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2.3 课时1 半角公式
【学习目标】
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理、数学运算)
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算)
【自主预习】
1.我们学过三角函数的哪些公式
2.二倍角的余弦公式是什么
3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么
4.半角公式中的符号是如何确定的
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=. (　　)
(2)存在α∈R,使得cos=cos α. (　　)
(3)对于任意α∈R,sin=sin α都不成立. (　　)
(4)若α是第一象限角,则tan=. (　　)
2.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为(　　).
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
3.设α∈(π,2π),则=　　　　.
【合作探究】
探究1 半角公式
　　对于公式“cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α”,探究下列问题.
问题1:若用角α替换2α,其结果是什么
问题2:根据上述结果,试用cos α,sin α表示cos,sin,tan.
问题3:利用商数关系,tan能否不用开方的形式来表示
新知生成
半角公式
sin =±,cos=±,tan=±.
新知运用
例1　已知cos α=,且α∈[π,2π],求sin,cos,tan的值.
方法指导　先求出的取值范围,再结合二倍角的降幂公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.
【方法总结】　　利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 =,cos2 =计算.
已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin +cos =(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B. C.- D.
探究2　万能公式
问题1:任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有什么数量关系
问题2:半角公式的符号是怎样确定的
问题3:当α≠2kπ+π(k∈Z)时,如何用的正切值表示α的正弦值、余弦值
问题4:是α的半角,能用不带根号的α的正弦值、余弦值表示tan吗
新知生成
1.tan==.
2.万能公式
当α≠2kπ+π(k∈Z)时,
sin α=,cos α=,tan α=.
新知运用
例2　已知α∈,tan α=2,则sin2-α-2cos2α+1的值为　　　　.
方法指导　先由tan α=2求出sin 2α,cos 2α的值,再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简,将sin 2α,cos 2α的值代入即可求解.
【方法总结】　　利用万能公式解题要注意公式成立的条件.
已知tan=3,则cos 2θ=　　　　.
探究3　三角函数式的化简与证明
例3　(1)化简:(π<α<2π).
(2)证明:=.
方法指导　(1)利用cos α=2cos2-1消去分母和分子中的“1”,然后利用cos α=cos2-sin2合并角,分子、分母约分可得最简形式.
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.
【方法总结】　　(1)化简三角函数式时,既要注意分析角之间的差异,寻求角的变换方法,还要观察三角函数的结构特征,寻求化同名(化弦或化切)的方法,明确变形的目的.
(2)三角恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.
①无条件的恒等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简,左右归一,变更论证等.
②有条件的恒等式证明,常常先观察条件与欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系,灵活使用条件,变形得证.
1.化简:(-π<α<0).
2.证明:=(tan θ+1).
【随堂检测】
1.tan=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.-1 D.-1
2.已知cos α=,α∈,则sin =(　　).
A. B.- C. D.
3.若=,则sin 2θ=　　　　.
4.证明:·=tan .
22.3 课时1 半角公式
【学习目标】
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理、数学运算)
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算)
【自主预习】
1.我们学过三角函数的哪些公式
【答案】　同角基本关系式,诱导公式,两角和差的三角函数公式,二倍角公式.
2.二倍角的余弦公式是什么
【答案】　cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么
【答案】　sin=±,cos=±,tan=±.
4.半角公式中的符号是如何确定的
【答案】　(1)当给出角α的具体范围时,先求的范围,然后根据的范围确定符号.
(2)如果没有给出决定符号的条件,那么在根号前要保留正负号.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=. (　　)
(2)存在α∈R,使得cos=cos α. (　　)
(3)对于任意α∈R,sin=sin α都不成立. (　　)
(4)若α是第一象限角,则tan=. (　　)
【答案】　 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为(　　).
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
【答案】　C
【解析】　由题意知∈0,,所以cos>0,所以cos==.
3.设α∈(π,2π),则=　　　　.
【答案】　sin
【解析】　===sin.
因为α∈(π,2π),所以∈,π,所以sin>0,故原式=sin.
【合作探究】
探究1 半角公式
　　对于公式“cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α”,探究下列问题.
问题1:若用角α替换2α,其结果是什么
【答案】　结果为cos α=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.
问题2:根据上述结果,试用cos α,sin α表示cos,sin,tan.
【答案】　sin=±;cos=±;
tan=±.
问题3:利用商数关系,tan能否不用开方的形式来表示
【答案】　tan===;
tan===.
新知生成
半角公式
sin =±,cos=±,tan=±.
新知运用
例1　已知cos α=,且α∈[π,2π],求sin,cos,tan的值.
方法指导　先求出的取值范围,再结合二倍角的降幂公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.
【解析】　由倍角公式可得,sin2==,
cos2==,所以tan2==.
由α∈[π,2π],得∈,
故sin=,cos=-,tan=-.
【方法总结】　　利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 =,cos2 =计算.
已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin +cos =(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B. C.- D.
【答案】　D
【解析】　∵θ∈(π,2π),∴∈,π,∴sin ==,cos =-=-,∴sin +cos =.
探究2　万能公式
问题1:任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有什么数量关系
【答案】　是α的半角,α是2α的半角.
问题2:半角公式的符号是怎样确定的
【答案】　半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.
问题3:当α≠2kπ+π(k∈Z)时,如何用的正切值表示α的正弦值、余弦值
【答案】　sin α==,cos α==.
问题4:是α的半角,能用不带根号的α的正弦值、余弦值表示tan吗
【答案】　能,tan===,
同理tan====.
新知生成
1.tan==.
2.万能公式
当α≠2kπ+π(k∈Z)时,
sin α=,cos α=,tan α=.
新知运用
例2　已知α∈,tan α=2,则sin2-α-2cos2α+1的值为　　　　.
方法指导　先由tan α=2求出sin 2α,cos 2α的值,再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简,将sin 2α,cos 2α的值代入即可求解.
【答案】　
【解析】　因为α∈,所以2α∈,因为tan α=2,
所以sin 2α==,cos 2α===-,
所以sin2-2cos2α+1=-cos 2α=-cos 2α=-=.
【方法总结】　　利用万能公式解题要注意公式成立的条件.
已知tan=3,则cos 2θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　令α=θ-,则θ=α+,且tan α=3,
所以cos 2θ=cos=-sin 2α===-.
探究3　三角函数式的化简与证明
例3　(1)化简:(π<α<2π).
(2)证明:=.
方法指导　(1)利用cos α=2cos2-1消去分母和分子中的“1”,然后利用cos α=cos2-sin2合并角,分子、分母约分可得最简形式.
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.
【解析】　(1)原式=
=
=.
又∵π<α<2π,∴<<π,∴cos<0,
∴原式==cos α.
(2)左边=
======右边.
所以原等式成立.
【方法总结】　　(1)化简三角函数式时,既要注意分析角之间的差异,寻求角的变换方法,还要观察三角函数的结构特征,寻求化同名(化弦或化切)的方法,明确变形的目的.
(2)三角恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.
①无条件的恒等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简,左右归一,变更论证等.
②有条件的恒等式证明,常常先观察条件与欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系,灵活使用条件,变形得证.
1.化简:(-π<α<0).
【解析】　原式=
=
==.
∵-π<α<0,∴-<<0,
∴sin<0,
∴原式==cos α.
2.证明:=(tan θ+1).
【解析】　由二倍角公式sin 2θ=2sin θcos θ,cos 2θ=cos2θ-sin2θ以及sin2θ+cos2θ=1,
可得=
==
=+=(tan θ+1),得证.
【随堂检测】
1.tan=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.-1 D.-1
【答案】　C
【解析】　tan==-1.
2.已知cos α=,α∈,则sin =(　　).
A. B.- C. D.
【答案】　A
【解析】　∵α∈,∴∈,∴sin ==.
3.若=,则sin 2θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由题意可得=,解得tan θ=-4,所以sin 2θ==-.
4.证明:·=tan .
【解析】　左边=·=·
===tan =右边.
所以原等式成立.
2

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