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2.2 二倍角的三角函数
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.(数学运算)
【自主预习】
1.写出两角和的正弦、余弦、正切公式.
2.写出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
3.在推导二倍角公式的过程中,二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗
4.在sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式中,2α是α的倍角,角α一定为具体角吗
1.已知cos α=,则cos 2α=　　　　.
2.cos245°-sin245°=　　　　.
3.已知tan α=,则tan 2α=　　　　.
【合作探究】
探究1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　根据公式S(α+β),C(α+β),T(α+β),回答下列问题.
问题1:在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β,公式的形式又是什么
问题2:二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特征是什么 它的简写和简称是什么
新知生成
二倍角公式
(1)sin 2α=　2sin αcos α　.
(2)cos 2α=　cos2α-sin2α　=　2cos2α-1　=　1-2sin2α　.
(3)tan 2α= 　.
特别提醒:(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
(2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+,k∈Z.当α=kπ+及α=kπ-,k∈Z时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+,k∈Z时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
新知运用
一、给角求值
例1　求下列各式的值:
(1)sincos;(2)cos2-sin2;
(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
方法指导　(1)逆用二倍角的正弦公式求解;(2)逆用二倍角的余弦公式求解;(3)逆用二倍角的正切公式求解;(4)需分子、分母同乘2sin 20°,凑二倍角的正弦公式求解.
【方法总结】　　对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
二、条件求值
例2　已知cosα+=,≤α<,求cos2α+的值.
【变式探究】
1.若本例条件不变,求的值.
2.若本例条件变为“sinα-=”,求sin2α+的值.
【方法总结】　　解决条件求值问题,要注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
1.已知=2,则tan 2α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
2.求下列各式的值:
(1)cos 72°cos 36°;
(2)tan-.
3.已知sin-x=,0探究2　二倍角公式的变形形式
　　现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体的长度之比,其比值为;(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.
问题1:根据上述信息,你能求出cos 36°吗
问题2:若已知cos 2α=,如何求sin α呢
新知生成
1.二倍角的余弦公式变形
(1)cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(2)cos2α=,sin2α=.
2.二倍角的正弦公式变形
(1)sin αcos α=sin 2α.
(2)1±sin 2α=　(sin α±cos α)2　.
新知运用
例3　求下列各式的值:
(1)-cos215°;
(2)-.
方法指导　(1)用余弦倍角公式的变形求解;(2)利用辅助角公式和正弦的倍角公式的变形求解.
【方法总结】　　(1)逆用二倍角公式,结合特殊角的三角函数值、诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角或能约分求值的即可.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
已知α∈,且sin 2α=sin,求α的大小.
【随堂检测】
1.若cos α<0,且sin 2α>0,则角α的终边在(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.下列各式中,值为的是(　　).
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215° D.sin215°+cos215°
3.已知sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是　　　.
4.已知cos α=-,α∈,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
22.2 二倍角的三角函数
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.(数学运算)
【自主预习】
1.写出两角和的正弦、余弦、正切公式.
【答案】　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;
tan(α+β)=.
2.写出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
【答案】　sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
3.在推导二倍角公式的过程中,二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗
【答案】　在sin 2α,cos 2α中,α为任意角,在tan 2α中,2α≠+kπ,k∈Z,即α≠+,k∈Z.
4.在sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式中,2α是α的倍角,角α一定为具体角吗
【答案】　角α不一定是具体角,也可为角的关系式.
1.已知cos α=,则cos 2α=　　　　.
【答案】　-
【解析】　cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
2.cos245°-sin245°=　　　　.
【答案】　0
【解析】　cos245°-sin245°=cos 90°=0.
3.已知tan α=,则tan 2α=　　　　.
【答案】　-
【解析】　tan 2α===-.
【合作探究】
探究1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　根据公式S(α+β),C(α+β),T(α+β),回答下列问题.
问题1:在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β,公式的形式又是什么
【答案】　sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α;
cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α;
tan 2α=tan(α+α)==.
问题2:二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特征是什么 它的简写和简称是什么
【答案】　二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特征是公式左端是二倍角的三角函数,右端是单角的三角函数;它的简写分别是S2α,C2α,T2α,简称是倍角公式,其他三倍角、四倍角公式不能这样简称.
新知生成
二倍角公式
(1)sin 2α=　2sin αcos α　.
(2)cos 2α=　cos2α-sin2α　=　2cos2α-1　=　1-2sin2α　.
(3)tan 2α= 　.
特别提醒:(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
(2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+,k∈Z.当α=kπ+及α=kπ-,k∈Z时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+,k∈Z时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
新知运用
一、给角求值
例1　求下列各式的值:
(1)sincos;(2)cos2-sin2;
(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
方法指导　(1)逆用二倍角的正弦公式求解;(2)逆用二倍角的余弦公式求解;(3)逆用二倍角的正切公式求解;(4)需分子、分母同乘2sin 20°,凑二倍角的正弦公式求解.
【解析】　(1)原式=×2sincos=×sin=×=.
(2)原式=cos=cos=.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
(4) 原式=
==
==.
【方法总结】　　对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
二、条件求值
例2　已知cosα+=,≤α<,求cos2α+的值.
【解析】　∵≤α<,∴≤α+<.
∵cosα+>0,∴<α+<.
∴sinα+=-=-=-.
∴cos 2α=sin2α+=2sinα+cosα+=2×-×=-,
sin 2α=-cos2α+=1-2cos2α+=1-2×2=.
∴cos2α+=cos 2α-sin 2α=×--=-.
【变式探究】
1.若本例条件不变,求的值.
【解析】　原式==(cos α-sin α)=2cosα+=.
2.若本例条件变为“sinα-=”,求sin2α+的值.
【解析】　∵sinα-=,
∴sin αcos-cos αsin=,
两边平方,得sin2α+-sin 2α=,
∴·+-sin 2α=,
即sin 2α·+cos 2α·=,
∴sin2α+=.
【方法总结】　　解决条件求值问题,要注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
1.已知=2,则tan 2α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】　A
【解析】　因为=
==
=tan α+=2,
所以tan α=3,从而可得tan 2α===-.
2.求下列各式的值:
(1)cos 72°cos 36°;
(2)tan-.
【解析】　(1)原式====.
(2)原式==-2×
　　=-2×==-2.
3.已知sin-x=,0【解析】　原式===2sin+x.
∵0∵cos+x=sin-x=,
∴sin+x==,
∴原式=2×=.
探究2　二倍角公式的变形形式
　　现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体的长度之比,其比值为;(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.
问题1:根据上述信息,你能求出cos 36°吗
【答案】　如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=36°,AB=BC=a,AC=b,取AC的中点D,连接BD.
因为=,sin=×=×=,
所以cos∠ABC=1-2sin2=1-2×=,
所以cos 36°=.
问题2:若已知cos 2α=,如何求sin α呢
【答案】　由公式cos 2α=cos2α-sin2α以及cos2α+sin2α=1,可以得到2sin2α=1-cos 2α,由此求出sin α=.
新知生成
1.二倍角的余弦公式变形
(1)cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(2)cos2α=,sin2α=.
2.二倍角的正弦公式变形
(1)sin αcos α=sin 2α.
(2)1±sin 2α=　(sin α±cos α)2　.
新知运用
例3　求下列各式的值:
(1)-cos215°;
(2)-.
方法指导　(1)用余弦倍角公式的变形求解;(2)利用辅助角公式和正弦的倍角公式的变形求解.
【解析】　(1)-cos215°=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-.
(2)-=
=
=
==4.
【方法总结】　　(1)逆用二倍角公式,结合特殊角的三角函数值、诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角或能约分求值的即可.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
已知α∈,且sin 2α=sin,求α的大小.
【解析】　∵sin 2α=-cos=-
=1-2cos2,
sin=-sin=-cos
=-cos,
∴原式可化为1-2cos2=-cos,
解得cos=1或cos=-.
∵α∈,∴α+∈,
∴α+=0或α+=,
即α=-或α=.
【随堂检测】
1.若cos α<0,且sin 2α>0,则角α的终边在(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】　C
【解析】　因为cos α<0,且sin 2α=2sin αcos α>0,
所以sin α<0,所以角α的终边在第三象限.
2.下列各式中,值为的是(　　).
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215° D.sin215°+cos215°
【答案】　B
【解析】　2sin 15°cos 15°=sin 30°=;
cos215°-sin215°=cos 30°=;
2sin215°=1-cos 30°=1-;
sin215°+cos215°=1.故选B.
3.已知sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是　　　.
【答案】　
【解析】　∵α∈,∴sin α>0,
又∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,
∴cos α=-,∴sin α=,tan α=-,
∴tan 2α===.
4.已知cos α=-,α∈,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
【解析】　∵cos α=-,α∈,
∴sin α=-=-,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,
∴tan 2α==.
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