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2.3 课时2 和差化积和积化和差公式
【学习目标】
1.能根据公式S(α±β)和C(α±β)进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式.(逻辑推理、数学运算)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式,利用它们对三角函数式进行恒等变形.可以达到化简、求值或证明的目的,观察对比四个公式,我们发现它们都是由cos αcos β,sin α·sin β,sin αcos β,cos αsin β构成.据此,我们能否直接表示出cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β 下面来研究这个问题.
1.积化和差与和差化积公式的推导中运用了什么数学思法方法
【答案】　积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”的思想.
2.积化和差与和差化积公式有什么特点
【答案】　理解为三角恒等变换中的因式分解.
3.积化和差公式是什么
【答案】　sin αcos β=;
cos αsin β=;
sin αsin β=;
cos αcos β=.
4.和差化积公式是什么
【答案】　sin α+sin β=2sincos;
sin α-sin β=2cossin;
cos α+cos β=2coscos;
cos α-cos β=-2sinsin.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. (　　)
(2)sin αsin β=[cos(α+β)-cos(α-β)]. (　　)
(3)cos x+=2cos+cos-. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　 (3)√
2.sin 15°sin 75°=(　　).
A.　　B.　　C.　　D.
【答案】　B
【解析】　sin 15°sin 75°=-[cos(75°+15°)-cos(75°-15°)]=-(cos 90°-cos 60°)=.
故选B.
3.sin 105°+sin 15°=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　sin 105°+sin 15°=2sincos
=2sin 60°cos 45°=2××=.
故选C.
4.化简:(1)sin 84°cos 114°=　　　　;
(2)cos+cos=　　　　.
【答案】　(1)-sin 18°-　(2)2coscos
【解析】　(1)sin 84°cos 114°=[sin(84°+114°)+sin(84°-114°)]=(sin 198°-sin 30°)=sin 198°-=-sin 18°-.
(2)cos+cos=2cos ·cos=2coscos.
【合作探究】
探究1 和差化积公式
问题1:如何化简sin+sin
【答案】　把sin+sin展开整理得原式=2sincos α.
问题2:对任意两个角,sin x+sin y应该等于什么
【答案】　sin x+sin y=2sincos.
问题3:和差化积公式的适用条件是什么
【答案】　只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,若是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式.
新知生成
和差化积公式
设α+β=x,α-β=y,则α=,β=,则
sin x+sin y=2sincos;
sin x-sin y=2cossin;
cos x+cos y=2coscos;
cos x-cos y=-2sinsin.
新知运用
例1　求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.
【解析】　原式=++(sin 70°-sin 30°)
=1+(cos 100°-cos 40°)+sin 70°-
=+(-2sin 70°sin 30°)+sin 70°
=-sin 70°+sin 70°=.
【方法总结】　　和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:①运用公式之后,能否出现特殊角;②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
(3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如-cos α=cos -cos α.
求sin 54°-sin 18°的值.
【解析】　原式=2cos sin =2cos 36°sin 18°
=2×
===.
探究2　积化和差公式
问题1:如何运用已知的公式证明sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] 你还能得出什么结论
【答案】　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
两式相加,得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
所以sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],
两式相减,得cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
问题2:利用两角和差的余弦,你能求出cos αcos β,sin αsin β的表达式吗
【答案】　回忆两角和与差的三角函数公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
通过两式相加减,得
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
新知生成
积化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
新知运用
例2　求值:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
方法指导　利用积化和差公式化简求值,注意角的变换,尽量出现特殊角.
【解析】　(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
(2)原式=cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
=cos 10°cos 50°cos 70°
=
=cos 70°+cos 40°cos 70°
=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)
=cos 70°+cos 110°+=.
【方法总结】　　积化和差公式的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数值相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.
【解析】　由题意,得cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(π-B)-sin(A-C)]=-sin(A-C).
∵B=30°,∴-150°∴-≤-sin(A-C)≤,∴cos Asin C的取值范围是.
探究3　三角变换的简单应用
例3　如图所示,要把半径为R,圆心角为的扇形木料截成矩形,应怎样截取,才能使矩形EFGH的面积最大
方法指导　根据三角函数的边角关系,结合三角恒等变换将求矩形面积转化为构造正弦型三角函数,再利用三角函数的性质求得最大值即可.
【解析】　如图,作∠POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,
设∠MOE=α,α∈0,,
在Rt△MOE中,|ME|=Rsin α,|OM|=Rcos α,
在Rt△ONH中,=tan ,所以|ON|=|NH|=Rsin α,
则|MN|=|OM|-|ON|=R(cos α-sin α).
设矩形EFGH的面积为S,则S=2|ME|·|MN|=2R2sin α·(cos α-sin α)=R2(sin 2α+cos 2α-)=2R2sin2α+-R2,
由α∈0,,得2α+∈,,
所以当2α+=,即α=时,Smax=(2-)R2,
故当E,F为弧PQ上分别靠近P,Q的四等分点时,矩形EFGH的面积最大.
【方法总结】　　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin (ωx+φ)+k或y=Acos (ωx+φ)+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质,解决实际问题.
某小区拟用一块如图所示的半圆形地块建造一个居民活动区和绿化区.已知半圆形地块的直径AB=4千米,O是半圆的圆心,在圆弧上取点C,D,使得BC=DC,把四边形ABCD建为居民活动区,并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB,BC,CD和DA组成的塑胶跑道,其他部分建为绿化区.设∠COB=θ,且≤θ<.
(1)求塑胶跑道的总长l关于θ的函数关系式;
(2)当θ为何值时,塑胶跑道的总长l最长,并求出l的最大值.
【解析】　(1)由已知得BC=CD=2OB·sin =4sin ,∠AOD=π-2θ,
故AD=2OA·sin =4sin-θ=4cos θ,
所以l=AB+BC+CD+DA=4+8sin +4cos θ,≤θ<.
(2)由(1)得l=4+8sin +4cos θ=4+8sin +41-2sin2=-8sin2+8sin +8=-8sin -2+10≤10,
因为≤θ<,所以当θ=时,l取得最大值,最大值为10千米.
【随堂检测】
1.sin 105°cos 75°的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.- D.-
【答案】　B
【解析】　sin 105°cos 75°=(sin 180°+sin 30°)=.
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为(　　).
A.- B. C. D.-
【答案】　B
【解析】　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]
=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.故选B.
3.下列等式正确的是(　　).
A.sin x+sin y=2sin sin
B.sin x-sin y=2cos cos
C.cos x+cos y=2cos cos
D.cos x-cos y=2sin sin
【答案】　C
【解析】　由和差化积公式知C正确.
4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二.
(1)求sinx+的值;
(2)应按角度x是多少来截取
【解析】　(1)设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,解得=.
又a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,即sinx+=,
解得sinx+=.
(2)由(1)知sinx+=,
因为0故应按角度x=或来截取.
22.3 课时2 和差化积和积化和差公式
【学习目标】
1.能根据公式S(α±β)和C(α±β)进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式.(逻辑推理、数学运算)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式,利用它们对三角函数式进行恒等变形.可以达到化简、求值或证明的目的,观察对比四个公式,我们发现它们都是由cos αcos β,sin α·sin β,sin αcos β,cos αsin β构成.据此,我们能否直接表示出cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β 下面来研究这个问题.
1.积化和差与和差化积公式的推导中运用了什么数学思法方法
2.积化和差与和差化积公式有什么特点
3.积化和差公式是什么
4.和差化积公式是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. (　　)
(2)sin αsin β=[cos(α+β)-cos(α-β)]. (　　)
(3)cos x+=2cos+cos-. (　　)
2.sin 15°sin 75°=(　　).
A.　　B.　　C.　　D.
3.sin 105°+sin 15°=(　　).
A. B. C. D.
4.化简:(1)sin 84°cos 114°=　　　　;
(2)cos+cos=　　　　.
【合作探究】
探究1 和差化积公式
问题1:如何化简sin+sin
问题2:对任意两个角,sin x+sin y应该等于什么
问题3:和差化积公式的适用条件是什么
新知生成
和差化积公式
设α+β=x,α-β=y,则α=,β=,则
sin x+sin y=2sincos;
sin x-sin y=2cossin;
cos x+cos y=2coscos;
cos x-cos y=-2sinsin.
新知运用
例1　求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.
【方法总结】　　和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:①运用公式之后,能否出现特殊角;②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
(3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如-cos α=cos -cos α.
求sin 54°-sin 18°的值.
探究2　积化和差公式
问题1:如何运用已知的公式证明sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] 你还能得出什么结论
问题2:利用两角和差的余弦,你能求出cos αcos β,sin αsin β的表达式吗
新知生成
积化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
新知运用
例2　求值:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
方法指导　利用积化和差公式化简求值,注意角的变换,尽量出现特殊角.
【方法总结】　　积化和差公式的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数值相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.
探究3　三角变换的简单应用
例3　如图所示,要把半径为R,圆心角为的扇形木料截成矩形,应怎样截取,才能使矩形EFGH的面积最大
方法指导　根据三角函数的边角关系,结合三角恒等变换将求矩形面积转化为构造正弦型三角函数,再利用三角函数的性质求得最大值即可.
【方法总结】　　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin (ωx+φ)+k或y=Acos (ωx+φ)+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质,解决实际问题.
某小区拟用一块如图所示的半圆形地块建造一个居民活动区和绿化区.已知半圆形地块的直径AB=4千米,O是半圆的圆心,在圆弧上取点C,D,使得BC=DC,把四边形ABCD建为居民活动区,并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB,BC,CD和DA组成的塑胶跑道,其他部分建为绿化区.设∠COB=θ,且≤θ<.
(1)求塑胶跑道的总长l关于θ的函数关系式;
(2)当θ为何值时,塑胶跑道的总长l最长,并求出l的最大值.
【随堂检测】
1.sin 105°cos 75°的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.- D.-
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为(　　).
A.- B. C. D.-
3.下列等式正确的是(　　).
A.sin x+sin y=2sin sin
B.sin x-sin y=2cos cos
C.cos x+cos y=2cos cos
D.cos x-cos y=2sin sin
4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二.
(1)求sinx+的值;
(2)应按角度x是多少来截取
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