资源简介

3.1 复数的概念
【学习目标】
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.(数学抽象)
2.理解复数的概念、表示方法及相关概念.(数学抽象)
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是复数 它的代数形式是什么
2.什么是虚数单位 对于虚数单位有什么规定
3.复数分为哪两大类
4.两个复数相等的条件是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (　　)
(2)复数i的实部不存在,虚部为0. (　　)
(3)bi是纯虚数. (　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. (　　)
2.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为(　　).
A.-1 B.2 C.1 D.-2
3.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　　　　.
【合作探究】
探究1　复数的相关概念
问题1:方程x2=1有解吗 解是什么 方程x2+1=0在实数范围内有解吗
问题2:若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗
问题3:添加i之后,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候,会产生怎样的新数
问题4:复数由哪些数组成
新知生成
1.复数
(1)定义:形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数,其中a称为复数a+bi的实部,b称为复数a+bi的虚部,i称为虚数单位,满足i2=-1.
(2)表示方法:通常用字母z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R).
一般将复数z的实部记作Re z,虚部记作Im z.
2.复数集
全体复数组成的集合称为复数集,用C表示,于是C={a+bi|a,b∈R}.
3.复数的分类
当b=0时,复数a+0i就是实数a;当b≠0时,a+bi称为虚数;而当b≠0且a=0时,bi称为纯虚数.
复数z=a+bi
新知运用
例1　(多选题)已知复数z=x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是(　　).
A.z的实部是x
B.z的虚部是yi
C.若z=1+2i,则x=1,y=2
D.当x=0且y≠0时,z是纯虚数
例2　当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m-15)i是下列数
(1)虚数;
(2)纯虚数.
【方法总结】　　(1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数的性质并给出结论时,一定要注意在哪个数集范围内.(2)确定复数的实部、虚部时,不但要把复数化为a+bi的形式,而且要注意这里的a,b均为实数.
1.给出下列说法:①复数2+3i的虚部是3i;②形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数;③若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数;④若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中说法错误的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.当实数m为何值时,z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
探究2　复数相等
问题1:由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗
问题2:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足什么条件
问题3:如何确定两个复数是否相等
新知生成
若两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)的实部与虚部分别相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di a=c且b=d.特别地,a+bi=0 a=0且b=0.
新知运用
例3　(1)给出下列说法:
①若a+bi=0,则a=b=0;
②x+yi=2+2i x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1.
其中正确说法的个数为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y的值.
方法指导　根据复数相等的充要条件求解.
【方法总结】　　复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路:①等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.
(1)若(x-y)+(2x-3)i=(3x+y)+(x+2y)i(其中x,y为实数),则x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知(2x+8y)+(x-6y)i=14-13i(其中x,y为实数),则xy=　　　　.
【随堂检测】
1.已知复数z满足z=1-i,则z的虚部是(　　).
A.-1 B.1 C.-i D.i
2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=(　　).
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
3.给出下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;
③两个虚数不能比较大小.
其中真命题的序号是　　　　.
4.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.
23.1 复数的概念
【学习目标】
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.(数学抽象)
2.理解复数的概念、表示方法及相关概念.(数学抽象)
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是复数 它的代数形式是什么
【答案】　形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数,其代数形式为z=a+bi(a,b∈R).
2.什么是虚数单位 对于虚数单位有什么规定
【答案】　i称为虚数单位,规定:i2=-1.
3.复数分为哪两大类
【答案】　实数,虚数.
4.两个复数相等的条件是什么
【答案】　两个复数相等的条件是它们实部和实部相等,虚部和虚部相等.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (　　)
(2)复数i的实部不存在,虚部为0. (　　)
(3)bi是纯虚数. (　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为(　　).
A.-1 B.2 C.1 D.-2
【答案】　AB
【解析】　因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　　　　.
【答案】　5
【解析】　由题意知x=0,y-2=3,即y=5,∴x+y=5.
【合作探究】
探究1　复数的相关概念
问题1:方程x2=1有解吗 解是什么 方程x2+1=0在实数范围内有解吗
【答案】　方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在实数范围内没有解.
问题2:若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗
【答案】　有解(x=±i),但不在实数范围内.
问题3:添加i之后,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候,会产生怎样的新数
【答案】　若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为a+bi的新数.
问题4:复数由哪些数组成
【答案】　由实数和虚数组成.
新知生成
1.复数
(1)定义:形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数,其中a称为复数a+bi的实部,b称为复数a+bi的虚部,i称为虚数单位,满足i2=-1.
(2)表示方法:通常用字母z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R).
一般将复数z的实部记作Re z,虚部记作Im z.
2.复数集
全体复数组成的集合称为复数集,用C表示,于是C={a+bi|a,b∈R}.
3.复数的分类
当b=0时,复数a+0i就是实数a;当b≠0时,a+bi称为虚数;而当b≠0且a=0时,bi称为纯虚数.
复数z=a+bi
新知运用
例1　(多选题)已知复数z=x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是(　　).
A.z的实部是x
B.z的虚部是yi
C.若z=1+2i,则x=1,y=2
D.当x=0且y≠0时,z是纯虚数
【答案】　ACD
【解析】　z的实部是x,虚部为y,故A正确,B错误;
若z=x+yi=1+2i,则x=1,y=2,故C正确;
当x=0且y≠0时,z=yi是纯虚数,故D正确.
例2　当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m-15)i是下列数
(1)虚数;
(2)纯虚数.
【解析】　(1)当即m≠5且m≠-3时,复数z是虚数.
(2)当即m=3或m=-2时,复数z是纯虚数.
【方法总结】　　(1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数的性质并给出结论时,一定要注意在哪个数集范围内.(2)确定复数的实部、虚部时,不但要把复数化为a+bi的形式,而且要注意这里的a,b均为实数.
1.给出下列说法:①复数2+3i的虚部是3i;②形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数;③若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数;④若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中说法错误的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　复数2+3i的虚部是3,①错误;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,②错误;只有当a∈R,a+3≠0时,(a+3)i是纯虚数,③错误;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故④正确.所以说法错误的有3个.
2.当实数m为何值时,z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解析】　(1)若z为实数,则
即解得m=-2.
∴当m=-2时,z为实数.
(2)若z是虚数,则
即解得m≠-2且m≠-1.
∴当m≠-2且m≠-1时,z为虚数.
(3)若z为纯虚数,则
即即解得m=0.
∴当m=0时,z为纯虚数.
探究2　复数相等
问题1:由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗
【答案】　由3>2不能推出3+i>2+i.当两个复数都是实数时,可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.
问题2:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足什么条件
【答案】　若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足a>0,且b=0.
问题3:如何确定两个复数是否相等
【答案】　根据复数的定义知,两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等.
新知生成
若两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)的实部与虚部分别相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di a=c且b=d.特别地,a+bi=0 a=0且b=0.
新知运用
例3　(1)给出下列说法:
①若a+bi=0,则a=b=0;
②x+yi=2+2i x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1.
其中正确说法的个数为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y的值.
方法指导　根据复数相等的充要条件求解.
【答案】　(1)B
【解析】　(1)①②中未明确a,b,x,y是否为实数,从而a,x不一定为复数的实部,b,y不一定是复数的虚部,故①②错误;③中,y∈R,从而y2-1,-(y-1)是实数,根据复数相等的条件得所以y=1,故③正确.故选B.
(2)因为x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是实数,由复数相等的条件得解得
【方法总结】　　复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路:①等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.
(1)若(x-y)+(2x-3)i=(3x+y)+(x+2y)i(其中x,y为实数),则x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知(2x+8y)+(x-6y)i=14-13i(其中x,y为实数),则xy=　　　　.
【答案】　(1)1　-1　(2)-2
【解析】　(1)由复数相等的意义得所以
(2)由复数相等的意义得解得
所以xy=-2.
【随堂检测】
1.已知复数z满足z=1-i,则z的虚部是(　　).
A.-1 B.1 C.-i D.i
【答案】　A
【解析】　由虚部的定义可知,z的虚部为-1.
2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=(　　).
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
【答案】　B
【解析】　由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i.
3.给出下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;
③两个虚数不能比较大小.
其中真命题的序号是　　　　.
【答案】　③
【解析】　当a=-1时,(a+1)i=0,故①为假命题;两个虚数不能比较大小,故③为真命题;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②为假命题.
4.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.
【解析】　由m2+5m+6=0得m=-2或m=-3;由m2-2m-15=0得m=5或m=-3.
(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,∴m=5或m=-3.
(2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数,
∴m≠5且m≠-3.
(3)当时,复数z是纯虚数,∴m=-2.
(4)当时,复数z是0,∴m=-3.
2

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