,又正方形边长为5,
∴x2+(x+1)2=25,解得x=3或x=-4(舍去),
∴tan α=,∴tanα-====7.
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