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3.2 复数的四则运算
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.(逻辑推理、数学运算)
2.能正确进行复数代数形式的四则运算.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握复数范围内一元二次方程的求根公式,并会在复数范围内解一元二次方程.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.多项式的加、减运算实质是合并同类项,类比思考:复数z1=1+2i与z2=3+i如何加减
2.两个实数之和仍是一个实数,两个复数之和仍是一个复数,那么两个虚数之和仍是一个虚数吗
3.复数的加法满足交换律和结合律吗
4.如何在复数范围内求方程的解
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数. (　　)
(2)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部. (　　)
(3)复数与复数相加减后结果只能是实数. (　　)
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形. (　　)
2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=(　　).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
3.复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
4.i是虚数单位,复数=　　　　.
【合作探究】
探究1　复数的加减运算
随着生产发展的需要,我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能,复数不同于实数,它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体.
问题1:复数如何进行加、减运算呢
问题2:类比多项式的加、减运算,想一想复数又如何进行加、减法运算
问题3:两个复数的和或差得到的结果是什么
问题4:复数的加法法则可以推广吗
新知生成
1.复数的加、减运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,
则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法的交换律和结合律
复数的加法满足交换律和结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有(1)z1+z2=z2+z1,(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
新知运用
例1　(1)+(2-i)-=　　　　.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
方法指导　(1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等的要求计算或把等式看作z的方程,通过移项求解.
【方法总结】　　复数代数形式的加(减)法运算技巧:复数与复数相加(减),相当于多项式加(减)法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).
已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2.
探究2　复数的乘法与乘方
问题1:我们知道复数的加减类似于多项式加减,试想复数相乘类似什么呢
问题2:复数的乘法与多项式的乘法有何不同
问题3:|z|2=z2,正确吗
新知生成
1.复数的乘法
(1)复数的乘法规定
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
2.复数的乘方
对任意复数z,z1,z2及正整数m,n,有
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=.
规定i0=1.特别地,i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z.
新知运用
例2　(1)若z=(i+1)2023,则z的虚部是(　　).
A.21011 B.-21011
C.21011i D.-21011i
(2)-i28+(10+i29)=　　　　.
方法指导　(1)根据复数乘法可得(i+1)2=2i,根据复数的运算结合i的性质分析运算,即可得结果.(2)利用in的周期性、复数的四则运算计算求解.
【方法总结】　　两个复数代数形式乘法的一般方法:复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.注意复数乘方及虚数单位周期性的应用.
1.复数(1+i)22=(　　).
A.2048i B.2048 C.-2048i D.-2048
2.(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=　　　　.
探究3　复数的除法
类比根式除法的分母有理化,比如=,探究复数的除法法则.
问题1:类比上述根式运算,你能写出复数的除法法则吗
问题2:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以一个什么样的数
新知生成
1.复数除法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),
则==+i(c+di≠0).
(1)实数化:分子、分母同乘以适当的非零复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化很类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.
2.一般地,称为z的倒数,若z=a+bi≠0,则=-i.
新知运用
一、除法运算
例3　已知复数z满足(1+2i)z=4+3i(i为虚数单位),求z.
【方法总结】　　两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)将除式写为分式;
(2)将分子、分母同乘以适当的非零复数;
(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并转化为复数的代数形式.
计算:
(1);
(2).
二、在复数范围内解方程
例4　在复数范围内解下列方程.
(1)2x2+6=0;
(2)x2+x+4=0.
【方法总结】　　在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法:
①当Δ≥0时,x=;
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解:
设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c为实数)的一个根.
(1)求b,c的值;
(2)试判断1-i是不是方程的根.
【随堂检测】
1.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于(　　).
A.-1
B.3
C.
D.-1或3
2.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　.
3.已知复数z=,则z+z2=　　　　.
4.在复数范围内解方程x2+6x+10=0.
23.2 复数的四则运算
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.(逻辑推理、数学运算)
2.能正确进行复数代数形式的四则运算.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握复数范围内一元二次方程的求根公式,并会在复数范围内解一元二次方程.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.多项式的加、减运算实质是合并同类项,类比思考:复数z1=1+2i与z2=3+i如何加减
【答案】　类比多项式合并同类项,让两个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减,即(1+2i)+(3+i)=4+3i,(1+2i)-(3+i)=-2+i.
2.两个实数之和仍是一个实数,两个复数之和仍是一个复数,那么两个虚数之和仍是一个虚数吗
【答案】　不一定,如i+(-i)=0.
3.复数的加法满足交换律和结合律吗
【答案】　满足.
4.如何在复数范围内求方程的解
【答案】　利用复数相等的定义求解.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数. (　　)
(2)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部. (　　)
(3)复数与复数相加减后结果只能是实数. (　　)
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=(　　).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
【答案】　D
【解析】　∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
3.复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
【答案】　D
【解析】　(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故选D.
4.i是虚数单位,复数=　　　　.
【答案】　2-i
【解析】　===2-i.
【合作探究】
探究1　复数的加减运算
随着生产发展的需要,我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能,复数不同于实数,它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体.
问题1:复数如何进行加、减运算呢
【答案】　类比向量加、减的坐标运算进行运算.
问题2:类比多项式的加、减运算,想一想复数又如何进行加、减法运算
【答案】　两个复数相加(减)就是把实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).
问题3:两个复数的和或差得到的结果是什么
【答案】　结果仍然是唯一的复数.
问题4:复数的加法法则可以推广吗
【答案】　可以推广到多个复数相加的情形.
新知生成
1.复数的加、减运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,
则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法的交换律和结合律
复数的加法满足交换律和结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有(1)z1+z2=z2+z1,(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
新知运用
例1　(1)+(2-i)-=　　　　.
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
方法指导　(1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等的要求计算或把等式看作z的方程,通过移项求解.
【答案】　(1)1+i　(2)4+i
【解析】　(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)(法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
(法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
【方法总结】　　复数代数形式的加(减)法运算技巧:复数与复数相加(减),相当于多项式加(减)法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).
已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i.
因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
探究2　复数的乘法与乘方
问题1:我们知道复数的加减类似于多项式加减,试想复数相乘类似什么呢
【答案】　复数相乘类似于多项式相乘.
问题2:复数的乘法与多项式的乘法有何不同
【答案】　复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
问题3:|z|2=z2,正确吗
【答案】　不正确.例如,|i|2=1,而i2=-1.
新知生成
1.复数的乘法
(1)复数的乘法规定
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
2.复数的乘方
对任意复数z,z1,z2及正整数m,n,有
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=.
规定i0=1.特别地,i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z.
新知运用
例2　(1)若z=(i+1)2023,则z的虚部是(　　).
A.21011 B.-21011
C.21011i D.-21011i
(2)-i28+(10+i29)=　　　　.
方法指导　(1)根据复数乘法可得(i+1)2=2i,根据复数的运算结合i的性质分析运算,即可得结果.(2)利用in的周期性、复数的四则运算计算求解.
【答案】　(1)B　(2)9+i
【解析】(1)∵(i+1)2=i2+2i+1=2i,∴z=(i+1)2023=(i+1)2022(i+1)=[(i+1)2]1011(i+1)=(2i)1011(i+1)=21011·i4×252+3·(i+1)=21011·i3·(i+1)=21011·(-i)·(i+1)=21011(1-i)=21011-21011i,
∴z的虚部为-21011.
(2)原式=-i214+(10+i29)=(-i)14+10+i=-1+10+i=9+i.
【方法总结】　　两个复数代数形式乘法的一般方法:复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.注意复数乘方及虚数单位周期性的应用.
1.复数(1+i)22=(　　).
A.2048i B.2048 C.-2048i D.-2048
【答案】　C
【解析】　(1+i)22=[(1+i)2]11=(1+i2+2i)11=(2i)11=211×i11=2048×(-i)=-2048i.
2.(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=　　　　.
【答案】　-5-15i
【解析】　(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)
=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)
=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i.
探究3　复数的除法
类比根式除法的分母有理化,比如=,探究复数的除法法则.
问题1:类比上述根式运算,你能写出复数的除法法则吗
【答案】　能,==+i(c+di≠0)(a,b,c,d∈R).
问题2:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以一个什么样的数
【答案】　进行复数的除法运算时,分子、分母同乘以适当的非零复数.
新知生成
1.复数除法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),
则==+i(c+di≠0).
(1)实数化:分子、分母同乘以适当的非零复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化很类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.
2.一般地,称为z的倒数,若z=a+bi≠0,则=-i.
新知运用
一、除法运算
例3　已知复数z满足(1+2i)z=4+3i(i为虚数单位),求z.
【解析】　因为(1+2i)z=4+3i,
所以z===2-i.
【方法总结】　　两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)将除式写为分式;
(2)将分子、分母同乘以适当的非零复数;
(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并转化为复数的代数形式.
计算:
(1);
(2).
【解析】　(1)=
===+i.
(2)==
====1-i.
二、在复数范围内解方程
例4　在复数范围内解下列方程.
(1)2x2+6=0;
(2)x2+x+4=0.
【解析】　(1)由2x2+6=0,得x2=-3.
因为(i)2=(-i)2=-3,
所以方程2x2+6=0的根为x=i或x=-i.
(2)配方得=-,
因为==-,
所以x+=±i,
所以原方程的根为x=-+i或x=--i.
【方法总结】　　在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法:
①当Δ≥0时,x=;
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解:
设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c为实数)的一个根.
(1)求b,c的值;
(2)试判断1-i是不是方程的根.
【解析】　(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,且b,c为实数,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即b+c+(b+2)i=0,
所以解得
(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,
把1-i代入方程左边,得(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程式成立,所以1-i是方程的根.
【随堂检测】
1.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于(　　).
A.-1
B.3
C.
D.-1或3
【答案】　C
【解析】　由题意得z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i,又z为纯虚数,所以解得m=.
2.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　.
【答案】　2
【解析】　因为==1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
3.已知复数z=,则z+z2=　　　　.
【答案】　-1
【解析】　∵z==-+i,
∴z2=-+i2=-i+i2=-i-=--i,
∴z+z2=-+i+--i=-1.
4.在复数范围内解方程x2+6x+10=0.
【解析】　因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1,所以(x+3)2=-1,
又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2,
所以x+3=±i,
即x=-3±i.
2

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